第6章特異ホモロジー

基本群の弱点を、ホモロジーが補う

基本群 $\pi_1$ は強力でしたが、弱点があります。第一に、 $1$ 次元の穴しか見えない（ループは $1$ 次元）。 $2$ 次元の穴（球面の空洞）や高次元の穴を捉えられません。第二に、非可換で計算が難しい（自由群・融合積）。

これらを補うのがホモロジー群 $H_n$ です。各次元 $n$ の穴を捉え（ $H_0$ は連結成分、 $H_1$ は $1$ 次元の穴、 $H_2$ は空洞…）、しかもアーベル群なので計算しやすい。アイデアは「境界のない $n$ 次元の輪（サイクル）のうち、何かの境界になっていないもの＝穴を囲む輪」を数えること。「境界の境界は無い」（ $\partial^2=0$ ）という一つの等式が、この理論全体を貫きます。ホモロジーはホモロジー代数・微分幾何のド・ラーム理論の原型でもあり、 $\partial^2=0$ はベクトル解析の $\operatorname{rot}\operatorname{grad}=0$ の抽象化です。この章で、その機械を組み立てます。

ホモロジー群 $H_n$ ＝「境界のない $n$ 次元サイクル」÷「境界になっているもの」＝ $n$ 次元の穴。 $\partial^2=0$ が核心。アーベルで計算しやすい。

特異単体と鎖

空間を「三角形（単体）を貼って測る」道具を用意します。連続写像で標準単体を空間に写したものが特異単体です。

定義特異単体・特異鎖

標準 $n$ 単体 $\Delta^n=\{(t_0,\dots,t_n):t_i\ge0,\sum t_i=1\}$ （ $0$ 単体＝点、 $1$ 単体＝線分、 $2$ 単体＝三角形…）。連続写像 $\sigma:\Delta^n\to X$ を特異 $n$ 単体という。特異 $n$ 単体を基底とする自由アーベル群 $C_n(X)$ を $n$ 次特異鎖群、その元 $\sum n_i\sigma_i$ （ $n_i\in\mathbb Z$ ）を特異 $n$ 鎖という。

「単体を空間に連続に描き込んだもの」の形式的な整数結合が鎖。次に、単体の境界（ $n$ 単体の $(n-1)$ 次元の縁）をとる作用素を定めます。

定義境界作用素

特異 $n$ 単体 $\sigma$ の境界を、各面（第 $i$ 頂点を除いた $(n-1)$ 単体 $\sigma|_{[\dots\hat i\dots]}$ ）の符号つき和 $\partial_n\sigma=\sum_{i=0}^n(-1)^i\,\sigma|_{[v_0,\dots,\hat v_i,\dots,v_n]}$ で定め、線形に $\partial_n:C_n(X)\to C_{n-1}(X)$ へ拡張する。

三角形（ $2$ 単体）の境界は、 $3$ 本の辺を向きを合わせて足したもの（ $\partial=[v_1v_2]-[v_0v_2]+[v_0v_1]$ ）。符号 $(-1)^i$ が「向き」を管理します。この境界作用素の決定的な性質が、次の一行です。

定理 ∂² = 0（境界の境界は無い）

$\partial_{n-1}\circ\partial_n=0$ （各 $n$ ）。すなわち $\operatorname{im}\partial_{n+1}\subseteq\ker\partial_n$ 。

証明

$\partial\partial\sigma$ は、 $\sigma$ の各「面の面」（ $2$ つの頂点を除いた $(n-2)$ 単体）の和。各 $(n-2)$ 面は、除く $2$ 頂点の順序を入れ替えた $2$ 通りで現れ、符号 $(-1)^i(-1)^j$ と $(-1)^j(-1)^{i-1}$ （順序の差）がちょうど逆符号になり、打ち消し合う。ゆえ $\partial^2=0$ 。∎

「三角形の境界（ $3$ 辺の輪）の境界は $0$ 」——辺の端点が符号つきで打ち消す。この $\partial^2=0$ は、ベクトル解析の $\operatorname{rot}(\operatorname{grad}f)=0,\ \operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf F)=0$ （「境界の境界は無い」の微分版）の代数的な核心です。これでホモロジーが定義できます。

ホモロジー群

定義サイクル・境界・ホモロジー群

$Z_n=\ker\partial_n$ （境界が $0$ の鎖＝サイクル）、 $B_n=\operatorname{im}\partial_{n+1}$ （何かの境界＝境界輪）。 $\partial^2=0$ より $B_n\subseteq Z_n$ 。 $H_n(X)=Z_n/B_n=\frac{\ker\partial_n}{\operatorname{im}\partial_{n+1}}$ を $n$ 次ホモロジー群という（アーベル群）。

意味は明快です。サイクル（境界のない輪）のうち、「何かを塗りつぶした境界」になっているものは自明（穴を囲んでいない）。それで割った残り $H_n$ が、本当に穴を囲む輪＝ $n$ 次元の穴。 $1$ サイクルなら「ループ」、それが $2$ 鎖の境界（円板の境界）なら縮む（穴なし）、境界でなければ穴を囲む。前章の基本群と同じ「縮むループは自明」の発想が、アーベルな形で実現されます。連鎖 $\cdots\to C_{n+1}\xrightarrow{\partial}C_n\xrightarrow{\partial}C_{n-1}\to\cdots$ を鎖複体といい、ホモロジーは「 $\partial^2=0$ で $\operatorname{im}\subseteq\ker$ となる、そのズレ」を測ります（ホモロジー代数の原型）。

H₀ と連結成分

最も低次のホモロジーは、連結成分を数えます。

定理 H₀ は連結成分

$X$ の弧状連結成分が $k$ 個なら $H_0(X)\cong\mathbb Z^k$ （連結成分ごとに $\mathbb Z$ の直和）。特に連結なら $H_0(X)=\mathbb Z$ 。

証明

$C_0=$ 点の自由アーベル群、 $\partial_0=0$ ゆえ $Z_0=C_0$ 。 $B_0=\operatorname{im}\partial_1$ は「同じ弧状連結成分内の $2$ 点の差 $q-p=\partial[\text{道}]$ 」で生成される。ゆえ $H_0=C_0/B_0$ は、各成分の点を同一視した自由アーベル群 $\mathbb Z^k$ 。∎

「 $H_0$ ＝連結成分の数を測る」——第1章の $\pi_0$ のアーベル版です。そして $H_1$ は基本群と結びつきます。

H₁ と基本群

定理フレヴィッツの定理（1 次元）

$X$ が弧状連結なら、 $H_1(X)$ は基本群 $\pi_1(X)$ のアーベル化： $H_1(X)\cong\pi_1(X)^{\mathrm{ab}}=\pi_1(X)/[\pi_1(X),\pi_1(X)].$

「 $H_1$ ＝基本群を可換にしたもの」。ホモロジーはループの順序を無視（アーベル）するので、 $\pi_1$ の非可換性（交換子）を潰した分だけ情報が少ない代わりに、計算しやすい。例：8の字は $\pi_1=F_2$ （非可換自由群）だが $H_1=\mathbb Z^2$ （アーベル化）。トーラスは $\pi_1=\mathbb Z^2$ （既に可換）で $H_1=\mathbb Z^2$ 。** $H_1$ は「向きを無視した $1$ 次元の穴の数」**を自由アーベル群の階数（ベッチ数）で数えます。

例基本的なホモロジー

一点・可縮空間： $H_0=\mathbb Z$ 、 $H_n=0$ （ $n\ge1$ ）。
円周 $S^1$ ： $H_0=\mathbb Z$ 、 $H_1=\mathbb Z$ （ $1$ 次元の穴 $1$ つ）、 $H_n=0$ （ $n\ge2$ ）。
トーラス $T^2$ ： $H_0=\mathbb Z$ 、 $H_1=\mathbb Z^2$ 、 $H_2=\mathbb Z$ （ $2$ 次元の空洞 $1$ つ）。（球面など一般の計算は第8章のマイヤー–ヴィートリスで。）

つまずきポイント

注意よくある誤解

$H_n$ ＝サイクル ÷ 境界。 「境界のない輪」から「何かの境界（縮む輪）」を割る。残りが $n$ 次元の穴。 $\partial^2=0$ が $B_n\subseteq Z_n$ を保証。
ホモロジーはアーベル、 $\pi_1$ は一般に非可換。 $H_1=\pi_1$ のアーベル化。情報は減るが計算しやすく、全次元を捉える。
$H_0=\mathbb Z^{(\text{連結成分数})}$ 、 $H_n(\text{点})=0\ (n\ge1)$ 。 低次の直感を押さえる。
$\partial^2=0$ はベクトル解析の $\operatorname{rot}\operatorname{grad}=0$ の抽象化。 「境界の境界は無い」。ド・ラーム理論と双対。

この章のまとめ

特異単体（ $\Delta^n\to X$ ）の整数結合が鎖 $C_n$ 。境界作用素 $\partial$ は面の符号つき和で、 $\partial^2=0$ （境界の境界は無い、ベクトル解析の抽象化）。
ホモロジー群 $H_n=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}$ ＝「穴を囲むサイクル」。アーベルで全次元を捉える。 $H_0$ ＝連結成分、 $H_1$ ＝ $\pi_1$ のアーベル化（フレヴィッツ）。
$S^1$ は $H_1=\mathbb Z$ 、 $T^2$ は $H_1=\mathbb Z^2,H_2=\mathbb Z$ 。鎖複体とホモロジーはホモロジー代数の原型。

次章は、ホモロジーの計算を可能にする基本性質——ホモトピー不変性と対の長完全系列を扱います。

第6章 特異ホモロジー