⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第3章 環準同型と同型定理

「核はイデアル」——群論と完全に平行

群論の同型定理を思い出してください。準同型の核は正規部分群で、G/ker⁡≅im⁡G/\ker\cong\operatorname{im} が成り立ちました。 環でもまったく同じ物語が展開します。環準同型の核はイデアル（正規部分群の役割）で、 R/ker⁡≅im⁡R/\ker\cong\operatorname{im}（第一同型定理）が成り立つ。

この平行性は偶然ではありません。群では「正規部分群 ↔ 準同型の核」、環では「イデアル ↔ 準同型の核」—— どちらも「割れる部分構造は、ちょうど写像の核である」という同じ原理の現れです（究極的には 圏論・加群論で統一されます）。この章では、環の同型定理を証明とともに整え、 「R/I≅R/I\cong{}何か」を示す標準的な手法を確立します。以後の環論・体論のあらゆる計算で使う道具です。

環準同型の核はイデアル、像は部分環。R/ker⁡φ≅im⁡φR/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi（第一同型定理）。群論と完全に平行。

環準同型

定義 環準同型・核・像

写像 φ:R→S\varphi:R\to S が環準同型とは、和・積・単位元を保つこと： φ(a+b)=φ(a)+φ(b),φ(ab)=φ(a)φ(b),φ(1R)=1S.\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b),\quad \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b),\quad \varphi(1_R)=1_S. 全単射な準同型を同型という。核 ker⁡φ={a:φ(a)=0}\ker\varphi=\{a:\varphi(a)=0\}、像 im⁡φ={φ(a)}\operatorname{im}\varphi=\{\varphi(a)\}。

φ(1)=1\varphi(1)=1 を要求するのが環準同型の作法です（これがないと自明な写像 a↦0a\mapsto0 まで準同型になってしまう）。

例 環準同型の例

  • 自然な全射 Z→Zn, k↦k mod n\mathbb Z\to\mathbb Z_n,\ k\mapsto k\bmod n（核 nZn\mathbb Z）。
  • 評価写像 eva:R[x]→R, f(x)↦f(a)\mathrm{ev}_a:R[x]\to R,\ f(x)\mapsto f(a)（多項式に aa を代入。核は aa を根にもつ多項式全体）。
  • 包含 Z↪Q\mathbb Z\hookrightarrow\mathbb Q（核 {0}\{0\}、単射）。

命題 核はイデアル・像は部分環

環準同型 φ:R→S\varphi:R\to S について、ker⁡φ\ker\varphi は RR のイデアル、im⁡φ\operatorname{im}\varphi は SS の部分環。 φ\varphi が単射   ⟺  ker⁡φ={0}\iff\ker\varphi=\{0\}。

証明

ker⁡φ\ker\varphi が加法部分群なのは群論と同じ。イデアル性：a∈ker⁡φ, r∈Ra\in\ker\varphi,\ r\in R なら φ(ra)=φ(r)φ(a)=φ(r)⋅0=0\varphi(ra)=\varphi(r)\varphi(a)=\varphi(r)\cdot0=0、ゆえ ra∈ker⁡φra\in\ker\varphi（吸い込む）。 im⁡φ\operatorname{im}\varphi が部分環：φ(a)φ(b)=φ(ab)∈im⁡\varphi(a)\varphi(b)=\varphi(ab)\in\operatorname{im}、φ(1)=1∈im⁡\varphi(1)=1\in\operatorname{im}。 単射判定は加法群として群論と同じ。∎

「核が吸い込む（イデアル）」のは、φ(ra)=φ(r)⋅0=0\varphi(ra)=\varphi(r)\cdot0=0 という一行から。掛け算を保つことが、 核を単なる部分群でなくイデアルにするのです。

第一同型定理

定理 第一同型定理（環）

環準同型 φ:R→S\varphi:R\to S に対し、ker⁡φ\ker\varphi はイデアルで R/ker⁡φ ≅ im⁡φ,φˉ(a+ker⁡φ)=φ(a).R/\ker\varphi\ \cong\ \operatorname{im}\varphi,\qquad \bar\varphi(a+\ker\varphi)=\varphi(a).

証明

I=ker⁡φI=\ker\varphi とおく。φˉ:R/I→S, φˉ(a+I)=φ(a)\bar\varphi:R/I\to S,\ \bar\varphi(a+I)=\varphi(a) を考える。 well-defined：a+I=a′+Ia+I=a'+I なら a′−a∈Ia'-a\in I、φ(a′)−φ(a)=φ(a′−a)=0\varphi(a')-\varphi(a)=\varphi(a'-a)=0。 環準同型：φˉ((a+I)(b+I))=φˉ(ab+I)=φ(ab)=φ(a)φ(b)=φˉ(a+I)φˉ(b+I)\bar\varphi((a+I)(b+I))=\bar\varphi(ab+I)=\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)=\bar\varphi(a+I)\bar\varphi(b+I)、和・単位元も同様。 単射：φˉ(a+I)=0⇒φ(a)=0⇒a∈I⇒a+I=I\bar\varphi(a+I)=0\Rightarrow\varphi(a)=0\Rightarrow a\in I\Rightarrow a+I=I（零元）。 像：im⁡φˉ=im⁡φ\operatorname{im}\bar\varphi=\operatorname{im}\varphi。よって φˉ:R/I→im⁡φ\bar\varphi:R/I\to\operatorname{im}\varphi は同型。∎

群論の証明と一字一句平行です。使い方も同じ——「R/I≅TR/I\cong T」を示すには、RR から TT への全射準同型で核が II のものを一本作る。

例 第一同型定理の使い方

  • Z→Zn\mathbb Z\to\mathbb Z_n（核 nZn\mathbb Z、全射）より Z/nZ≅Zn\mathbb Z/n\mathbb Z\cong\mathbb Z_n。
  • evi:R[x]→C, f↦f(i)\mathrm{ev}_i:\mathbb R[x]\to\mathbb C,\ f\mapsto f(i) は全射（a+bx↦a+bia+bx\mapsto a+bi）で核 =(x2+1)=(x^2+1)（ii を根にもつ実係数多項式は x2+1x^2+1 の倍数）。 よって R[x]/(x2+1)≅C\mathbb R[x]/(x^2+1)\cong\mathbb C——第2章で見た同型が、評価写像＋第一同型定理で自動的に出る。
  • K[x]→K, f↦f(a)K[x]\to K,\ f\mapsto f(a) より K[x]/(x−a)≅KK[x]/(x-a)\cong K。

第二・第三同型定理と対応定理

群論と同様、部分構造の絡み合いを記述する定理群が続きます。

定理 第二・第三同型定理

SS を部分環、II をイデアルとすると S+IS+I は部分環、II は S+IS+I のイデアル、S∩IS\cap I は SS のイデアルで S/(S∩I) ≅ (S+I)/I.S/(S\cap I)\ \cong\ (S+I)/I. イデアル I⊆JI\subseteq J（ともに RR のイデアル）について (R/I)/(J/I) ≅ R/J.(R/I)\big/(J/I)\ \cong\ R/J.

証明はいずれも「適切な準同型を作り、核を見て第一同型定理」で、群論と平行（省略）。第三定理は 「イデアルで二段階に割っても一気に割っても同じ」という約分です。そして剰余環の内部を元の環の言葉で読む辞書：

定理 対応定理（イデアルの対応）

I⊴RI\trianglelefteq R とする。II を含む RR のイデアル JJ と、R/IR/I のイデアル J/IJ/I が包含を保って一対一に対応する。

証明

自然な全射 π:R→R/I\pi:R\to R/I による J↦π(J)=J/IJ\mapsto\pi(J)=J/I と Jˉ↦π−1(Jˉ)\bar J\mapsto\pi^{-1}(\bar J) が互いに逆で包含を保つ （π\pi が全射準同型ゆえ）。∎

対応定理は次章で決定的です。「R/IR/I が体か整域か」を「II を含むイデアルの様子」で判定する—— 極大イデアル・素イデアルの理論（第4章）が、この対応の上に建ちます。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 核はイデアル、像は部分環（非対称）。 掛け算を保つことで核が吸い込み性をもつ。像はイデアルとは限らない（Z↪Q\mathbb Z\hookrightarrow\mathbb Q の像 Z\mathbb Z は Q\mathbb Q のイデアルでない）。
  • φ(1)=1\varphi(1)=1 を要求する。 これを落とすと零写像も「準同型」になり理論が壊れる。
  • 「R/I≅TR/I\cong T」は全射準同型 R→TR\to T で核 II を作って示す。 逆算の発想（群論と同じ）が実用の鍵。R[x]/(x2+1)≅C\mathbb R[x]/(x^2+1)\cong\mathbb C が好例。

この章のまとめ

  • 環準同型は和・積・11 を保つ。核はイデアル（掛け算を保つゆえ吸い込む）、像は部分環。単射   ⟺  \iff 核が自明。
  • 第一同型定理 R/ker⁡φ≅im⁡φR/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi。「R/I≅TR/I\cong T」は核 II の全射を作って示す。Z/(n)≅Zn\mathbb Z/(n)\cong\mathbb Z_n、R[x]/(x2+1)≅C\mathbb R[x]/(x^2+1)\cong\mathbb C。
  • 第二・第三同型定理（約分）と対応定理（R/IR/I のイデアル ↔ II を含む RR のイデアル）。次章の素・極大イデアルの土台。

次章は、イデアルの中でも特別な——素イデアルと極大イデアル、そして整域・体との対応を確立します。