第2章イデアルと剰余環

環を「割る」には、掛け算を吸い込む部分集合が要る

群論で、剰余群 $G/N$ を作るには $N$ が正規部分群でなければなりませんでした。環でも同じ問題が起きます。 $\mathbb Z$ を $\bmod\,n$ で割って $\mathbb Z_n$ を作ったように、環 $R$ を部分集合で割って剰余環を作りたい。整数を「 $n$ の倍数を無視する」ことで丸めたわけですが、この「 $n$ の倍数全体 $n\mathbb Z$ 」には特別な性質があります——環のどんな元を掛けても、 $n$ の倍数のまま（ $n\mathbb Z$ の外に出ない）。

この「掛け算で吸い込む」性質をもつ部分集合がイデアルです。イデアルは、剰余環を作る（第2章）だけでなく、素イデアル・極大イデアル（第4章）を通じて環の構造を解剖し、代数幾何では図形そのものに対応する——環論で最も重要な概念です。部分環（第1章、 $1$ を含む小さい環）とは別物なので注意しましょう。

イデアル＝加法で閉じ、環の任意の元を掛けても外に出ない（吸い込む）部分集合。剰余環を作るための「割る集合」。

イデアルの定義

定義イデアル

環 $R$ の部分集合 $I$ が左イデアルとは、 $(I,+)$ が部分群で、かつ $r\in R,a\in I\Rightarrow ra\in I$ （左から吸い込む）。右から吸い込む（ $ar\in I$ ）なら右イデアル、両方なら両側イデアル（単にイデアル $I\trianglelefteq R$ ）。 可換環では左右の区別が無いので、単にイデアルという。

「 $ra\in I$ 」がイデアルの心臓です。部分環は $1$ を含みますが、イデアルが $1$ を含むと $r=r\cdot1\in I$ で $I=R$ になってしまう。だから真のイデアルは $1$ を含まない——ここが部分環との決定的な違いです。非可換環では左右の区別が重要で（非可換環・リー環）、剰余環を作れるのは両側イデアルだけです。

例イデアルの例

$n\mathbb Z=\{nk:k\in\mathbb Z\}$ は $\mathbb Z$ のイデアル（ $\mathbb Z$ のイデアルはすべてこの形、第7章）。
多項式環 $R[x]$ で、定数項が $0$ の多項式全体 $(x)=\{xf(x)\}$ 。
環 $R$ 全体、および $\{0\}$ （自明なイデアル）。
体 $K$ のイデアルは $\{0\}$ と $K$ のみ（ $0$ 以外は単元で吸い込むと全体になる）。

最後の例は重要です。体はイデアルが自明なものしかない——この性質が第4章で「極大イデアル ↔ 体」を生みます。

生成されるイデアル

与えられた元を含む最小のイデアルを作ります。

定義生成されるイデアル・単項イデアル

$a_1,\dots,a_n\in R$ （可換環）が生成するイデアル $(a_1,\dots,a_n)=\{r_1a_1+\cdots+r_na_n:r_i\in R\}$ は $a_i$ をすべて含む最小のイデアル。一元生成 $(a)=Ra=\{ra:r\in R\}$ を単項イデアルという。

$(a)$ は「 $a$ の倍数全体」。 $\mathbb Z$ では $(n)=n\mathbb Z$ 、 $(6)\subseteq(2)$ （ $6$ は $2$ の倍数）——包含関係が整除を表す： $(a)\subseteq(b)\iff b\mid a$ 。イデアルの言葉は割り算の言葉なのです。すべてのイデアルが単項な整域が **単項イデアル整域（PID）**で、第7章の主役になります。

イデアルの操作

イデアルどうしを組み合わせて新しいイデアルを作ります。

定義和・積・共通部分

イデアル $I,J$ に対し：和 $I+J=\{a+b:a\in I,b\in J\}$ （ $I,J$ を含む最小のイデアル）。積 $IJ=\{\sum a_ib_i:a_i\in I,b_i\in J\}$ （有限和）。共通部分 $I\cap J$ 。いずれもイデアルで、 $IJ\subseteq I\cap J\subseteq I+J$ 。

$\mathbb Z$ で確かめると直感が湧きます： $(m)+(n)=(\gcd(m,n))$ （和は最大公約数）、 $(m)\cap(n)=(\mathrm{lcm}(m,n))$ （共通部分は最小公倍数）、 $(m)(n)=(mn)$ 。イデアルの代数が、整数の gcd・lcm の代数そのものになっています。「和が gcd」なのは、 $\gcd(m,n)$ が $m,n$ の整数係数結合 $mx+ny$ で書ける（ベズー）ことの反映です。

剰余環

いよいよ環を割ります。イデアルの「吸い込む」性質が、剰余環の積を well-defined にします。

定理剰余環

イデアル $I\trianglelefteq R$ に対し、剰余類 $R/I=\{a+I:a\in R\}$ は $(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\qquad (a+I)(b+I)=ab+I$ で環になる（剰余環・商環）。零元 $0+I=I$ 、単位元 $1+I$ 。

証明

加法は $(R,+)$ をアーベル部分群 $(I,+)$ で割る剰余群（群論）。乗法のwell-definedを示す： $a+I=a'+I,\ b+I=b'+I$ なら $a'=a+s,\ b'=b+t\ (s,t\in I)$ 。 $a'b'=(a+s)(b+t)=ab+at+sb+st$ 。 $at,sb,st$ はイデアルの吸い込み性より $I$ に属す（ $at\in I$ ： $t\in I$ を $a$ 倍。 $sb\in I$ ： $s\in I$ を $b$ 倍。 $st\in I$ ）。ゆえに $a'b'\in ab+I$ 、すなわち $a'b'+I=ab+I$ 。分配法則等は $R$ から継承。∎

証明でイデアルの吸い込み性 $at,sb\in I$ がまさに well-defined 性のために使われているのが要点です。これが群の正規部分群と完全に平行な役割です（正規性が well-defined を保証したのと同じ）。

例剰余環の例

$\mathbb Z/n\mathbb Z=\mathbb Z/(n)$ ： $\bmod\,n$ の世界。第1章の $\mathbb Z_n$ はこれ。
$\mathbb R[x]/(x^2+1)\cong\mathbb C$ ： $x^2+1=0$ すなわち $x^2=-1$ を課すと、 $x$ が虚数単位 $i$ になり複素数体が現れる。
$K[x]/(f(x))$ ：多項式 $f$ を「 $0$ とみなす」世界。 $f$ が既約なら体になる（体論の体の拡大の作り方）。

$\mathbb R[x]/(x^2+1)\cong\mathbb C$ は美しい例です。「 $x^2+1$ を割る」だけで複素数が構成できる——多項式を割って新しい数の体系を作るこの操作が、体の拡大の基本手法になります。

つまずきポイント

注意よくある誤解

イデアルは部分環ではない。 真のイデアルは $1$ を含まない（含むと全体になる）。部分環は $1$ を含む。両者は別概念。
剰余環が作れるのは両側イデアルだけ。 可換環なら常に OK だが、非可換環では左（右）イデアルでは積が well-defined にならない。
$(a)\subseteq(b)\iff b\mid a$ （包含が逆）。 「大きい倍数のイデアルは小さい」。 $(6)\subseteq(2)$ 。イデアルの包含は整除の言葉。
和が gcd、積は積、共通部分が lcm（ $\mathbb Z$ の場合）。 $IJ\subseteq I\cap J$ は一般に真だが等号は互いに素なときなど（次章の CRT）。

この章のまとめ

イデアルは加法で閉じ、環の任意の元を掛けても吸い込む部分集合（可換環では左右同じ）。真のイデアルは $1$ を含まない。部分環とは別物。
生成イデアル $(a_1,\dots,a_n)$ 、単項イデアル $(a)=$ 「 $a$ の倍数」。包含は整除を表す。和・積・共通部分は $\mathbb Z$ で gcd・積・lcm に対応。
イデアル $I$ （両側）で剰余環 $R/I$ が作れる（吸い込み性が積の well-defined を保証）。 $\mathbb Z/(n)$ 、 $\mathbb R[x]/(x^2+1)\cong\mathbb C$ など、割ることで新しい環・体を生む。

次章は、環どうしの構造を保つ写像——環準同型と同型定理を扱い、イデアルと核の対応を確立します。

第2章 イデアルと剰余環