⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第7章 モーメント写像

変分法のネーターの定理は「連続対称性があれば保存量がある」と教えました。この章では、 それをシンプレクティック幾何の言葉で完成させます。主役はモーメント写像——リー群の対称性から、保存量を 一括して自動的に取り出す装置です。運動量も角運動量も、その成分にすぎない。そして驚くべきことに、トーラスの 対称性の場合、モーメント写像の像は凸多面体になります（アティヤ–ギユマン–スターンバーグ）。対称性・保存量・ 凸幾何が一つに結ばれる、美しい章です。

対称性を保存量に変える

シンプレクティック多様体 (M,ω)(M,\omega) にリー群 GG が作用し、ω\omega を保つ（各 g∈Gg\in G が シンプレクティック同相）としましょう。GG の各無限小生成元（リー環 g\mathfrak g の元 ξ\xi）は、MM 上のベクトル場 XξX_\xi を生みます。ω\omega を保つので、この XξX_\xi は（局所的に）ハミルトン ベクトル場——つまり、それを生むハミルトニアン（保存量）μξ\mu_\xi があります。これらを束ねたのがモーメント写像です。

定義 モーメント写像

GG の作用に対し、写像 μ ⁣:M→g∗\mu\colon M\to\mathfrak g^*（リー環の双対）がモーメント写像とは、各 ξ∈g\xi\in\mathfrak g について、μ\mu の ξ\xi 方向成分 μξ=⟨μ,ξ⟩\mu_\xi=\langle\mu,\xi\rangle が、生成ベクトル場 XξX_\xi の ハミルトニアンになること： ιXξω=dμξ.\iota_{X_\xi}\omega=d\mu_\xi. さらに μ\mu が GG-同変（対称性と両立）であることを課す。

モーメント写像は、「対称性 ξ\xi ↦ 対応する保存量 μξ\mu_\xi」を一つの写像にまとめたものです。MM の各点に、 そこでの全保存量の値（g∗\mathfrak g^* の元）を対応させる。前章の「保存量はポアソン括弧で閉じたリー環をなす」 という構造が、ここで「対称性のリー環 g\mathfrak g の像」として具体化されます。

ネーターの定理の幾何版

モーメント写像は、GG-対称なハミルトン系の保存量を保証します。ネーターの定理そのものです。

定理 モーメント写像は保存する（ネーター）

ハミルトニアン HH が GG-不変（対称性を持つ）なら、モーメント写像 μ\mu は HH の流れに沿って保存する： 各 μξ\mu_\xi は保存量（{μξ,H}=0\{\mu_\xi,H\}=0）。連続対称性 GG が、dim⁡G\dim G 個の保存量 μ\mu を生む。

具体例で、モーメント写像が見慣れた保存量であることを確かめましょう。

例 運動量・角運動量はモーメント写像

  • 並進対称性（G=RnG=\mathbb R^n が位置を平行移動）→ モーメント写像は運動量 pp。
  • 回転対称性（G=SO(3)G=\mathrm{SO}(3) が空間を回転）→ モーメント写像は角運動量 L=q×pL=q\times p。
  • S1S^1 回転（平面を回す）→ モーメント写像は μ=12(q2+p2)\mu=\frac12(q^2+p^2)（＝面積・エネルギー）。 「運動量」「角運動量」という名前どおり、モーメント（moment）写像はこれらを一般化・統一したもの。

変分法のネーターの定理では「並進→運動量、回転→角運動量」と対応を述べました。 モーメント写像は、その対応を幾何的な写像 μ ⁣:M→g∗\mu\colon M\to\mathfrak g^* として一つにまとめ、任意のリー群の 対称性に一般化したものです。物理の保存量が、シンプレクティック幾何の一つの構造に統合されました。

アティヤ–ギユマン–スターンバーグ：像は凸多面体

モーメント写像の最も驚くべき性質は、トーラス作用の場合に現れます。像が凸多面体になるのです。装置で見ましょう。

定理 凸性定理（アティヤ–ギユマン–スターンバーグ）

コンパクトシンプレクティック多様体にトーラス Tk=(S1)kT^k=(S^1)^k がシンプレクティックに作用するとき、モーメント 写像 μ ⁣:M→Rk\mu\colon M\to\mathbb R^k の像は凸多面体（固定点の像を頂点とする凸包）。とくに dim⁡M=2k\dim M=2k（トーリック） なら、この多面体（デルザント多面体）が多様体を完全に決める。

なめらかな多様体の上の写像の像が、角ばった凸多面体になる——これは意外です。装置で見たように、CP1\mathbb{CP}^1 は 線分、CP2\mathbb{CP}^2 は三角形、CP1×CP1\mathbb{CP}^1\times\mathbb{CP}^1 は正方形。多面体の頂点はトーラスの固定点で、 その個数はオイラー標数 χ\chi に等しい。多面体の辺・面が、多様体の部分多様体に対応する。連続的な幾何 （シンプレクティック多様体）が、**組み合わせ的なデータ（多面体）**に完全に翻訳される——これが トーリック幾何で、複素幾何の射影トーリック多様体・ミラー対称性 （第12章）とも直結します。対称性を突き詰めると、幾何が組み合わせ論になるのです。

注意 つまずきポイント

  • モーメント写像は g∗\mathfrak g^* に値をとる。各対称性方向 ξ\xi の保存量 μξ\mu_\xi を束ねたもの。運動量・ 角運動量はその成分・特別な場合。
  • HH が対称なら μ\mu が保存（ネーター）。対称性 GG の次元だけ保存量が出る。可積分系はこの保存量が たくさんある場合。
  • 凸性は驚き。なめらかな写像の像が凸多面体。頂点＝固定点、個数＝χ。連続幾何が組み合わせデータに （トーリック幾何）。

この章のまとめ

  • モーメント写像 μ ⁣:M→g∗\mu\colon M\to\mathfrak g^*：GG の対称性から保存量を一括で取り出す装置。各方向成分 μξ\mu_\xi が生成ベクトル場 XξX_\xi のハミルトニアン（ιXξω=dμξ\iota_{X_\xi}\omega=d\mu_\xi）。
  • ネーターの幾何版：HH が GG-不変なら μ\mu は保存。並進→運動量、回転→角運動量、S1S^1→12(q2+p2)\frac12(q^2+p^2)。 物理の保存量をリー群の対称性に統一。
  • 凸性定理：トーラス作用のモーメント写像の像は凸多面体（頂点＝固定点、個数＝χ）。トーリック多様体は 多面体で完全に決まる——連続幾何が組み合わせデータに。
  • 保存量・対称性・凸幾何が一つに結ばれ、トーリック幾何・ミラー対称性へつながる。

次章は、モーメント写像を使って多様体そのものを“縮める”シンプレクティック簡約（マースデン–ワインスタイン） を扱います。対称性を使って次元を落とし、より小さいシンプレクティック多様体を作る強力な手法です。