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第1章 ホモトピーと位相不変量

ドーナツとコーヒーカップを、どう区別するか

トポロジーの有名な冗談に「位相幾何学者はドーナツとマグカップを区別できない」があります。どちらも穴が1つ。 粘土のように連続変形すれば移り合うから、位相的には同じ、というわけです。逆に球には穴が無いので、 ドーナツとは決して移り合わない。「穴の数」こそが、伸ばしたり縮めたりしても変わらない本質なのです。

でも「穴」を目で数えるのは高次元では不可能です。そこで位相幾何学の戦略はこうです—— 空間から代数的な指紋（群や数）を取り出し、それが連続変形で変わらないようにする。すると「2つの空間が違う形」を 「その指紋が違う」で証明できる。この戦略の第一歩が、「連続変形」を厳密にするホモトピーの概念です。 この章では、ホモトピー・ホモトピー同値・可縮空間を定め、「位相不変量で形を区別する」という分野全体の 土台を据えます。集合と位相で作った連続写像の言葉が、ここで幾何を動かし始めます。

連続変形（ホモトピー）で移り合う空間は「同じ」。変形で変わらない位相不変量（群・数）で形を区別する。

写像のホモトピー

まず「2つの連続写像が連続に移り合う」を定義します。時間パラメータ t∈[0,1]t\in[0,1] で一方から他方へ変形します。

定義 ホモトピー

連続写像 f,g:X→Yf,g:X\to Y がホモトピック（f≃gf\simeq g）とは、連続写像 H:X×[0,1]→YH:X\times[0,1]\to Y で H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)H(x,0)=f(x),\qquad H(x,1)=g(x) を満たすものが存在すること。HH を ff から gg へのホモトピーという。

H(⋅,t)H(\cdot,t) は、tt が 00 から 11 へ動くにつれ ff が gg へ連続に変形していく途中の写像。ホモトピックは 写像の間の同値関係です（反射・対称・推移）。これを使って、空間どうしの「同じ形」を定めます。

ホモトピー同値

同相（集合と位相第8章：連続な全単射で逆も連続）より緩い、しかしトポロジーで最も本質的な 「同じ」がホモトピー同値です。

定義 ホモトピー同値

空間 X,YX,Y がホモトピー同値（X≃YX\simeq Y）とは、連続写像 f:X→Yf:X\to Y、g:Y→Xg:Y\to X で g∘f≃idX,f∘g≃idYg\circ f\simeq\mathrm{id}_X,\qquad f\circ g\simeq\mathrm{id}_Y となるものが存在すること。ff をホモトピー同値写像という。

同相なら「往復してぴったり元に戻る」ですが、ホモトピー同値は「往復して連続変形で元に戻ればよい」。だから 同相より緩く、次元の違う空間でも同値になれます（例：中身の詰まった円板と一点）。トポロジーの不変量（基本群・ ホモロジー）の多くは、同相よりさらに緩いホモトピー同値で不変——だからホモトピー同値が主役になります。

変位レトラクトと可縮空間

ホモトピー同値の最も分かりやすい例が、「大きい空間を、その中の小さい部分へ連続に縮める」変位レトラクトです。

定義 変位レトラクト・可縮空間

A⊆XA\subseteq X が XX の変位レトラクトとは、恒等写像 idX\mathrm{id}_X が、AA を各点固定したまま「XX を AA へ 押し込む写像」へホモトピックなこと（XX が AA へ連続に縮む）。このとき X≃AX\simeq A。 一点にホモトピー同値な空間（一点へ縮む空間）を可縮という。

例 変位レトラクト・可縮の例

  • 円環（アニュラス）は中心円へ変位レトラクト：H((r,θ),t)=((1−t)r+t, θ)H((r,\theta),t)=((1-t)r+t,\ \theta)（半径を 11 へ縮める）。ゆえ円環 ≃S1\simeq S^1。
  • 穴あき平面 R2∖{0}\mathbb R^2\setminus\{0\} は S1S^1 へ変位レトラクト（原点からの半径を 11 へ）。≃S1\simeq S^1。
  • 円板 D2D^2・Rn\mathbb R^n は可縮（一点へ縮む、H(x,t)=(1−t)xH(x,t)=(1-t)x）。
  • アルファベット：X≃YX\simeq Y（両方 YY 字型＝木、可縮）だが、O≃S1O\simeq S^1（穴1つ）、O≄XO\not\simeq X。

「円環とドーナツ面の側面は S1S^1 と同じ（穴1つ）」「円板や空間全体は一点と同じ（穴なし）」——ホモトピー同値が、 本質的な形（穴の構造）だけを残して、太さや次元の違いを消し去ります。可縮空間は「トポロジー的に自明」な空間です。

位相不変量という戦略

定義 位相不変量・ホモトピー不変量

空間に対応づけられる量（群・環・数）で、同相なら（あるいはホモトピー同値なら）一致するものを 位相不変量（ホモトピー不変量）という。

戦略の核心はこうです。「2つの空間が同相（同値）だ」は写像を1本作れば示せますが、「同相でない」を示すのは 大変です（あらゆる写像の不存在を言わねばならない、集合と位相第8章）。そこでホモトピー同値なら 必ず一致する不変量を用意し、それが食い違えば「同値でない」と結論する。

この分野が作る主要な不変量は3つです：基本群 π1\pi_1（第2章、ループの引っかかりを群で捉える）、 ホモロジー群 HnH_n（第6章、各次元の穴の数）、コホモロジー環 H∗H^*（第10章、 さらに積構造をもつ）。いずれも「幾何の問題を代数の計算に翻訳する」道具です。次章から、その最初の一つ——基本群——を 組み立てます。

注意 0 次元の不変量：連結成分の数

最も素朴な位相不変量は、連結成分の個数。π0(X)\pi_0(X)（弧状連結成分の集合）は同相・ホモトピー同値で不変。 「[0,1][0,1] の内点を抜くと 22 成分、円周 S1S^1 の点を抜いても 11 成分」——だから両者は同相でない（集合と位相で予告）。 これを高次元へ精密化したのが基本群・ホモロジー。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • ホモトピー同値は同相より緩い。 同相 ⇒ ホモトピー同値だが逆は偽。円板と一点はホモトピー同値だが同相でない（次元が違う）。トポロジーの不変量はホモトピー同値で不変なものが多い。
  • 可縮 ＝ 一点にホモトピー同値。 「穴が無い」トポロジー的に自明な空間（円板・Rn\mathbb R^n）。可縮でも一点と同相ではない。
  • 変位レトラクトは「押し込む」ホモトピー。 円環 → 中心円、穴あき平面 → 円周。太さ・次元を消して本質（穴）を残す。
  • 不変量が一致しても同値とは限らない。 不変量が食い違えば「同値でない」と言えるが、一致しても同値の証明にはならない（片方向）。

この章のまとめ

  • ホモトピー H:X×[0,1]→YH:X\times[0,1]\to Y は写像 ff を gg へ連続変形する。空間のホモトピー同値 X≃YX\simeq Y（往復が恒等写像にホモトピック）は同相より緩く、トポロジーの本質的な「同じ」。
  • 変位レトラクト（円環 → S1S^1、穴あき平面 → S1S^1）と可縮空間（円板・Rn\mathbb R^n、穴なし）が基本例。ホモトピー同値は太さ・次元を消し、穴の構造だけを残す。
  • 戦略は位相不変量（ホモトピー同値で不変な群・数）で形を区別すること。π0\pi_0（連結成分）→ π1\pi_1（基本群）→ HnH_n（ホモロジー）→ H∗H^*（コホモロジー）と精密化する。

次章は、最初の非自明な不変量——基本群 π1\pi_1 を、空間のループから組み立てます。