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第3章 整拡大と零点定理

Z\mathbb{Z} に 2\sqrt{2} を付け加えた Z[2]\mathbb{Z}[\sqrt{2}] は、Z\mathbb{Z} の「良い」拡張です。2\sqrt2 は x2−2=0x^2-2=0 という最高次係数が 11 の方程式を満たす——この「モニックな方程式を満たす」性質が、拡張の良さの正体でした。 体論では係数を体にとって「代数的」と呼びましたが、係数を環にとって最高次係数を 11 に 限ったのが整です。この概念が、数論（代数的整数論）と幾何（次元・正規化）を同時に支え、 最後に代数幾何の礎——ヒルベルトの零点定理——を生みます。

整元：モニック方程式を満たす

定義 整元・整拡大

環の包含 R⊂AR\subset A について、a∈Aa\in A が RR 上整であるとは、あるモニック多項式 （最高次係数 11）xn+cn−1xn−1+⋯+c0 (ci∈R)x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0\ (c_i\in R) の根であること。 AA のすべての元が RR 上整のとき、AA を RR の整拡大という。

「最高次係数が 11」がなぜ効くのか。Z\mathbb{Z} 上、12\frac12 は 2x−1=02x-1=0 の根ですが、モニックには x−12=0x-\frac12=0 しかなく係数が Z\mathbb{Z} に収まらない。実際 12\frac12 は Z\mathbb{Z} 上整ではない。一方 2\sqrt2 は モニック x2−2x^2-2 を満たすので整。整な元は「分母を作らない」拡張であり、Z\mathbb{Z} の性質（有限性）を 壊さずに広げます。判定には次の同値が便利です。

定理 整性の同値条件

a∈Aa\in A について次は同値：(1)(1) aa は RR 上整。(2)(2) R[a]R[a] は有限生成 RR-加群。 (3)(3) aa を含むある忠実な R[a]R[a]-加群が有限生成 RR-加群。

鍵は (1)⇔(2)(1)\Leftrightarrow(2)。モニック方程式 an=−(cn−1an−1+⋯+c0)a^n=-(c_{n-1}a^{n-1}+\cdots+c_0) があれば、aa の高いべきを 低いべきで書き換えられ、R[a]R[a] は 1,a,…,an−11,a,\dots,a^{n-1} で生成される有限 RR-加群になる。逆に有限生成なら、 aa 倍を行列で表してケイリー–ハミルトン（の行列式トリック）でモニック方程式が出る。 整性＝有限性——この翻訳が、整拡大の議論を加群論の有限生成加群の話に落とし込みます。 系として、RR 上整な元全体は環をなし（整閉包 Rˉ\bar R）、整の推移律（整の上の整は整）も従います。 Rˉ=R\bar R=R のとき RR を（分数体の中で）整閉といい、これは第5章のデデキント環で決定的になります。

上昇定理：素イデアルは持ち上がる

整拡大 R⊂AR\subset A は、素イデアルの構造を階段状に持ち上げます。幾何では「Spec A→Spec R\mathrm{Spec}\,A\to\mathrm{Spec}\,R が 全射で、次元を保つ有限被覆」に対応する、極めて幾何的な定理です。

定理 コーエン–ザイデンベルクの上昇定理（Going-up）

R⊂AR\subset A を整拡大とする。RR の素イデアルの鎖 p0⊂⋯⊂pn\mathfrak p_0\subset\cdots\subset\mathfrak p_n と、p0\mathfrak p_0 の 上にある AA の素イデアル q0\mathfrak q_0（q0∩R=p0\mathfrak q_0\cap R=\mathfrak p_0）が与えられれば、鎖全体を AA で q0⊂⋯⊂qn\mathfrak q_0\subset\cdots\subset\mathfrak q_n（qi∩R=pi\mathfrak q_i\cap R=\mathfrak p_i）と持ち上げられる。 特に Spec A→Spec R\mathrm{Spec}\,A\to\mathrm{Spec}\,R は全射で、両者のクルル次元は等しい。

証明の心臓は「整拡大の商・局所化もまた整」という遺伝性と、次の素朴だが強力な事実——整拡大では 体は体に対応する（A/qA/\mathfrak q が体   ⟺  R/p\iff R/\mathfrak p が体、すなわち q\mathfrak q 極大   ⟺  p\iff\mathfrak p 極大）。 これを使って一段ずつ持ち上げる。上昇定理は「AA の素イデアルの鎖は RR の鎖と同じだけ長く取れる」ことを言い、 第4章の次元の計算を可能にします。整拡大は次元を変えない——これが基本の指針です。

ネーターの正規化補題

体上の有限生成環（＝代数幾何の座標環）は、必ず「多項式環の上の整拡大」という標準形を持ちます。 複雑な環を、素直な多項式環＋整という二層に分解する——構造理解の要です。

定理 ネーターの正規化補題

kk を体、A=k[a1,…,am]A=k[a_1,\dots,a_m] を有限生成 kk-代数とする。このとき代数的独立な元 y1,…,yd∈Ay_1,\dots,y_d\in A が存在して、 AA は多項式環 k[y1,…,yd]k[y_1,\dots,y_d] 上整である。この dd が AA のクルル次元に一致する。

証明のアイデアは美しい変数変換です。生成元の間に関係式（多項式 f(a1,…,am)=0f(a_1,\dots,a_m)=0）があるとき、 ai′=ai−am tia_i'=a_i-a_m^{\,t_i} という巧妙なずらしを施すと、ff の中の ama_m についてモニックな関係が作れる。すると ama_m は a1′,…,am−1′a_1',\dots,a_{m-1}' 上整になり、生成元を一つ減らせる。これを繰り返して、独立な y1,…,ydy_1,\dots,y_d の 多項式環まで落とす。「関係があるなら、うまく座標を回して次元を一つ落とせる」——幾何的には 「任意の dd 次元アフィン多様体は、dd 次元アフィン空間への有限な射影を持つ」という描像です。

ヒルベルトの零点定理

いよいよ代数幾何の礎。「代数（イデアル）」と「幾何（零点集合）」を結ぶ辞書の 根拠を、いま手にした道具だけで証明します。まずは要となる補題から。

定理 ザリスキの補題（弱零点定理の核）

体 kk 上有限生成な代数 AA が体ならば、AA は kk の有限次代数拡大である。特に kk が代数閉体なら A=kA=k。

証明

正規化補題より AA は k[y1,…,yd]k[y_1,\dots,y_d] 上整。AA は体だから、k[y1,…,yd]k[y_1,\dots,y_d] も体でなければならない （整拡大では体は体に対応、上昇定理の系）。しかし多項式環が体になるのは d=0d=0 のときだけ。ゆえに AA は kk 上整、かつ有限生成だから有限次拡大。kk 代数閉なら真の代数拡大はなく A=kA=k。

これを幾何の言葉に翻訳すると、二つの形の零点定理が出ます。

定理 ヒルベルトの零点定理（Nullstellensatz）

kk を代数閉体、R=k[x1,…,xn]R=k[x_1,\dots,x_n] とする。
弱形：イデアル I⊊RI\subsetneq R の零点集合 V(I)V(I) は空でない（I≠RI\ne R なら共通零点が存在）。極大イデアルは すべて (x1−a1,…,xn−an)(x_1-a_1,\dots,x_n-a_n) の形——点と一対一。
強形：任意のイデアル II に対し、V(I)V(I) 上で消える多項式全体は根基に一致する：

I(V(I))=I.I\big(V(I)\big)=\sqrt{I}.

弱形は、極大イデアル m\mathfrak m に対し R/mR/\mathfrak m がザリスキの補題より =k=k となることから。すると 各 xix_i の像 ai∈ka_i\in k が決まり、m=(x1−a1,…,xn−an)\mathfrak m=(x_1-a_1,\dots,x_n-a_n)、点 (a1,…,an)(a_1,\dots,a_n) が対応する。 「極大イデアル＝点」というAG最初の辞書が、ここで初めて厳密に正当化されます。強形は弱形から ラビノヴィッチのトリック（変数を一つ増やして 1−y f1-y\,f を考え、零点が無いことに弱形を当てる）で導かれ、 「V(I)V(I) 上で消える   ⟺  \iff べき乗が II に入る」という代数と幾何の完全な辞書 I↔VI\leftrightarrow V を確立します。 （詳しい流れは代数幾何の第1章。本章はその代数的な証明を与えたことになります。）

注意 つまずきポイント

  • 整（環上）と代数的（体上）は別語。 体上は「何らかの多項式の根」、環上は「モニック多項式の根」。 体上では最高次係数で割れるので両者は一致するが、環上ではモニック性が本質（12\frac12 は Q\mathbb Q 上代数的だが Z\mathbb Z 上整でない）。
  • 零点定理は代数閉体が命。 k=Rk=\mathbb R では x2+1x^2+1 が零点を持たず弱形が破れる。「極大イデアル＝点」も 代数閉でこそ成り立つ。
  • 強形の I\sqrt{I} を忘れがち。 I(V(I))=II(V(I))=I ではなく I\sqrt I。(x2)(x^2) と (x)(x) は同じ零点（原点）を持つが イデアルは違う——零点集合は「重複」を見ない。根基まで戻して初めて一対一。

この章のまとめ

  • 整元＝モニック多項式の根。整性＝ R[a]R[a] の有限生成性で、整拡大は有限性を保つ。整閉包・整閉の概念が出る。
  • 上昇定理：整拡大で素イデアルの鎖は持ち上がり、Spec\mathrm{Spec} は全射・次元は不変。 ネーターの正規化：体上有限生成な環は多項式環 k[y1,…,yd]k[y_1,\dots,y_d] 上整で、d=d= クルル次元。
  • ザリスキの補題→ヒルベルトの零点定理：代数閉体上、極大イデアル＝点、I(V(I))=II(V(I))=\sqrt I。 代数と幾何の辞書が、正規化と上昇定理から厳密に導かれる。

局所化・ネーター・整拡大で可換環論の三種の神器がそろいました。次章は、これらを総動員して環の 「大きさ」——クルル次元——を定義し、単項イデアル定理で次元を制御します。素イデアルの鎖を、実際に手で動かしてみましょう。