第5章射影空間 — なぜ完備化するか

「例外」をなくしたい

アフィン平面での幾何には、目障りな例外がつきまといます。「相異なる二直線は一点で交わる——ただし平行な場合を除く」。「二次曲線と直線は二点で交わる——ただし接するときや、交点が消えるときを除く」。この「ただし〜を除く」を消し去りたい。すべての場合を例外なく統一したい。

その願いを叶えるのが射影空間です。アイデアは、無限遠に“点”を追加すること。平行線は「無限遠点で交わる」とみなす。すると「二直線は必ず一点で交わる」が例外なく成り立ち、図形の交わりが完備になります。まず平行線の交わりを体感しましょう。

線 B の傾き＝ 1.20 線 A の傾きは 0.50 に固定

線 B の傾きを線 A（傾き 0.5）に近づけると、二直線の交点が遠くへ逃げていきます。ちょうど平行になった瞬間、交点は無限遠へ——射影平面ではそこに「無限遠点」があり、二直線はそこで交わる。同じ傾きの平行線の束（薄い線）はすべてこの同じ無限遠点を共有します。方向ひとつに、無限遠点ひとつ。射影空間は、この無限遠点を正式な住人に加えた空間です。

射影空間＝アフィン空間に「各方向の無限遠点」を加えた完備な空間。平行線も交わり、交わりから例外が消える。

射影空間の定義

無限遠点を対等に扱うには、座標を工夫します。点を「原点を通る直線」で表し、スカラー倍を同一視するのです。

定義射影空間・斉次座標

$k^{n+1}\setminus\{0\}$ に、比例による同値関係 $(x_0,\dots,x_n)\sim(\lambda x_0,\dots,\lambda x_n)$ （ $\lambda\ne0$ ）を入れた商を射影空間 $\mathbb P^n$ という。点を $[x_0:x_1:\dots:x_n]$ （斉次座標）と書く（比だけが意味をもつ）。 $\mathbb P^n$ ＝「 $k^{n+1}$ の原点を通る直線の全体」。

$[x_0:\dots:x_n]$ は「比」だけが意味をもつ座標。 $[2:4]=[1:2]$ です。 $\mathbb P^n$ は $k^{n+1}$ の原点を通る直線（ $1$ 次元部分空間）の全体、と読めます。この「一段上の空間で直線を点とみなす」視点が、アフィンと無限遠を対等にします。

アフィン空間＋無限遠

射影空間は、アフィン空間に無限遠を貼り足したものだと、座標で明示できます。 $x_0\ne0$ の部分がアフィン、 $x_0=0$ の部分が無限遠です。

定理射影空間の分解

$\mathbb P^n$ は、アフィン部分と無限遠部分に分かれる：

\mathbb P^n=\underbrace{\{[1:x_1:\dots:x_n]\}}_{\cong\ \mathbb A^n\ (\text{アフィン})}\ \sqcup\ \underbrace{\{[0:x_1:\dots:x_n]\}}_{\cong\ \mathbb P^{n-1}\ (\text{無限遠})}.

$x_0\ne0$ なら $[x_0:\dots:x_n]=[1:x_1/x_0:\dots]$ でアフィン点、 $x_0=0$ が無限遠点（ $\mathbb P^{n-1}$ ぶん）。

たとえば射影平面 $\mathbb P^2$ は「アフィン平面 $\mathbb A^2$ ＋無限遠の $\mathbb P^1$ （直線）」。無限遠の $\mathbb P^1$ が「各方向に一つずつの無限遠点」を集めた無限遠直線です。平行線は方向が同じ＝無限遠直線上の同じ点を共有し、そこで交わる。デモで見た「方向ひとつ＝無限遠点ひとつ」が、 $x_0=0$ の $\mathbb P^{n-1}$ として厳密になりました。

注意覆いとして——複数のアフィン地図

$x_0\ne0$ だけでなく、各 $x_i\ne0$ の部分もアフィン空間 $\mathbb A^n$ になる。 $\mathbb P^n$ は $n+1$ 枚のアフィン地図 $U_i=\{x_i\ne0\}$ で覆われ、どの点も少なくとも一枚に写る。多様体を地図帳で覆ったのと同じ発想 ——射影空間は「アフィン地図を貼り合わせた」空間。この“貼り合わせ”の視点が、第6章の射影多様体、そして第11章のスキーム（アフィンを貼る）へ直結する。

射影化がもたらす完備性

無限遠を加える最大の御利益は、交わりが完備になること。その頂点が、次数だけで交点数を言い当てるベズーの定理です（証明は与えず、思想を述べます）。

定理ベズーの定理（射影版）

射影平面 $\mathbb P^2$ 上で、共通成分をもたない次数 $d$ と $e$ の曲線は、（無限遠点・複素点・重複度も込めて）ちょうど $d\cdot e$ 点で交わる。

アフィンでは「放物線と直線が一点でしか交わらない（もう一点は無限遠）」「二円が二点で交わるはずが消える（複素点や無限遠）」といった例外だらけでした。射影化して無限遠点・複素点・重複度をすべて数えると、交点数は 次数の積 $de$ ちょうど——例外が完全に消えます。「無限遠を足すと数が合う」——射影空間が“正しい”舞台である証拠です。第1章の「複素で考える」に、ここで「射影で考える」が加わりました。

注意なぜ完備性が欲しいのか

射影多様体は（複素）コンパクト——アフィンのように“端が開いて逃げる”ことがない。複素解析やリーマン幾何でコンパクト性が理論をきれいにしたのと同様、代数幾何でも完備（射影）な対象は「交点数が保たれる」「大域的な不変量が定まる」など桁違いに扱いやすい。だから代数幾何の主役は、アフィンよりむしろ射影多様体。無限遠を足すのは、対象を閉じて完備にするため。

つまずきポイント

注意よくある誤解

斉次座標は「比」。 $[x_0:\dots:x_n]$ はスカラー倍を同一視。 $[2:4]=[1:2]$ 。個々の値でなく比が点を決める。
無限遠点は「方向」。 各方向に一つ。平行線は同じ方向＝同じ無限遠点で交わる。 $\mathbb P^n=\mathbb A^n\sqcup\mathbb P^{n-1}$ 。
射影化で交わりが完備（ベズー）。 無限遠点・複素点・重複度を数えると交点数が次数の積 $de$ ちょうど。例外が消える。
射影多様体はコンパクト。 アフィンより扱いやすい。だが $\mathbb P^n$ 全体で消える多項式は定数だけ（大域正則関数が貧弱）——アフィンとは逆の性質。

この章のまとめ

アフィン幾何の「例外（平行・交点消失）」を消すため、無限遠点を加える。方向ひとつに無限遠点ひとつ。
射影空間 $\mathbb P^n$ ＝斉次座標 $[x_0:\dots:x_n]$ （比のみ意味をもつ）＝ $k^{n+1}$ の原点を通る直線の全体。 $\mathbb P^n=\mathbb A^n\sqcup\mathbb P^{n-1}$ （アフィン＋無限遠）、 $n+1$ 枚のアフィン地図で覆える。
射影化で交わりが完備（ベズーの定理：交点数＝次数の積 $de$ ）。射影多様体はコンパクトで扱いやすい。
射影空間の上で図形を定義するには、斉次多項式が要る。次章では、斉次イデアルと射影多様体、そしてアフィンとの貼り合わせを扱います。

次章では、斉次多項式・斉次イデアルで射影多様体を定義し、射影版の零点定理とアフィン地図での貼り合わせを見ます。

第5章 射影空間 — なぜ完備化するか