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第7章 ホモトピー不変性と長完全系列

ホモロジーを「計算する」ための道具

前章でホモロジー群を定義しました。でも、定義（すべての特異単体を数える）から直接計算するのは不可能です （特異単体は非可算個！）。実際に計算するには、ホモロジーの性質を使います。この章では、その2本柱を整えます。

第一の柱はホモトピー不変性——ホモトピー同値な空間は同じホモロジーをもつ。だから空間を変位レトラクトで 単純化してから計算できます。第二の柱は長完全系列——空間 XX とその部分空間 AA のホモロジーを、XX、AA、そして 「AA を潰した X/AX/A」（相対ホモロジー）の間の完全系列で結びつける。完全系列は「隣り合う項が核と像でつながる鎖」で、 加群論・ホモロジー代数の中心概念。これらを組み合わせると、次章で球面や複雑な空間の ホモロジーが芋づる式に計算できます。「一部が分かれば残りが決まる」——完全系列は、ホモロジー計算のエンジンです。

ホモロジーはホモトピー不変（変位レトラクトで単純化できる）。対の長完全系列が X,A,(X,A)X,A,(X,A) のホモロジーを結び、計算を可能にする。

ホモトピー不変性

定理 ホモロジーのホモトピー不変性

連続写像 f:X→Yf:X\to Y は準同型 f∗:Hn(X)→Hn(Y)f_*:H_n(X)\to H_n(Y) を誘導し（関手性）、f≃gf\simeq g（ホモトピック）なら f∗=g∗f_*=g_*。 ゆえ X≃YX\simeq Y（ホモトピー同値）なら Hn(X)≅Hn(Y)H_n(X)\cong H_n(Y)（各 nn）。特に可縮空間は H0=ZH_0=\mathbb Z、Hn=0 (n≥1)H_n=0\ (n\ge1)。

証明

（要点。）f≃gf\simeq g のホモトピー H:X×[0,1]→YH:X\times[0,1]\to Y から、鎖ホモトピー P:Cn(X)→Cn+1(Y)P:C_n(X)\to C_{n+1}(Y)（各単体を 「柱 Δn×[0,1]\Delta^n\times[0,1]」に持ち上げて三角形分割）を作り、∂P+P∂=g#−f#\partial P+P\partial=g_\#-f_\# を示す。これは鎖レベルで f#,g#f_\#,g_\# が 「境界を除いて等しい」ことを意味し、ホモロジーでは f∗=g∗f_*=g_*。∎

鍵は鎖ホモトピー ∂P+P∂=g#−f#\partial P+P\partial=g_\#-f_\#。「単体を時間方向に柱状に引き伸ばして境界をとると、上面と下面の差になる」 という代数的な等式です。ホモトピー（連続変形）が、鎖の間の代数的関係に翻訳される。この不変性のおかげで、 変位レトラクト（穴あき平面 → S1S^1 など）で空間を単純化してからホモロジーを計算できます。

相対ホモロジー

XX の部分空間 AA を「潰して」考えるホモロジーです。AA の中の話を無視して、XX の「AA を基準にした穴」を測ります。

定義 相対ホモロジー

部分空間 A⊆XA\subseteq X に対し、相対鎖群 Cn(X,A)=Cn(X)/Cn(A)C_n(X,A)=C_n(X)/C_n(A)（AA 内の鎖を 00 とみなす）を作る。∂\partial が誘導され、 相対ホモロジー Hn(X,A)=ker⁡∂ˉn/im⁡∂ˉn+1H_n(X,A)=\ker\bar\partial_n/\operatorname{im}\bar\partial_{n+1} が定まる。直感的には X/AX/A（AA を一点に潰した空間）の （簡約）ホモロジーに近い。

相対ホモロジー Hn(X,A)H_n(X,A) は「AA を境界として許した XX のサイクル」——たとえば「両端が AA にある道」も相対サイクル （境界が AA 内なので 00 とみなす）。XX と AA のホモロジーを橋渡しする中間的な量です。これら3つが完全系列で結ばれます。

対の長完全系列

定義 完全系列

アーベル群と準同型の列 ⋯→An+1→fn+1An→fnAn−1→⋯\cdots\to A_{n+1}\xrightarrow{f_{n+1}}A_n\xrightarrow{f_n}A_{n-1}\to\cdots が完全とは、各所で im⁡fn+1=ker⁡fn\operatorname{im}f_{n+1}=\ker f_n（像と核が一致）。「隣の準同型の像が、次の核にぴったり」。

完全系列は情報が「漏れなく伝わる」鎖です。0→A→B→C→00\to A\to B\to C\to0（短完全系列）なら A↪B↠CA\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C で C≅B/AC\cong B/A。この完全性が、未知の項を既知の項から決める道具になります。

定理 対の長完全系列

部分空間 A⊆XA\subseteq X に対し、次の長完全系列が存在する： ⋯→Hn(A)→i∗Hn(X)→j∗Hn(X,A)→∂∗Hn−1(A)→i∗Hn−1(X)→⋯\cdots\to H_n(A)\xrightarrow{i_*}H_n(X)\xrightarrow{j_*}H_n(X,A)\xrightarrow{\partial_*}H_{n-1}(A)\xrightarrow{i_*}H_{n-1}(X)\to\cdots i∗i_* は包含、j∗j_* は Cn(X)→Cn(X,A)C_n(X)\to C_n(X,A) の誘導、∂∗\partial_* は連結準同型（相対サイクルの境界を AA 内でとる）。

証明

短完全系列の鎖複体 0→C∗(A)→C∗(X)→C∗(X,A)→00\to C_*(A)\to C_*(X)\to C_*(X,A)\to0（相対鎖群の定義から完全）に、蛇の補題を 適用する。連結準同型 ∂∗\partial_* は「相対サイクル [z][z]（∂z∈C∗(A)\partial z\in C_*(A)）を、その境界 ∂z∈Hn−1(A)\partial z\in H_{n-1}(A) へ送る」で定まり、 系列の完全性が図式追跡（diagram chasing）で確かめられる。∎

証明の核心は加群論・ホモロジー代数の蛇の補題——「鎖複体の短完全系列から、ホモロジーの長完全系列が 自動的に生じる」。トポロジーの幾何的な状況が、純代数的な機械（蛇の補題）に還元されます。長完全系列の使い方は 「知っている項で挟んで、未知の項を絞り込む」です。

例 長完全系列でホモロジーを絞る

可縮な AA（例：XX 内の一点）なら Hn(A)=0 (n≥1)H_n(A)=0\ (n\ge1) なので、長完全系列で Hn(X)≅Hn(X,A) (n≥1)H_n(X)\cong H_n(X,A)\ (n\ge1)。 また AA が良い部分空間なら Hn(X,A)≅H~n(X/A)H_n(X,A)\cong\tilde H_n(X/A)（潰した空間の簡約ホモロジー）。ゆえ「XX から AA を潰した空間」の ホモロジーが計算できる。未知の Hn(X)H_n(X) を、既知の Hn(A),Hn(X/A)H_n(A),H_n(X/A) で挟んで決めるのが完全系列の威力。

注意 簡約ホモロジー

一点のホモロジーを 00 にそろえるため、簡約ホモロジー H~n\tilde H_n を使う（H~0(X)⊕Z=H0(X)\tilde H_0(X)\oplus\mathbb Z=H_0(X)、他は同じ）。 一点で H~n=0\tilde H_n=0（全 nn）となり、完全系列がすっきりする。以後の計算で標準的に使う。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • ホモロジーはホモトピー不変（π1\pi_1 と同じく）。 鎖ホモトピー ∂P+P∂=g#−f#\partial P+P\partial=g_\#-f_\# が核心。変位レトラクトで単純化して計算。
  • 相対ホモロジー Hn(X,A)H_n(X,A) は「AA を潰した」穴。 Cn(X)/Cn(A)C_n(X)/C_n(A)。良い AA なら H~n(X/A)\tilde H_n(X/A) に一致。
  • 完全系列は im⁡=ker⁡\operatorname{im}=\ker。 隣の像が次の核。情報が漏れなく伝わり、未知の項を既知で決める。
  • 長完全系列は蛇の補題から。 鎖複体の短完全系列 → ホモロジーの長完全系列。連結準同型 ∂∗\partial_* が次元を下げる橋。

この章のまとめ

  • ホモトピー不変性：X≃YX\simeq Y なら Hn(X)≅Hn(Y)H_n(X)\cong H_n(Y)（鎖ホモトピー ∂P+P∂=g#−f#\partial P+P\partial=g_\#-f_\#）。変位レトラクトで単純化して計算できる。
  • 相対ホモロジー Hn(X,A)=Hn(C∗(X)/C∗(A))H_n(X,A)=H_n(C_*(X)/C_*(A))（AA を潰した穴、良い AA なら H~n(X/A)\tilde H_n(X/A)）。
  • 対の長完全系列 ⋯→Hn(A)→Hn(X)→Hn(X,A)→∂∗Hn−1(A)→⋯\cdots\to H_n(A)\to H_n(X)\to H_n(X,A)\xrightarrow{\partial_*}H_{n-1}(A)\to\cdots（蛇の補題から）。既知の項で未知を挟んで決める、計算のエンジン。

次章は、もう一組の計算道具——切除定理とマイヤー–ヴィートリス系列で、球面のホモロジーを計算します。