第8章切除とマイヤー–ヴィートリス系列

空間を貼り合わせて、ホモロジーを計算する

前章の長完全系列に続く、ホモロジー計算のもう一つの主力がこの章です。 $\pi_1$ にファン・カンペンの定理があったように、ホモロジーにはマイヤー–ヴィートリス系列があります——空間 $X$ を2つの部分 $A,B$ に分けると、 $H_n(X)$ が $H_n(A),H_n(B),H_n(A\cap B)$ の完全系列で結ばれる。「部分のホモロジーから全体を組み立てる」定理です。

その土台が切除定理——「共通部分を切り取っても相対ホモロジーは変わらない」という、一見地味だが強力な性質。これらを使うと、いよいよ球面のホモロジー $H_n(S^k)$ が計算できます。 $S^k$ は「 $k$ 次元の空洞が1つ」で、 $H_k(S^k)=\mathbb Z$ 、他は $0$ （ $n\ne0,k$ ）。この計算が、次元を区別する決定的な不変量を与え、「 $\mathbb R^m\cong\mathbb R^n\Rightarrow m=n$ 」（次元の位相不変性）という基本事実まで導きます。ファン・カンペンとマイヤー–ヴィートリスは、 $\pi_1$ とホモロジーの「部分から全体へ」という並行した計算原理です。

マイヤー–ヴィートリス： $X=A\cup B$ なら $H_n(X)$ が $H_n(A),H_n(B),H_n(A\cap B)$ の完全系列で結ばれる。球面のホモロジーが計算できる。

切除定理

定理切除定理

$Z\subseteq A\subseteq X$ で $\overline Z\subseteq\operatorname{int}A$ （ $Z$ の閉包が $A$ の内部に収まる）なら、包含は同型 $H_n(X\setminus Z,\ A\setminus Z)\ \cong\ H_n(X,A)$ を誘導する。すなわち「 $A$ の内部にある $Z$ を切除しても相対ホモロジーは変わらない」。

「 $A$ の奥にある部分 $Z$ を切り取っても、 $(X,A)$ の相対ホモロジーは同じ」——相対ホモロジーが $A$ の外側の情報だけで決まる、という直感です。証明は「大きい単体を細分して、 $A$ の内部か $X\setminus Z$ の内部に収まるようにする」（重心細分）で、ホモロジーが小さい単体だけで計算できることを使います。切除は、次のマイヤー–ヴィートリスを生みます。

マイヤー–ヴィートリス系列

定理マイヤー–ヴィートリス系列

$X=\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B$ （ $A,B$ で内部が $X$ を覆う）とすると、次の長完全系列が存在する： $\cdots\to H_n(A\cap B)\xrightarrow{(i_*,j_*)}H_n(A)\oplus H_n(B)\xrightarrow{k_*-l_*}H_n(X)\xrightarrow{\partial_*}H_{n-1}(A\cap B)\to\cdots$ （ $i,j,k,l$ は包含。 $A\cap B$ の類を $A,B$ 両方へ送り、差をとって $X$ で消える、というのが完全性の心。）

証明

（要点。）鎖複体の短完全系列 $0\to C_*(A\cap B)\to C_*(A)\oplus C_*(B)\to C_*(A+B)\to0$ （ $C_*(A+B)$ は $A$ または $B$ に入る鎖の和）に蛇の補題を適用。切除（重心細分）より $C_*(A+B)$ のホモロジーは $H_*(X)$ に一致する。∎

ファン・カンペン（ $\pi_1$ を融合積で）とまったく同じ精神——「 $X=A\cup B$ を、部分と共通部分の情報で組み立てる」。ただしホモロジーはアーベルなので、融合積の代わりに完全系列という直線的な道具になり、はるかに計算しやすい。実際に球面で使ってみます。

球面のホモロジー

定理球面のホモロジー

$k\ge1$ について $H_n(S^k)=\begin{cases}\mathbb Z&(n=0\ \text{または}\ n=k)\\ 0&(\text{その他})\end{cases}$ （連結成分 $1$ つと、 $k$ 次元の空洞 $1$ つ）。

証明

$k$ に関する帰納法。 $S^k$ を $A=$ 「北極を除く」、 $B=$ 「南極を除く」で覆う。 $A,B$ はともに可縮（ $\simeq\mathbb R^k$ 、 $H_n=0\ (n\ge1)$ ）、 $A\cap B\simeq S^{k-1}$ （赤道の近傍）。マイヤー–ヴィートリス系列で、 $n\ge2$ の部分は $0=H_n(A)\oplus H_n(B)\to H_n(S^k)\xrightarrow{\partial_*}H_{n-1}(S^{k-1})\to H_{n-1}(A)\oplus H_{n-1}(B)=0$ （ $A,B$ 可縮）より $H_n(S^k)\cong H_{n-1}(S^{k-1})$ （ $n\ge2$ ）。帰納法の仮定（ $S^{k-1}$ のホモロジー）を代入すると、 $H_k(S^k)\cong H_{k-1}(S^{k-1})\cong\cdots\cong H_1(S^1)=\mathbb Z$ 、他は $0$ 。基点 $S^0$ （ $2$ 点）から始めて確認できる。∎

「 $S^k$ を上半球と下半球に分け、赤道 $S^{k-1}$ で貼り合わせる」——次元が $1$ 下がった球面のホモロジーに帰着し、帰納法で $H_k(S^k)=\mathbb Z$ が出る。各次元の球面が、その次元に1つだけ穴（空洞）をもつ。これで次元を区別できます。

系次元の位相不変性

$m\ne n$ なら $S^m\not\simeq S^n$ （ホモロジーが違う）、 $\mathbb R^m\not\cong\mathbb R^n$ 、そして一般の次元は位相不変量： $\mathbb R^m\cong\mathbb R^n\Rightarrow m=n$ 。

証明

$H_m(S^m)=\mathbb Z\ne0=H_m(S^n)$ （ $m\ne n$ ）ゆえ $S^m\not\simeq S^n$ 。 $\mathbb R^m\cong\mathbb R^n$ なら一点を除いて $\mathbb R^m\setminus\{0\}\simeq S^{m-1}$ 、 $\mathbb R^n\setminus\{0\}\simeq S^{n-1}$ が同相ゆえ $S^{m-1}\simeq S^{n-1}$ 、上より $m=n$ 。∎

「 $\mathbb R^2$ と $\mathbb R^3$ は同相でない」——直感的には当たり前ですが、集合と位相の連続写像だけでは証明できません（ $\pi_1$ でも $\mathbb R^2$ と $\mathbb R^3$ は区別できない、両方可縮）。球面のホモロジーが、次元という最も基本的な不変量を捉える。ホモロジーの威力が、ここに集約されます。

応用：ブラウワーの不動点定理（一般次元）

定理ブラウワーの不動点定理（n 次元）

連続写像 $f:D^n\to D^n$ は不動点をもつ。

証明

第3章の $2$ 次元の証明と同じ。不動点が無ければレトラクション $r:D^n\to S^{n-1}$ ができるが、 $\tilde H_{n-1}(S^{n-1})=\mathbb Z\ne0=\tilde H_{n-1}(D^n)$ （ $D^n$ 可縮）ゆえ、 $\mathrm{id}_{S^{n-1}}$ が $\{e\}$ を経由して恒等になり矛盾。∎

$\pi_1$ で証明した $2$ 次元の不動点定理が、ホモロジー $H_{n-1}(S^{n-1})=\mathbb Z$ で任意次元へ一般化されます。 $\pi_1$ が $1$ 次元の穴しか見えなかったのに対し、ホモロジーは全次元の穴を見るので、高次元の定理が証明できる—— 第6章で述べた $\pi_1$ の弱点をホモロジーが補う、その好例です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

マイヤー–ヴィートリスは $\pi_1$ のファン・カンペンのホモロジー版。 アーベルなので融合積でなく完全系列。計算しやすい。
切除は「 $A$ の奥を切り取っても相対ホモロジー不変」。 重心細分で小さい単体に落とすのが証明の核。
$H_k(S^k)=\mathbb Z$ 、他は $0$ 。 各次元の球面はその次元に1つの穴。これが次元を区別する。
次元の位相不変性はホモロジーで初めて証明できる。 $\pi_1$ では $\mathbb R^m$ （可縮）を区別できない。全次元を見るホモロジーが必要。

この章のまとめ

切除定理（ $A$ の奥の $Z$ を切除しても $H_n(X,A)$ 不変、重心細分）から、マイヤー–ヴィートリス系列（ $X=A\cup B$ を部分と共通部分で組み立てる完全系列）が出る。ファン・カンペンのホモロジー版。
球面のホモロジー $H_n(S^k)=\mathbb Z$ （ $n=0,k$ ）、他は $0$ 。証明は上下半球＋赤道での帰納法（マイヤー–ヴィートリス）。
帰結：次元の位相不変性（ $\mathbb R^m\cong\mathbb R^n\Rightarrow m=n$ ）、任意次元のブラウワーの不動点定理。 $\pi_1$ の弱点をホモロジーが補う。

次章は、実際に手で計算できる小さな鎖複体——CWホモロジーと、オイラー標数を扱います。

第8章 切除とマイヤー–ヴィートリス系列