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第5章 ハミルトンベクトル場と流れ

いよいよ幾何の上に力学を乗せます。変分法のハミルトン力学では、エネルギー関数 HH（ハミルトニアン）から運動方程式 q˙=∂H/∂p, p˙=−∂H/∂q\dot q=\partial H/\partial p,\ \dot p=-\partial H/\partial q が出ました。 この章では、それをシンプレクティック幾何の言葉——ハミルトンベクトル場——で語り直します。鍵は前章までの 非退化性。それが「関数 HH の微分 dHdH を、ベクトル場 XHX_H に変換する」辞書を与えるのです。そしてその流れが、 エネルギーと相空間の体積を保つ——リウヴィルの定理を、まず目で確かめましょう。

非退化性が H を運動に変える

シンプレクティック形式の非退化性（第1章）は、11 形式とベクトル場を一対一に対応させます。これを使って、 エネルギー HH の微分 dHdH（11 形式）を、運動を表すベクトル場に翻訳します。

定義 ハミルトンベクトル場

非退化性より、関数 HH の微分 dHdH に対し ιXHω=dH(すなわち ω(XH,⋅)=dH)\iota_{X_H}\omega=dH\qquad(\text{すなわち }\omega(X_H,\cdot)=dH) を満たすベクトル場 XHX_H が一意に定まる。これを HH のハミルトンベクトル場という。その流れ （積分曲線）が HH の定める運動。

ダルブー座標 (q,p)(q,p) で書くと、ιXHω=dH\iota_{X_H}\omega=dH はちょうど XH=(∂H∂p, −∂H∂q),つまりq˙=∂H∂p, p˙=−∂H∂qX_H=\Big(\frac{\partial H}{\partial p},\,-\frac{\partial H}{\partial q}\Big),\quad\text{つまり}\quad \dot q=\frac{\partial H}{\partial p},\ \dot p=-\frac{\partial H}{\partial q} ——ハミルトンの運動方程式そのもの。非退化性という「各点の良さ」（第1章）が、ここで「HH から運動を 一意に取り出す辞書」として働いています。エネルギー関数一つを与えれば、相空間のすべての点での運動の向きが 決まる。運動方程式の非対称な符号（+∂H/∂p+\partial H/\partial p と −∂H/∂q-\partial H/\partial q）は、ω\omega の反対称性の 現れです。計量なら dHdH から勾配（最急降下）が出ますが、シンプレクティックでは ω\omega で 90°90° ねじれた 方向——エネルギーを保つ方向——が出る。ここが決定的な違いです。

エネルギー保存

ハミルトン流の第一の性質は、エネルギーを保つことです。しかもほとんど自明に出ます。

命題 エネルギー保存

ハミルトン流に沿って HH は一定：dHdt=0\dfrac{dH}{dt}=0。

証明

HH の流れに沿う変化率は XH(H)=dH(XH)=ω(XH,XH)=0X_H(H)=dH(X_H)=\omega(X_H,X_H)=0（ω\omega の反対称性 ω(u,u)=0\omega(u,u)=0）。ゆえに HH は運動に沿って一定。

ω(XH,XH)=0\omega(X_H,X_H)=0——自分自身との面積はゼロ、という反対称性の一撃でエネルギー保存が出ます。運動は エネルギーの等位面 {H=const}\{H=\text{const}\} の上に閉じ込められる。振り子なら「エネルギー一定の曲線」に沿って動く。 計量の勾配流がエネルギーを下げるのに対し、シンプレクティックのハミルトン流はエネルギーを保つ—— ω\omega が対称でなく反対称だからこその、力学にふさわしい性質です。

リウヴィルの定理：面積・体積を保つ

第二の、そして決定的な性質。ハミルトン流はシンプレクティック形式そのものを保ち、したがって相空間の体積を 保ちます。まず装置で、相空間の領域が流れでどう変わるかを見ましょう。

初期領域（ブロブ）は、流れとともに大きくずれ・回転しますが、囲む面積は一定に保たれます。振り子で 分離線の近くを流すと、ブロブは細長く引き伸ばされる——それでも面積は変わらない。これがリウヴィルの定理です。

定理 リウヴィルの定理

ハミルトン流 ϕt\phi_t はシンプレクティック形式を保つ：ϕt∗ω=ω\phi_t^*\omega=\omega（シンプレクティック 同相）。したがって体積形式 ωn\omega^n も保存し、相空間の任意の領域の体積（22 次元なら面積）は 時間によらず一定。

証明

流れに沿う ω\omega の変化はリー微分 LXHω\mathcal L_{X_H}\omega。カルタンの公式 LXHω=d(ιXHω)+ιXH(dω)\mathcal L_{X_H}\omega=d(\iota_{X_H}\omega)+\iota_{X_H}(d\omega) で、第一項は d(dH)=0d(dH)=0、第二項は dω=0d\omega=0（閉性）より 00。ゆえに LXHω=0\mathcal L_{X_H}\omega=0、ϕt∗ω=ω\phi_t^*\omega=\omega。体積 ωn\omega^n も 保たれる。

証明を見ると、ω\omega の保存に閉性 dω=0d\omega=0 が決定的に効いています（第二項を殺す）。第1章で 「閉性＝つながり方の良さ」と述べたことが、ここで「流れが ω\omega を保つ」という形で実る。リウヴィルの定理は 統計力学の基礎です——相空間の“確率の水”は湧きも消えもせず、非圧縮性流体のように流れる。ハミルトン系は 散逸しない（摩擦がない）ことの、幾何的な表現なのです。

注意 つまずきポイント

  • XHX_H はエネルギーを保つ方向。計量の勾配（エネルギーを下げる）と違い、ω\omega で 90°90° ねじれた 「等エネルギー方向」。反対称性の帰結。
  • エネルギー保存は ω(XH,XH)=0\omega(X_H,X_H)=0、体積保存は dω=0d\omega=0。前者が非退化＋反対称、後者が閉性。 シンプレクティックの二条件がそれぞれ別の保存則を生む。
  • リウヴィル ＝ 散逸なし。相空間の体積が保たれる＝情報が潰れない。摩擦のある系（散逸）はハミルトンで なく、この性質を持たない。

この章のまとめ

  • 非退化性が辞書 ιXHω=dH\iota_{X_H}\omega=dH を与え、エネルギー HH からハミルトンベクトル場 XHX_H が一意に 決まる。座標では q˙=∂H/∂p, p˙=−∂H/∂q\dot q=\partial H/\partial p,\ \dot p=-\partial H/\partial q（ハミルトンの運動方程式）。
  • エネルギー保存 dHdt=ω(XH,XH)=0\frac{dH}{dt}=\omega(X_H,X_H)=0（反対称性）。運動はエネルギー等位面に閉じ込められる。
  • リウヴィルの定理：ハミルトン流は ω\omega を保ち（LXHω=0\mathcal L_{X_H}\omega=0、閉性が効く）、相空間の 体積・面積を保存。散逸のない力学の幾何的表現、統計力学の基礎。
  • 計量の勾配流（エネルギーを下げる）と対照的に、シンプレクティックの流れはエネルギーと体積を保つ。

次章は、ハミルトン力学のもう一つの顔——ポアソン括弧を導入します。二つの関数から新しい関数を作るこの演算が、 保存量を見つけ、リー環構造を持ち、正準変換を統べることを見ます。