⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第7章 次元・次数・特異点

多様体を測る三つのものさし

図形（多様体）が定義できたら、その「かたち」を数で捉えたくなります。曲線か曲面か（次元）、どれくらい 込み入っているか（次数）、滑らかか尖っているか（特異点）。この三つのものさしが、多様体の基本的な 姿を数値化します。とくに特異点——曲線が自分と交わる節点や、尖る尖点——は、代数（勾配の消滅）で正確に 検出でき、幾何の直感（滑らかさ）と結びつきます。

次元＝図形の広がり、次数＝込み入り具合、特異点＝滑らかでない点（勾配が消える）。多様体を測る三つの数。

次元

次元は「図形がどれだけ広がっているか」。直感どおり、点は 00、曲線は 11、曲面は 22。これを、既約閉集合の 鎖の長さ（＝座標環のクルル次元）で厳密に定めます。

定義 次元

多様体 XX の次元 dim⁡X\dim X を、既約閉集合の真の増大鎖

X0⊊X1⊊⋯⊊Xd⊆XX_0\subsetneq X_1\subsetneq\cdots\subsetneq X_d\subseteq X

の長さ dd の最大値と定める。座標環のクルル次元（素イデアルの鎖の長さ、環論）に等しい。

「点 ⊊\subsetneq 曲線 ⊊\subsetneq 曲面 ⊊⋯\subsetneq\cdots」という既約閉集合の入れ子の最大の長さが次元。An,Pn\mathbb A^n,\mathbb P^n は 次元 nn、超曲面 V(f)V(f)（一本の方程式）は次元 n−1n-1——一つ方程式を課すごとに一次元下がる、という直感が そのまま成り立ちます。幾何の次元が、代数の素イデアルの鎖の長さ（クルル次元）と一致するのが、辞書の また一つの現れです。

次数

次数は「多様体がどれだけ込み入っているか」。射影多様体を、一般の線形部分空間で切ったときの交点数で測ります。

定義 次数

射影多様体 X⊆PnX\subseteq\mathbb P^n（次元 dd）の次数 deg⁡X\deg X を、一般の位置にある (n−d)(n-d) 次元線形 部分空間 LL との交点数 #(X∩L)\#(X\cap L) と定める（重複度込み）。

超曲面 V+(f)V_+(f)（ff が dd 次形式）の次数は dd——直線で切ると dd 点で交わる（ベズー、第5章）。 次数は、多様体の“曲がり具合・広がりの複雑さ”を一つの整数に凝縮します。次元が「何次元か」、次数が「その中で どれだけ大きいか」を表す、と覚えるとよいでしょう。

特異点と非特異性

三つ目のものさしが特異点。曲線が節点で自分と交わったり、尖点で尖ったりする「滑らかでない点」です。代数で 正確に検出できます——その点で、定義多項式のすべての偏微分（勾配）が同時に消えるとき、特異点です。

定義 特異点・非特異点（ヤコビ判定）

超曲面 V(f)V(f) の点 pp が非特異（滑らか）であるとは、勾配 ∇f(p)=(∂1f(p),…,∂nf(p))≠0\nabla f(p)=(\partial_1 f(p),\dots,\partial_n f(p))\ne 0 であること。∇f(p)=0\nabla f(p)=0（かつ f(p)=0f(p)=0）のとき pp を特異点という。一般にはヤコビ行列の階数で 判定する（ヤコビ判定法）。

なぜ勾配の消滅が特異点なのか。非特異点では勾配 ∇f(p)≠0\nabla f(p)\ne0 が接超平面 ∇f(p)⋅(x−p)=0\nabla f(p)\cdot(x-p)=0 を定め、 陰関数定理により図形は局所的に滑らかなグラフになります。勾配が消えると接平面が定まらず、 節点（二方向の接線）や尖点（尖り）が生じる。第1章の零点集合プロッタで確かめましょう。

節点（y2=x2(x+1)y^2=x^2(x+1)）と尖点（y2=x3y^2=x^3）を選ぶと、原点に特異点（青い印）が現れます。そこで曲線が自分と 交わる（節点）か尖る（尖点）。一方、円・放物線・楕円曲線 y2=x3−xy^2=x^3-x は全点で滑らか（特異点なし）——勾配が どこでも消えないからです。式の性質（勾配の消滅）が、図形の性質（尖り）にそのまま対応します。

定理 非特異点での接空間

非特異点 pp での接空間（ザリスキ接空間）は、XX の次元 dd に等しい次元をもつ。特異点では接空間の 次元が跳ね上がる（>d>d）。したがって「接空間の次元が多様体の次元を超える点」が特異点。

特異点は「接空間が太る点」とも言えます。滑らかな点では接空間が図形の次元ぴったり（曲線なら接線一本）、 特異点では接空間が跳ね上がる（節点では接線が二本＝接空間が 22 次元に太る）。この「接空間の跳ね上がり」による 特異点の検出は、超曲面に限らず一般の多様体で使える（ザリスキ接空間による内在的定義）ものです。

注意 滑らかな多様体は微分幾何とつながる

すべての点が非特異な多様体を非特異多様体（滑らかな多様体）という。複素数上の非特異射影多様体は、 複素多様体——なめらかな多様体であり、微分幾何・ リーマン幾何の対象でもある。代数幾何と微分幾何が出会う場所。特異点の解消 （特異な多様体を非特異なもので置き換える、広中の定理）は、代数幾何の一大テーマ。y2=x3−xy^2=x^3-x のような 非特異楕円曲線は、複素数上ではトーラス（11 次元複素多様体）になり、群構造をもつ——数論の主役へ。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 次元はクルル次元（素イデアルの鎖）。 幾何の次元＝代数の鎖の長さ。超曲面は一つ下がって n−1n-1 次元。
  • 次数は一般の線形空間との交点数。 超曲面なら定義多項式の次数。込み入り具合を測る整数。
  • 特異点＝勾配が同時に消える点。 f(p)=0f(p)=0 かつ ∇f(p)=0\nabla f(p)=0。接平面が定まらず、節点・尖点が生じる。
  • 特異点では接空間が太る。 非特異なら接空間の次元＝多様体の次元、特異点では跳ね上がる。ザリスキ接空間で 内在的に判定。

この章のまとめ

  • 次元＝既約閉集合の鎖の長さ＝座標環のクルル次元（環論）。超曲面は n−1n-1 次元。次数＝一般の線形空間との交点数（超曲面なら定義多項式の次数）。
  • 特異点＝f(p)=0f(p)=0 かつ勾配 ∇f(p)=0\nabla f(p)=0（ヤコビ判定）。節点・尖点が生じ、接平面が定まらない。非特異点では接空間の次元＝多様体の次元、特異点では接空間が太る。
  • 全点が非特異な非特異多様体は複素多様体・微分幾何とつながる。非特異楕円曲線はトーラス＝数論の主役。
  • Part II（射影多様体）はここまで。次章から現代代数幾何へ。まず、局所的な関数の情報を貼り合わせる道具——層を導入します。

次章では、局所的な関数の情報を大域に貼り合わせる層（前層・層・貼り合わせ公理・茎）を導入します。