第6章ポアソン括弧

前章で、関数 $H$ からハミルトンベクトル場 $X_H$ が作れました。この対応を使うと、二つの関数 $f,g$ から新しい関数 $\{f,g\}$ を作る演算が生まれます——ポアソン括弧です。これはハミルトン力学の代数的な顔で、「保存量かどうか」を一目で判定し、関数全体にリー環の構造を与え、正準変換を統べます。さらに、量子力学の交換子 $[\hat A,\hat B]$ の古典的な祖先でもある——古典と量子を結ぶ、深い演算です。

ポアソン括弧の定義

定義ポアソン括弧

シンプレクティック多様体上の二つの関数 $f,g$ に対し、 $\{f,g\}=\omega(X_f,X_g)=X_f(g)=dg(X_f)$ をポアソン括弧という。ダルブー座標では $\{f,g\}=\sum_i\Big(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big).$

$\{f,g\}=X_f(g)$ ——「 $g$ を $f$ のハミルトン流に沿って微分した変化率」。あるいは対称的に $\omega(X_f,X_g)$ （二つのハミルトンベクトル場の面積）。反対称性 $\{f,g\}=-\{g,f\}$ は $\omega$ の反対称性から直に出ます。基本的な関係 $\{q_i,p_j\}=\delta_{ij}$ 、 $\{q_i,q_j\}=\{p_i,p_j\}=0$ は、位置と運動量の“正準”な関係を表し、量子力学の正準交換関係 $[\hat q,\hat p]=i\hbar$ の古典版です。

保存量の判定

ポアソン括弧の最も実用的な効用は、保存量を一目で見抜けることです。前章のエネルギー保存を、任意の量へ一般化します。

定理保存量とポアソン括弧

関数 $f$ がハミルトニアン $H$ の流れに沿って保存する（ $\frac{df}{dt}=0$ ） $\Leftrightarrow$ $\{f,H\}=0$ 。とくにエネルギー自身は $\{H,H\}=0$ で常に保存。

証明

$H$ の流れに沿う $f$ の変化率は $X_H(f)=\{H,f\}=-\{f,H\}$ 。これが $0$ ⟺ $\{f,H\}=0$ 。 $\{H,H\}=0$ （反対称）よりエネルギーは常に保存（前章の再確認）。

「 $H$ とポアソン可換なら保存量」。角運動量が保存するのは $\{L,H\}=0$ だから、というように、保存則の探索がポアソン括弧の計算に帰着します。しかも、二つの保存量からさらに保存量が作れます——次のリー環構造の帰結です。

リー環構造：ヤコビ恒等式

ポアソン括弧は、関数のなす無限次元ベクトル空間にリー環の構造を与えます。

定理ポアソン括弧はリー環をなす

関数全体 $C^\infty(M)$ はポアソン括弧についてリー環をなす：反対称 $\{f,g\}=-\{g,f\}$ かつ ヤコビ恒等式 $\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0.$ さらに $f\mapsto X_f$ はリー環準同型： $X_{\{f,g\}}=[X_f,X_g]$ （ハミルトンベクトル場のリー括弧）。ヤコビ恒等式は $d\omega=0$ （閉性）から従う。

ここで非可換環・リー環で学んだリー環が再登場します。ポアソン括弧の反対称性とヤコビ恒等式が、関数全体をリー環（ポアソン代数）にする。 $X_{\{f,g\}}=[X_f,X_g]$ は「関数のポアソン括弧」と「ベクトル場のリー括弧」が対応するという美しい辞書で、閉性 $d\omega=0$ がヤコビ恒等式を保証します。帰結として、二つの保存量 $f,g$ （ $\{f,H\}=\{g,H\}=0$ ）のポアソン括弧 $\{f,g\}$ もまた保存量（ヤコビ恒等式より $\{\{f,g\},H\}=0$ ）。保存量はポアソン括弧で閉じた集合をなし、そこに対称性のリー環（第7章のモーメント写像）が宿ります。

正準変換と、量子力学への橋

ポアソン括弧を保つ変換が、力学の「良い座標変換」＝正準変換です。

定義正準変換

ポアソン括弧を保つ（同値に $\omega$ を保つ）変換を正準変換（シンプレクティック同相）という。ハミルトン流はその一例（前章）。正準変換のもとで運動方程式は同じ形を保ち、母関数（第4章）で生成される。

ポアソン括弧は、古典力学と量子力学を結ぶ橋でもあります。ディラックの発見した対応 $\{f,g\}\ \longleftrightarrow\ \frac{1}{i\hbar}[\hat f,\hat g]$ ——古典のポアソン括弧が、量子の交換子（ $\frac{1}{i\hbar}$ 倍）に対応する——が正準量子化の指導原理です。 $\{q,p\}=1$ が $[\hat q,\hat p]=i\hbar$ になる。非可換環・リー環の冒頭で見た「位置と運動量の非可換性」は、古典のポアソン括弧の量子版だったのです。反対称・ヤコビというリー環構造が、古典から量子へそのまま受け継がれる——ポアソン括弧は、その構造を担う要石です。

注意つまずきポイント

$\{f,H\}=0$ ⟺ $f$ が保存量。保存則の探索がポアソン括弧の計算に。二保存量の括弧も保存量（リー環で閉じる）。
ヤコビ恒等式は閉性から。 $d\omega=0$ が $\{,\}$ のヤコビ恒等式を保証。第1章の閉性が、ここでリー環構造を支える。
古典 ↔ 量子： $\{f,g\}\leftrightarrow\frac{1}{i\hbar}[\hat f,\hat g]$ 。ポアソン括弧が交換子の古典的祖先。反対称・ヤコビの構造が両者に共通。

この章のまとめ

ポアソン括弧 $\{f,g\}=\omega(X_f,X_g)=X_f(g)$ 。座標では $\sum(\partial_q f\,\partial_p g-\partial_p f\,\partial_q g)$ 。反対称で $\{q_i,p_j\}=\delta_{ij}$ 。
保存量の判定： $f$ が保存 ⟺ $\{f,H\}=0$ 。エネルギーは $\{H,H\}=0$ で常に保存。
リー環構造： $C^\infty(M)$ はポアソン括弧でリー環（反対称＋ヤコビ、閉性から）。 $X_{\{f,g\}}=[X_f,X_g]$ 。二保存量の括弧も保存量。
正準変換＝ポアソン括弧（＝ $\omega$ ）を保つ変換。そして $\{f,g\}\leftrightarrow\frac1{i\hbar}[\hat f,\hat g]$ で 量子力学の交換子に対応（正準量子化）。

次章は、この保存量のリー環構造を、対称性（群作用）と結びつけます。モーメント写像——連続対称性から保存量を自動的に取り出す装置——で、変分法のネーターの定理を幾何の言葉に翻訳します。

第6章 ポアソン括弧