第7章整域の階層 — ED ⊃ PID ⊃ UFD

「素因数分解できる」を保証する条件を階層化する

前章で、一般の整域では素因数分解の一意性が崩れることを見ました。では、どんな整域なら一意分解が保証されるのか？ $\mathbb Z$ が一意分解できる理由をたどると、その根っこに「割り算（余りつき）ができる」という性質があります。ユークリッドの互除法—— $\mathbb Z$ で gcd を計算し、素因数分解の一意性を証明するあの手続き——が、割り算に支えられていました。

この観察を一般化して、整域を3つの階層に整理します。強い順に：ユークリッド整域（ED）（余りつき割り算ができる） $\supset$ 単項イデアル整域（PID）（すべてのイデアルが単項） $\supset$ 一意分解整域（UFD）（素因数分解が一意）。各段が次を含み、逆は成り立たない。この階層が「どの整域で整数論的な議論が使えるか」の地図になります。体論で多項式環を扱う土台でもあります。

割り算ができる（ED）⇒ イデアルが単項（PID）⇒ 一意分解できる（UFD）。強い順の3階層、逆は成り立たない。

ユークリッド整域

定義ユークリッド整域

整域 $R$ がユークリッド整域（ED）とは、写像 $N:R\setminus\{0\}\to\mathbb Z_{\ge0}$ （ユークリッド関数）で、任意の $a,b\ (b\ne0)$ に対し $a=qb+r,\qquad r=0\ \text{または}\ N(r)<N(b)$ となる $q,r$ が存在するもの。「 $b$ より小さい余り $r$ で割れる」——余りつき割り算ができる整域。

例ユークリッド整域の例

$\mathbb Z$ ： $N(a)=|a|$ 。おなじみの余りつき割り算。
体上の一変数多項式環 $K[x]$ ： $N(f)=\deg f$ 。多項式の割り算（次数が下がる）。
ガウス整数 $\mathbb Z[i]$ ： $N(a+bi)=a^2+b^2$ （ノルム）。
$\mathbb Z[\omega]$ （ $\omega=e^{2\pi i/3}$ 、アイゼンシュタイン整数）。

ユークリッド関数があると、互除法が回ります： $\gcd$ を余りの列 $N(r_0)>N(r_1)>\cdots$ で計算でき、これは有限で止まる（非負整数の減少列）。そしてベズーの等式 $\gcd(a,b)=ax+by$ が構成できます。この互除法が、次の PID 性の証明のエンジンになります。

単項イデアル整域

定義単項イデアル整域

整域 $R$ が単項イデアル整域（PID）とは、すべてのイデアルが単項（ $(a)$ の形）であること。

定理 ED ⇒ PID

ユークリッド整域は PID。

証明

$I\ne\{0\}$ をイデアルとし、 $I$ の非零元のうち $N$ が最小のものを $d$ とする。任意の $a\in I$ を $a=qd+r$ （ $r=0$ または $N(r)<N(d)$ ）と割ると、 $r=a-qd\in I$ 。 $r\ne0$ なら $N(r)<N(d)$ が $d$ の最小性に反するので $r=0$ 、つまり $a=qd\in(d)$ 。ゆえ $I=(d)$ 。 $I=\{0\}=(0)$ も単項。∎

証明の心は「 $N$ 最小の元 $d$ で割ると余りが $0$ 」——余りつき割り算が、イデアルを単項にする。 $\mathbb Z,K[x],\mathbb Z[i]$ はすべて PID です。PID では、イデアルの言葉が整除の言葉と完全に一致します（ $(a)+(b)=(\gcd(a,b))$ 等）。

一意分解整域

定義一意分解整域

整域 $R$ が一意分解整域（UFD）とは、 $0$ でも単元でもない各元が既約元の積に書け、その分解が 同伴と順序を除いて一意であること。

定理 PID ⇒ UFD

単項イデアル整域は UFD。

これは非自明で、次章で完全に証明します（存在は「イデアルの昇鎖が止まる（ネーター性）」、一意性は「PID では既約 ⇒ 素」から）。結果として、包含の連鎖

$\text{体}\subset\text{ED}\subset\text{PID}\subset\text{UFD}\subset\text{整域}$

が得られます（体は自明に ED： $N\equiv0$ で余り常に $0$ ）。各段で整数論的な道具（gcd、一意分解）がどこまで使えるかが決まります。

逆は成り立たない——反例

階層が真の包含であること（各逆が偽）を、具体例で確認します。ここが分野の面白さです。

例 PID だが ED でない：Z[(1+√−19)/2]

$R=\mathbb Z\!\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]$ は PID だが、どんなユークリッド関数もとれない（ED でない）。「割り算はできないが、イデアルは全部単項」という微妙な例。証明は「普遍側因子（universal side divisor）」が存在しないことを示す。

例 UFD だが PID でない：Z[x] と K[x,y]

$\mathbb Z[x]$ は UFD（次章のガウスの補題より、UFD 上の多項式環は UFD）だが PID でない：イデアル $(2,x)$ は単項でない（ $(2,x)=(d)$ なら $d\mid2,\ d\mid x$ より $d$ 単元だが $1\notin(2,x)$ —— $2f+xg$ の定数項は偶数、矛盾）。同様に $K[x,y]$ の $(x,y)$ は単項でない。変数が2つ以上／係数が体でないと PID から外れる。

例 UFD でない：Z[√−5]

前章の通り $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ は整域だが UFD でない（ $6$ の分解が非一意）。「既約だが素でない元」があるため。

これらの反例が、階層が「本物」であることを示します。 $\mathbb Z[x]$ （UFD だが非 PID）と $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ （非 UFD）が特に重要で、前者は多項式論（次章以降）、後者は数論の出発点です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

階層は ED ⊂ PID ⊂ UFD（強い順）。 「割り算できる」が最強、「一意分解できる」が最弱。逆は成り立たない（真の包含）。
$\mathbb Z[x]$ は UFD だが PID でない。 「係数が体 $K$ の $K[x]$ 」は PID だが、「係数が環 $\mathbb Z$ 」や「2変数 $K[x,y]$ 」だと PID から落ちる。 $(2,x),(x,y)$ が非単項。
PID ⇒ UFD は非自明な定理。 イデアルが単項なだけで一意分解が出るのは、ネーター性＋既約=素の合わせ技（次章）。
UFD ⇒ 既約=素だが、逆に既約=素だけでは UFD にならない（分解の存在も要る）。

この章のまとめ

ユークリッド整域（ED）：余りつき割り算（ユークリッド関数）ができる。 $\mathbb Z,K[x],\mathbb Z[i]$ 。互除法で gcd・ベズーが使える。
ED ⇒ PID（ $N$ 最小の元でイデアルが生成される）。**単項イデアル整域（PID）**ではイデアルが全部単項。
PID ⇒ UFD（次章で証明）。階層体 ⊂ ED ⊂ PID ⊂ UFD ⊂ 整域は真の包含： $\mathbb Z[x]$ （UFD 非 PID）、 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ （非 UFD）が反例。

次章は、この階層の要——ED ⇒ PID ⇒ UFD の未証明部分、とくに一意分解の存在と一意性を完全に証明します。

第7章 整域の階層 — ED ⊃ PID ⊃ UFD