第4章座標環と射

図形の上の「関数」を集める

零点定理（前章）で、図形とイデアルが一対一になりました。次の一手は、対応を**写像（射）**まで広げること。そのために、多様体 $X$ の上に住む「関数」を集めます。 $X$ 上の自然な関数とは、多項式を $X$ に制限したもの。ただし $X$ 上で消える多項式（ $I(X)$ の元）は $0$ と区別できないので、それで割った商が「 $X$ 上の多項式関数」の全体になります。

定義座標環

アフィン多様体 $X\subseteq\mathbb A^n$ に対し、

k[X]=k[x_1,\dots,x_n]/I(X)

を $X$ の座標環（アフィン環）という。 $X$ 上の多項式関数の全体。 $X$ が既約なら $I(X)$ は素で、 $k[X]$ は整域。

座標環 $k[X]$ は、「多項式全体を、 $X$ 上で消えるもので割った」商環（環論）。図形 $X$ の代数的な分身です。零点定理により $I(X)$ は根基イデアルなので、 $k[X]$ はべき零元をもたない（被約）有限生成 $k$ 代数——この形の環がちょうどアフィン多様体に対応します。

例座標環の例

$X=\mathbb A^n$ ： $k[X]=k[x_1,\dots,x_n]$ （多項式環そのもの）。
円 $X=V(x^2+y^2-1)$ ： $k[X]=k[x,y]/(x^2+y^2-1)$ 。この環の中では $x^2+y^2=1$ が成り立つ。
$X=$ 一点 $\{p\}$ ： $k[X]=k$ （定数だけ）。
$X=V(xy)$ （二直線）： $k[x,y]/(xy)$ —— $xy=0$ だが $x,y\ne0$ の零因子をもつ（既約でない＝整域でない）。

射——多様体の間の写像

多様体の間の「良い写像」は、各座標が多項式で書けるもの。これが射です。そして射は、座標環の間の準同型を 逆向きに引き起こします（引き戻し）。

定義射・多項式写像

多様体 $X\subseteq\mathbb A^m,\ Y\subseteq\mathbb A^n$ の間の射（多項式写像） $\varphi:X\to Y$ とは、多項式 $f_1,\dots,f_n$ で $\varphi(p)=(f_1(p),\dots,f_n(p))\in Y$ と書けるもの。

定理射 ↔ 環準同型（引き戻し）

射 $\varphi:X\to Y$ は、座標環の間の $k$ 準同型を逆向きに引き起こす：

\varphi^*:k[Y]\to k[X],\qquad \varphi^*(g)=g\circ\varphi

（ $Y$ 上の関数を $\varphi$ で $X$ 上へ引き戻す）。逆に、任意の $k$ 準同型 $k[Y]\to k[X]$ はただ一つの射 $X\to Y$ から来る。

「 $Y$ の上の関数 $g$ を、 $\varphi$ で $X$ に引き戻す」（ $g\mapsto g\circ\varphi$ ）——圏論で見た反変関手（引き戻し）そのものです。射 $\varphi$ の向き（ $X\to Y$ ）と、環準同型 $\varphi^*$ の向き（ $k[Y]\to k[X]$ ）が逆なのが要。幾何の矢印と代数の矢印が、向きを反転して対応します。

幾何と代数は「圏として同値」

前章までの対応（図形↔イデアル）が、射まで込めて圏の同値（圏論）に格上げされます。これが古典代数幾何の総仕上げ——幾何の圏と代数の圏が、本質的に同じものだと言い切る定理です。

定理幾何と代数の反変圏同値

代数閉体 $k$ 上で、対応

X\ \longmapsto\ k[X],\qquad \varphi\ \longmapsto\ \varphi^*

は、圏の反変同値（圏論）

\{\text{アフィン多様体と射}\}\ \simeq\ \{\text{被約有限生成 }k\text{ 代数と }k\text{ 準同型}\}^{\mathrm{op}}

を与える。幾何の圏と代数の圏は、矢印を逆にして完全に同じ。

これが辞書の完成形です。幾何のあらゆる概念が、代数の概念に翻訳できる——多様体は環、射は準同型、部分多様体は商環、点は極大イデアル（前章）。幾何の問いを代数計算に、代数の構造を幾何の直感に、自由に翻訳してよい。反変（矢印が逆）なのは、関数の引き戻しが向きを反転するから（圏論の $\mathrm{Hom}(-,C)$ と同じ）。

注意この同値がスキームの出発点

反変同値「多様体 ↔ 環」を眺めると、自然な問いが湧く——右辺の「環」を、被約・有限生成・ $k$ 代数に限らず “任意の環”にしたらどうなるか。左辺の「多様体」を、それに対応する新しい幾何的対象へ拡張できないか。その答えが、グロタンディークのスキーム（第10・11章）。 $\operatorname{Spec}$ が「任意の環に図形を対応させる」関手として、この圏同値を極限まで一般化する。古典的辞書の完成が、そのまま現代代数幾何への扉になる。

つまずきポイント

注意よくある誤解

座標環＝図形の上の多項式関数。 $k[x_i]/I(X)$ 。 $X$ 上で消える多項式を $0$ と同一視した商環。図形の代数的分身。
射と準同型は向きが逆（反変）。 $\varphi:X\to Y$ に対し $\varphi^*:k[Y]\to k[X]$ 。関数の引き戻しだから逆向き。取り違えない。
対応するのは被約有限生成 $k$ 代数。 べき零元なし（零点定理＝根基）、有限生成（ヒルベルト基底）。任意の環ではない（それはスキーム、第10章）。
圏同値は「本質的に同じ」。 幾何と代数が完全に翻訳し合える。片方で証明すれば他方でも成り立つ。

この章のまとめ

座標環 $k[X]=k[x_1,\dots,x_n]/I(X)$ ＝多様体 $X$ 上の多項式関数の全体。零点定理より被約な有限生成 $k$ 代数。既約なら整域。
射 $\varphi:X\to Y$ （多項式写像）は、座標環の準同型 $\varphi^*:k[Y]\to k[X]$ を逆向きに引き起こす（引き戻し、圏論の反変）。射と準同型は一対一。
反変圏同値： $\{\text{アフィン多様体と射}\}\simeq\{\text{被約有限生成 }k\text{ 代数}\}^{\mathrm{op}}$ 。幾何と代数は矢印を逆にして完全に同じ。
「環を任意にしたら？」という問いがスキームを生む。Part I（アフィン多様体）はここまで。次章から射影多様体へ——なぜ図形を射影空間で完備化するのかを見ます。

次章では、射影空間 $\mathbb P^n$ と斉次座標を導入し、無限遠点を加えて交わりを完備化する動機を、平行線の交わりで体感します。

第4章 座標環と射