第6章整除性 — 既約元と素元

「素数」には、実は2つの顔があった

整数の素数 $p$ には、当たり前すぎて区別しなかった2つの性質があります。（A）これ以上分解できない： $p=ab$ なら $a,b$ の一方は $\pm1$ （既約性）。（B）積を割れば因子を割る： $p\mid ab$ なら $p\mid a$ または $p\mid b$ （素性）。

$\mathbb Z$ ではこの2つは一致します（どちらも素数の特徴）。だから区別する必要がありませんでした。ところが—— 数の世界を少し広げると、(A) を満たすが (B) を満たさない元が現れる。すると「素因数分解の一意性」が崩れます。この崩壊こそ、代数的整数論がイデアルを導入した動機であり、フェルマーの最終定理への素朴な挑戦が挫折した理由でもあります。この章は、素数の2つの顔——既約元と素元——を分離し、どこで一致し・どこで食い違うのかを明らかにします。

素数の2つの顔：既約元（これ以上分解できない）と素元（積を割れば因子を割る）。 $\mathbb Z$ では一致するが、一般には食い違う。

単元と同伴

整除の理論は整域（零因子なし）で展開します。まず「同じとみなす」関係を定めます。

定義整除・単元・同伴

整域 $R$ で、 $a\mid b$ （ $a$ が $b$ を割る）とは $b=ac$ となる $c\in R$ があること（ $\iff(b)\subseteq(a)$ ）。 $a,b$ が同伴（ $a\sim b$ ）とは、単元 $u$ で $a=ub$ となること（ $\iff a\mid b$ かつ $b\mid a\iff(a)=(b)$ ）。

$\mathbb Z$ では単元が $\pm1$ なので、 $a$ と $-a$ が同伴。「 $5$ と $-5$ を同じ素数とみなす」あの感覚です。同伴なものは整除の理論では区別しません（ $(a)=(b)$ 、生成するイデアルが同じ）。

既約元と素元

定義既約元・素元

整域 $R$ の非零・非単元 $p$ について： $p$ が既約元とは、 $p=ab\Rightarrow a$ または $b$ が単元（自明にしか分解できない）。 $p$ が素元とは、 $p\mid ab\Rightarrow p\mid a$ または $p\mid b$ 。

素元の定義は、イデアルの言葉では素イデアル（第4章）そのものです。

命題素元 ↔ 素イデアル

非零 $p$ が素元 $\iff$ 単項イデアル $(p)$ が素イデアル。

証明

$(p)$ 素 $\iff$ （ $ab\in(p)\Rightarrow a\in(p)$ or $b\in(p)$ ） $\iff$ （ $p\mid ab\Rightarrow p\mid a$ or $p\mid b$ ） $\iff p$ 素元。∎

これで第4章の素イデアルの理論が、そのまま素元に使えます。2つの顔の関係を調べましょう。

素元 ⇒ 既約元

定理素元は既約元

整域では、素元は既約元。

証明

$p$ を素元とし $p=ab$ とする。 $p\mid ab$ ゆえ素性より $p\mid a$ または $p\mid b$ 。 $p\mid a$ とすると $a=pc$ 、 $p=ab=pcb$ 、整域で消去律より $1=cb$ 、つまり $b$ は単元。同様に $p\mid b$ なら $a$ が単元。ゆえ $p$ は既約。∎

素元 ⇒ 既約元は常に成り立ちます（消去律＝整域であることが効く）。問題は逆です。

既約元 ⇏ 素元——一意分解の崩壊

逆「既約 ⇒ 素」は一般には成り立ちません。これが分野の核心です。

例 Z[√−5] で既約だが素でない元

$R=\mathbb Z[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}:a,b\in\mathbb Z\}$ （整域）で、ノルム $N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2$ を使う（ $N$ は乗法的、 $N(xy)=N(x)N(y)$ ）。 $6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}).$ $2,3,1\pm\sqrt{-5}$ はすべて既約（ノルムが $4,9,6,6$ で、真に分解するとノルムがそれを割る非自明な因子が要るが、 $N(x)=2,3$ となる元は無い—— $a^2+5b^2=2,3$ は整数解なし）。だが $2$ は素でない： $2\mid6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ なのに $2\nmid(1\pm\sqrt{-5})$ （ $\frac{1\pm\sqrt{-5}}{2}$ は $R$ に無い）。

$6$ が本質的に異なる2通りに既約分解された——素因数分解の一意性が崩れています。原因は「既約だが素でない」元の存在。 $2$ は「これ以上分解できない（既約）」のに「積を割っても因子を割らない（素でない）」。素数の2つの顔が剥がれたのです。

注意なぜ重要か

この崩壊は $18$ 〜 $19$ 世紀の数論を悩ませた。クンマーとデデキントは「数では一意分解が崩れても、イデアルなら復活する」と見抜いた—— $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ で $(6)=(2,1+\sqrt{-5})^2(3,\dots)\cdots$ とイデアルで分解すれば一意になる（代数的整数論のデデキント環）。「素元」がダメでも「素イデアル」なら生き残る——これが第4章で素イデアルを主役にした理由。イデアル論は、崩れた一意分解を救うために生まれた。

一意分解が成り立つ世界

では逆「既約 ⇒ 素」はいつ成り立つのか。それがちょうど**一意分解整域（UFD）**の特徴づけです。

定理 UFD での既約＝素

一意分解整域（各非零非単元が既約元の積に一意分解される整域、次章）では、既約元 $\iff$ 素元。

証明

（既約 ⇒ 素の向き。）UFD で $p$ 既約、 $p\mid ab$ とする。 $ab=pc$ 。 $a,b,c$ を既約分解して両辺を比べると、分解の一意性より、左辺の既約因子の中に $p$ （と同伴なもの）が現れねばならない。それは $a$ か $b$ の分解に属すので $p\mid a$ または $p\mid b$ 。ゆえ $p$ は素。逆は前述（素 ⇒ 既約は常に真）。∎

つまり「既約と素が一致する $\iff$ 一意分解が成り立つ」。 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ で一意分解が崩れたのは、まさに既約と素がずれたからでした。次章で、この UFD を含む整域の階層（ユークリッド整域 ⊃ PID ⊃ UFD）を整理します。

つまずきポイント

注意よくある誤解

既約と素は違う概念。 既約＝「分解できない」、素＝「積を割れば因子を割る」。整域で素 ⇒ 既約は常に真、逆は UFD でのみ。
$\mathbb Z$ で区別しないのは、 $\mathbb Z$ が UFD だから。 一般の整域では2つが食い違い、一意分解が崩れる。
同伴を区別しない。 素因数分解の一意性は「同伴と順序を除いて」一意。 $6=2\cdot3=(-2)(-3)$ は同じ分解。
崩れた一意分解はイデアルで救われる。 素元の代わりに素イデアルを使う（代数的整数論）。

この章のまとめ

整除の理論は整域で展開。単元と同伴（ $a=ub$ ）で「同じ」を定める。素数には既約元（分解不能）と素元（積を割れば因子を割る）の2つの顔がある。素元 $\iff$ $(p)$ が素イデアル。
整域では素元 ⇒ 既約元（消去律）。逆は一般に偽—— $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ で $6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ と一意分解が崩れる。
既約 $\iff$ 素 $\iff$ 一意分解が成立。崩れた一意分解は素イデアルで救われる（デデキント環）。

次章は、一意分解が保証される整域の階層——ユークリッド整域 ⊃ PID ⊃ UFDを整理します。

第6章 整除性 — 既約元と素元