⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第8章 シンプレクティック簡約

前章のモーメント写像 μ\mu は、対称性から保存量を取り出しました。この章では、それを使って多様体そのものを 縮めます。保存量を固定し（μ=\mu= 一定）、さらに対称性で割ると、次元の下がった新しいシンプレクティック 多様体ができる——マースデン–ワインスタインの簡約です。物理では「保存量を使って自由度を減らす」古典的な 手法（角運動量保存で二体問題を一次元に落とすなど）を、幾何的に定式化したもの。対称性を、次元を落とす道具に 変える、シンプレクティック幾何の強力な構成法です。

発想：保存量で固定し、対称性で割る

対称性 GG を持つシンプレクティック多様体 (M,ω)(M,\omega) を小さくしたい。素朴に「MM を GG で割る」だけでは、 商 M/GM/G はシンプレクティックになりません（次元の偶奇が合わない・ω\omega が退化する）。ここで二段階の操作が 効きます。まず保存量を固定し、それから割るのです。

定理 マースデン–ワインスタインの簡約

(M,ω)(M,\omega) にリー群 GG がシンプレクティックに作用し、モーメント写像 μ ⁣:M→g∗\mu\colon M\to\mathfrak g^* を持つ とする。0∈g∗0\in\mathfrak g^* が正則値で GG が μ−1(0)\mu^{-1}(0) に自由かつ固有に作用するなら、商 M/ ⁣/G:=μ−1(0)/GM/\!/G:=\mu^{-1}(0)/G は自然なシンプレクティック形式 ωred\omega_{\mathrm{red}} を持つ簡約空間で、次元は dim⁡(M/ ⁣/G)=dim⁡M−2dim⁡G.\dim(M/\!/G)=\dim M-2\dim G.

二段階を読み解きます。(1) μ−1(0)\mu^{-1}(0) に制限——保存量を 00 に固定（等位面をとる）。これで次元が dim⁡G\dim G 下がる。(2) GG で割る——対称性方向を潰す。これでさらに dim⁡G\dim G 下がる。合計 2dim⁡G2\dim G 下がって、 残った空間がちょうどシンプレクティックになる。μ−1(0)\mu^{-1}(0) 上で ω\omega は退化するが、退化する方向がちょうど GG の軌道方向なので、GG で割ると退化が消えて非退化な ωred\omega_{\mathrm{red}} が残る——この「退化方向と対称性 方向が一致する」ことがモーメント写像の定義（ιXξω=dμξ\iota_{X_\xi}\omega=d\mu_\xi）から保証されます。00 でない 正則値 cc でも（GcG_c 不変なら）同様に μ−1(c)/Gc\mu^{-1}(c)/G_c が作れます。

例：簡約が作る空間

簡約は、重要なシンプレクティック多様体を“製造”します。抽象的な操作に具体例で血を通わせましょう。

例 複素射影空間は簡約で得られる

Cn+1\mathbb C^{n+1} の標準シンプレクティック構造に S1S^1 が z↦eiθzz\mapsto e^{i\theta}z で作用する。モーメント写像は μ(z)=12∣z∣2\mu(z)=\frac12|z|^2。μ−1(12)=S2n+1\mu^{-1}(\tfrac12)=S^{2n+1}（単位球面）を S1S^1 で割ると Cn+1/ ⁣/S1=S2n+1/S1=CPn.\mathbb C^{n+1}/\!/S^1=S^{2n+1}/S^1=\mathbb{CP}^n. 複素射影空間が、平坦な Cn+1\mathbb C^{n+1} のシンプレクティック簡約として得られる。前章のフビニ–スタディ計量 （複素幾何）が、この簡約から自然に出る。

CPn\mathbb{CP}^n という基本的な空間が、もっと単純な Cn+1\mathbb C^{n+1} から対称性で割って作れる——これは簡約の 威力を示す好例です。物理では、二体問題が並進対称性の簡約で相対運動だけに、さらに回転対称性（角運動量保存） の簡約で動径方向の一次元問題に落ちる。「保存量で自由度を減らす」という力学の常套手段が、すべてこの シンプレクティック簡約の実例です。ゲージ理論のモジュライ空間（複素幾何・数理物理）も、 無限次元の簡約として構成されます。

簡約が保つもの・トーリックとの関係

簡約は「次元を落としつつシンプレクティック構造を保つ」操作です。前章のトーリック幾何とも自然につながります。

注意 簡約とトーリック多様体

CN\mathbb C^N にトーラス TkT^k を作用させてシンプレクティック簡約すると、2(N−k)2(N-k) 次元のトーリック多様体が 得られ、そのモーメント多面体（第7章）は、CN\mathbb C^N の標準的な多面体（第一象限）を TkT^k の作用方向で 「切った」ものになる。簡約 ＝ 多面体を切るという組み合わせ的な描像。デルザントの構成は、逆に任意の デルザント多面体からトーリック多様体を簡約で作る手続き。前章の凸多面体と本章の簡約が、一つの絵に収まる。

注意 つまずきポイント

  • 二段階が要る。M/GM/G だけではシンプレクティックにならない。「μ−1(0)\mu^{-1}(0) で固定（−dim⁡G-\dim G）」＋ 「GG で割る（−dim⁡G-\dim G）」で合計 −2dim⁡G-2\dim G。偶数次元が保たれる。
  • 退化方向＝対称性方向。μ−1(0)\mu^{-1}(0) 上で ω\omega が退化する向きが、ちょうど GG の軌道方向。だから 割ると退化が消える。モーメント写像の定義がこれを保証。
  • 物理の「自由度を減らす」の幾何版。角運動量保存で二体問題を落とす等、保存量による簡約が本章の実例。

この章のまとめ

  • シンプレクティック簡約（マースデン–ワインスタイン）：M/ ⁣/G=μ−1(0)/GM/\!/G=\mu^{-1}(0)/G。保存量を固定（μ−1(0)\mu^{-1}(0)） してから対称性で割る二段階で、次元が 2dim⁡G2\dim G 下がった新しいシンプレクティック多様体ができる。
  • 退化方向と GG-軌道方向が一致する（モーメント写像の定義）ため、割ると非退化な ωred\omega_{\mathrm{red}} が残る。
  • 例：Cn+1/ ⁣/S1=CPn\mathbb C^{n+1}/\!/S^1=\mathbb{CP}^n。二体問題の簡約、ゲージ理論のモジュライも同じ枠組み。「保存量で 自由度を減らす」力学の常套手段の幾何版。
  • 簡約は多面体を切る操作としてトーリック幾何（第7章）と結びつく（デルザントの構成）。

前半（基礎）と中盤（ハミルトン力学・対称性）が揃いました。後半は大域シンプレクティック幾何へ。次章は、 シンプレクティック形式と両立する概複素構造 JJ を導入し、複素幾何との接点を作ります。 これが第10章の剛性・第11章の擬正則曲線の道具になります。