第4章ラグランジュ部分多様体

第2章で線形に予告したラグランジュ部分空間を、多様体版に持ち上げます。シンプレクティック形式が完全に消える、半分次元の部分多様体——これがラグランジュ部分多様体です。地味な定義ですが、シンプレクティック幾何のあらゆる場面に顔を出します。正準変換、母関数、不変量、そして第11章のフレアー理論の主役。「シンプレクティック幾何のすべてはラグランジュである」という有名な標語（ワインスタイン）が示す通り、この分野を理解する鍵はラグランジュ部分多様体にあります。

定義：ω が消える半分次元の部分多様体

定義ラグランジュ部分多様体

$2n$ 次元シンプレクティック多様体 $(M,\omega)$ の部分多様体 $L$ がラグランジュ部分多様体とは、

$\dim L=n$ （半分の次元）、
$\omega|_L=0$ （ $L$ の接ベクトルどうしの面積がすべて $0$ ＝等方的）。

を満たすこと。次元 $n$ は等方部分多様体として最大（第2章）。

「 $\omega$ が完全に消える最大の部分多様体」。標準座標では、位置だけの空間 $\{p=0\}$ （すべての運動量が $0$ ）や、運動量だけの空間 $\{q=0\}$ がラグランジュ部分多様体です。物理的には「位置を全部指定した状態の集まり」 ——古典的な配位空間にあたる。半分の次元で $\omega$ が消えるという条件が、驚くほど豊かな構造を持ちます。

余接束：ラグランジュ部分多様体の宝庫

ラグランジュ部分多様体が自然に湧き出す舞台が、余接束です。多様体 $X$ の余接束 $T^*X$ （各点の余接空間を束ねたもの）は、正準的なシンプレクティック構造を持ちます。

定義余接束の正準シンプレクティック構造

多様体 $X$ の余接束 $T^*X$ には、正準 $1$ 形式 $\lambda=\sum p_i\,dq_i$ （トートロジー的 $1$ 形式）があり、 $\omega=-d\lambda=\sum dq_i\wedge dp_i$ が正準シンプレクティック形式を与える。 $X$ が配位空間なら $T^*X$ はその相空間。

余接束の中で、ラグランジュ部分多様体は次のように豊富に現れます。

命題余接束のラグランジュ部分多様体

ゼロ切断 $X\hookrightarrow T^*X$ （ $p=0$ ）はラグランジュ部分多様体。
$1$ 形式 $\alpha$ のグラフ $\{(x,\alpha_x)\}\subseteq T^*X$ がラグランジュ $\Leftrightarrow$ $\alpha$ が 閉形式（ $d\alpha=0$ ）。とくに関数 $f$ の微分 $df$ のグラフ（ $\alpha=df$ ）は常にラグランジュ。

二つ目が美しい。「 $1$ 形式のグラフがラグランジュ ⟺ その形式が閉じている」——シンプレクティックの条件（ $\omega|_L=0$ ）が、微分形式の条件（ $d\alpha=0$ ）にぴたり翻訳される。関数 $f$ の勾配 $df$ のグラフはいつでもラグランジュなので、関数一つからラグランジュ部分多様体が一つ生まれる。この対応が、次に述べる母関数の仕掛けです。

母関数：ラグランジュ部分多様体を関数で作る

前の命題を使うと、ラグランジュ部分多様体（したがって正準変換、第6章）を、一つの関数から生成できます。

定義母関数

関数 $S(q)$ に対し、 $\{(q,p):p=\partial S/\partial q\}$ はラグランジュ部分多様体（ $df$ のグラフ）。この $S$ を母関数という。より一般に、二つの座標系をまたぐ母関数 $S(q,Q)$ から正準変換が生成される。

母関数は、変分法のハミルトン–ヤコビ理論の心臓です。ハミルトン–ヤコビ方程式 $H(q,\partial S/\partial q)=E$ を満たす母関数 $S$ （作用）を見つければ、運動が完全に解ける——「ラグランジュ部分多様体を関数で記述する」という発想が、力学の解法そのものになる。抽象的なラグランジュ部分多様体が、物理の作用と直結しているのです。

「すべてはラグランジュ」

ラグランジュ部分多様体が中心的である理由を、二つの標語で押さえます。

注意ワインスタインの二つの標語

「シンプレクティック幾何のすべてはラグランジュである」：シンプレクティック多様体間の写像 $\phi\colon M_1\to M_2$ がシンプレクティック（ $\phi^*\omega_2=\omega_1$ ） $\Leftrightarrow$ そのグラフ $\{(x,\phi(x))\}$ が積 $M_1\times M_2$ （形式 $\omega_2-\omega_1$ ）のラグランジュ部分多様体。写像の問題がラグランジュ部分多様体の問題に翻訳される。
ワインスタインの近傍定理：ラグランジュ部分多様体 $L$ の近傍は、 $L$ の余接束 $T^*L$ の近傍にシンプレクティック同型。ラグランジュのまわりも「局所に情報がない」（ダルブーのラグランジュ版）。

一つ目の標語は強力です。「シンプレクティックな写像」も「正準変換」も「力学の時間発展」も、すべて適当な積空間のラグランジュ部分多様体として捉え直せる。だからラグランジュ部分多様体を理解することが、シンプレクティック幾何全体を理解することになる。第11章のフレアーホモロジーが「二つのラグランジュ部分多様体の交わり」を数える理論であるのも、この中心性の帰結です。

注意つまずきポイント

ラグランジュ＝半分次元・ $\omega$ が消える。等方的（面積ゼロ）で最大次元 $n$ 。「小さい」のでなく「ちょうど半分」がポイント。
グラフがラグランジュ ⟺ 形式が閉。 $1$ 形式のグラフの条件が $d\alpha=0$ 。関数の微分 $df$ はいつでもラグランジュ（母関数の仕掛け）。
母関数は作用。ハミルトン–ヤコビの作用 $S$ がラグランジュ部分多様体を生む。抽象的な概念が力学の解法と直結。

この章のまとめ

ラグランジュ部分多様体 $L$ ＝ $\dim L=n$ （半分次元）かつ $\omega|_L=0$ （等方的）。 $\omega$ が完全に消える最大の部分多様体。標準座標では $\{p=0\}$ など。
余接束 $T^*X$ が宝庫：ゼロ切断はラグランジュ、 $1$ 形式のグラフがラグランジュ ⟺ 形式が閉。関数 $f$ の $df$ のグラフは常にラグランジュ。
母関数 $S(q)$ （ $p=\partial S/\partial q$ ）でラグランジュ部分多様体・正準変換を生成。ハミルトン–ヤコビの作用と直結。
「すべてはラグランジュ」：シンプレクティック写像＝積のラグランジュ部分多様体。ワインスタイン近傍定理でそのまわりも標準形。ラグランジュ理解がシンプレクティック幾何全体の鍵。

前半（シンプレクティック多様体の基礎）が揃いました。次章からハミルトン力学を幾何の言葉で乗せます。エネルギー関数 $H$ 一つから運動 $X_H$ が決まり、その流れがエネルギーと体積（リウヴィル）を保つことを見ます。