⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第12章 群の構成 — 直積・半直積・表示

群を「分解する」から「組み立てる」へ

ここまで、与えられた群を部分群・剰余群・組成因子へと分解して調べてきました。最終章では逆に、 小さい群から大きい群を組み立てる方法を扱います。シロー理論（第8章）で「正規シロー部分群が 見つかれば群が分解できる」と言いましたが、その分解を精密にするのが直積と半直積です。

そして群を指定する究極の方法——生成元と関係式による表示を導入します。「rr と ss で生成され、rn=e, s2=e, srs=r−1r^n=e,\ s^2=e,\ srs=r^{-1} を満たす群」と書けば、それだけで二面体群 DnD_n が一意に定まる。この表示は、群を最も簡潔に記述する言語であり、 位相幾何学の基本群（空間の穴を群で表す）へと直結します。分解の理論を組み立ての理論で 締めくくり、群論の全体像を完成させます。

直積・半直積で群を組み立て、生成元と関係式で群を簡潔に表示する。分解と組み立てで群論が閉じる。

直積

定義 外部直積と内部直積

群 H,KH,K の外部直積 H×KH\times K は成分ごとの演算をもつ群。 逆に、群 GG が部分群 H,KH,K をもち、（1）H,K⊴GH,K\trianglelefteq G、（2）H∩K={e}H\cap K=\{e\}、（3）HK=GHK=G を満たすとき、 GG は H,KH,K の内部直積で G≅H×KG\cong H\times K（H,KH,K の元は可換に振る舞う）。

命題 直積の判定

上の（1)(2)(3) が成り立つとき、写像 H×K→G, (h,k)↦hkH\times K\to G,\ (h,k)\mapsto hk は同型。

証明

H∩K={e}H\cap K=\{e\} と両者の正規性から、h∈H,k∈Kh\in H,k\in K に対し [h,k]=hkh−1k−1∈H∩K={e}[h,k]=hkh^{-1}k^{-1}\in H\cap K=\{e\}、つまり hk=khhk=kh（可換）。 これで (h1k1)(h2k2)=(h1h2)(k1k2)(h_1k_1)(h_2k_2)=(h_1h_2)(k_1k_2) ゆえ準同型。全射は（3）、単射は（2）から。∎

証明の要点は「両方正規＋交わりが自明 ⇒ 元が可換」。位数 1515 の群が Z3×Z5\mathbb Z_3\times\mathbb Z_5 になった（第8章）のは これでした。ただし、片方しか正規でない場合は可換にならず、より一般の構成が要ります。

半直積

正規部分群 NN と、それに「作用する」部分群 HH から群を組み立てるのが半直積です。非可換群を作る主要な道具です。

定義 半直積

群 GG が部分群 N,HN,H をもち、（1）N⊴GN\trianglelefteq G、（2）N∩H={e}N\cap H=\{e\}、（3）NH=GNH=G のとき、GG は 内部半直積 N⋊HN\rtimes H。外部的には、準同型 φ:H→Aut⁡(N)\varphi:H\to\operatorname{Aut}(N)（HH が NN に作用）を与え、 集合 N×HN\times H に積 (n1,h1)(n2,h2)=(n1⋅φ(h1)(n2), h1h2)(n_1,h_1)(n_2,h_2)=(n_1\cdot\varphi(h_1)(n_2),\ h_1h_2) を入れたものを外部半直積 N⋊φHN\rtimes_\varphi H という。φ\varphi が自明なら直積 N×HN\times H に戻る。

直積との違いは、HH が NN にねじれて作用する（φ\varphi）点。この作用が非可換性を生みます。

例 二面体群は半直積

Dn≅Zn⋊Z2D_n\cong\mathbb Z_n\rtimes\mathbb Z_2。N=⟨r⟩≅ZnN=\langle r\rangle\cong\mathbb Z_n（回転、正規）、H=⟨s⟩≅Z2H=\langle s\rangle\cong\mathbb Z_2（鏡映）、 作用は φ(s)(r)=r−1\varphi(s)(r)=r^{-1}（鏡映で回転が逆向きになる、srs−1=r−1srs^{-1}=r^{-1}）。この非自明な作用が DnD_n の非可換性の正体。 n=3n=3 なら D3≅Z3⋊Z2≅S3D_3\cong\mathbb Z_3\rtimes\mathbb Z_2\cong S_3。

例 四元数群は半直積でない

Q8={±1,±i,±j,±k}Q_8=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\} は非可換で位数 88 だが、半直積に分解できない。すべての部分群が正規（ハミルトン群）で、 位数 22 の部分群 {±1}\{\pm1\} が唯一の位数 22 部分群のため、N∩H={e}N\cap H=\{e\} となる補群 HH がとれない。 Q8Q_8 と D4D_4 は「同じ位数 88・非可換」でも本質的に異なる群——半直積で作れるか否かが一つの区別。

Q8Q_8 の例は、「群の組み立て方は直積・半直積だけではない」ことを教えます（より一般には群の拡大論・ ホモロジー代数の H2H^2 が拡大を分類します）。

自由群と生成元・関係式

群を記述する最も柔軟な方法が、生成元と、それらが満たすべき関係式による表示です。まず「関係式が何もない」自由な群から。

定義 自由群

集合 SS 上の自由群 F(S)F(S) は、SS の元とその逆元からなる「既約な語」（ss−1ss^{-1} 等を消した文字列）全体で、 連結を演算とする群。SS の元の間にいかなる関係も課さない最も自由な群で、次の普遍性をもつ：任意の群 GG と 写像 S→GS\to G は、一意に準同型 F(S)→GF(S)\to G に延びる。

定義 生成元と関係式による表示

G=⟨S∣R⟩G=\langle S\mid R\rangle とは、自由群 F(S)F(S) を、関係語 RR が生成する正規部分群で割った剰余群 F(S)/⟨⟨R⟩⟩F(S)/\langle\langle R\rangle\rangle。「SS で生成され、RR の関係だけを満たす群」を意味する。

例 表示の例

  • Zn=⟨r∣rn⟩\mathbb Z_n=\langle r\mid r^n\rangle（rn=er^n=e だけを課す巡回群）。
  • Dn=⟨r,s∣rn, s2, srsr⟩D_n=\langle r,s\mid r^n,\ s^2,\ srsr\rangle（rn=s2=e, srs=r−1r^n=s^2=e,\ srs=r^{-1}）。
  • Z×Z=⟨a,b∣aba−1b−1⟩\mathbb Z\times\mathbb Z=\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle（ab=baab=ba を課す＝可換な自由群）。
  • 自由群 F(a,b)=⟨a,b∣ ⟩F(a,b)=\langle a,b\mid\ \rangle（関係なし、非可換で無限）。

たった数個の記号で群が完全に指定できます。ただし表示には落とし穴もあり、「2つの表示が同じ群か」 「表示された群の位数は何か」を判定する一般アルゴリズムは存在しません（語の問題の決定不能性、 計算可能性理論と接続）。表示は強力だが、そこから群の性質を読むのは一般に難しいのです。

注意 位相幾何学への扉

生成元と関係式は位相幾何学の基本群で本質的な役割を果たす。空間のループ（穴の周りの回り方）を 生成元、関係を「縮められるループ」とみなすと、空間の「穴の構造」が群の表示として現れる。円周の基本群は ⟨a∣ ⟩≅Z\langle a\mid\ \rangle\cong\mathbb Z、トーラスは ⟨a,b∣aba−1b−1⟩≅Z×Z\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle\cong\mathbb Z\times\mathbb Z。群論と幾何がここで出会う。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 直積は両方正規、半直積は片方だけ正規。 直積 ⇒\Rightarrow 半直積（自明な作用）。HH も正規なら直積、HH が正規でなく作用がねじれると非可換半直積。
  • 半直積で全ての群が作れるわけではない。 Q8Q_8 のように直積・半直積のどちらでも作れない群がある（群の拡大はより広い）。
  • 表示から群の性質を読むのは難しい。 語の問題（2つの語が同じ元か）は一般に決定不能。表示は簡潔だが万能の判定手段ではない。

この章のまとめ

  • 直積 H×KH\times K は両者正規・交わり自明・積が全体（元が可換）。半直積 N⋊φHN\rtimes_\varphi H は NN 正規で HH が NN にねじれて作用（非可換群の主要な作り方）。Dn=Zn⋊Z2D_n=\mathbb Z_n\rtimes\mathbb Z_2。
  • Q8Q_8 は半直積に分解できない——群の組み立ては直積・半直積だけでは尽きない（拡大論へ）。
  • 自由群は関係なしの最も自由な群。生成元と関係式 ⟨S∣R⟩\langle S\mid R\rangle が群を簡潔に表示し、基本群を通じて位相幾何学と繋がる。語の問題は決定不能。

これで群論は一区切りです。対称性の抽象化から始め、ラグランジュ・同型定理・群作用・シロー理論・単純性・ 分類・組み立てまで——「対称性の科学」の全体を辿りました。ここで培った剰余・作用・分解の視点は、 環論・体論・ガロア理論・表現論へとそのまま受け継がれていきます。おつかれさまでした。