第5章コーシーの積分公式

境界の値だけで、内部のすべてが決まる

前章のコーシーの積分定理から、複素解析で最も驚くべき公式が生まれます——コーシーの積分公式：正則関数の円板内部の値は、境界の値だけで完全に決まる。

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz.$

内部の一点 $z_0$ での値が、境界を一周する積分で書けてしまう。これは実関数では絶対に起こりません（境界の値を決めても内部は自由）。正則性という強い縛りが、関数の情報を境界に凝縮させるのです。この公式から、「正則なら無限回微分できる」「有界な整関数は定数（リウヴィル）」「 $\mathbb C$ は代数閉体（代数学の基本定理）」が次々に流れ出します。第4章の積分定理が種なら、この章はその実り。複素解析の奇跡が一気に開花します。

コーシーの積分公式：内部の値 $f(z_0)$ は境界積分で決まる。ここから無限回微分可能性・リウヴィル・代数学の基本定理が出る。

コーシーの積分公式

定理コーシーの積分公式

$f$ が単連結領域 $D$ で正則、 $\gamma$ を $D$ 内で $z_0$ を正の向きに一周する単純閉曲線とすると $f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz.$

証明

被積分関数 $\frac{f(z)}{z-z_0}$ は $z_0$ を除いて正則。 $z_0$ を中心とする小円 $C_\varepsilon$ （半径 $\varepsilon$ ）へ $\gamma$ を変形すると（間の領域で正則ゆえコーシーの定理／ホモトピー不変性） $\oint_\gamma=\oint_{C_\varepsilon}$ 。 $C_\varepsilon$ 上 $z=z_0+\varepsilon e^{i\theta}$ として $\oint_{C_\varepsilon}\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=\int_0^{2\pi}\frac{f(z_0+\varepsilon e^{i\theta})}{\varepsilon e^{i\theta}}\,i\varepsilon e^{i\theta}\,d\theta=i\int_0^{2\pi}f(z_0+\varepsilon e^{i\theta})\,d\theta\ \xrightarrow{\varepsilon\to0}\ i\cdot2\pi f(z_0).$ （ $f$ 連続ゆえ $f(z_0+\varepsilon e^{i\theta})\to f(z_0)$ 。）よって $\oint_\gamma\frac{f}{z-z_0}\,dz=2\pi i\,f(z_0)$ 。∎

証明の心は「小円に縮めると、 $\frac1{z-z_0}$ が生む $2\pi i$ だけが残る」こと。 $\oint\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i$ （前章の穴の効果）が、 $f(z_0)$ を取り出す“針”になっています。この公式を $z_0$ で微分すると、高階導関数の公式が出ます。

定理高階導関数の公式

上の状況で、 $f$ は $D$ で無限回複素微分可能で $f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz\qquad(n=0,1,2,\dots).$

証明

コーシーの公式の右辺は、 $z_0$ について積分記号下で何回でも微分できる（被積分関数 $\frac{f(z)}{z-z_0}$ が $z_0$ について $C^\infty$ 、 $\gamma$ 上で一様評価できるので微分と積分が交換可能）。 $\frac{d^n}{dz_0^n}\frac1{z-z_0}=\frac{n!}{(z-z_0)^{n+1}}$ より結論。∎

正則 ⇒ 無限回微分可能

系正則性の自己増殖

領域で正則な関数は、無限回複素微分可能（ $C^\infty$ 、しかも各点でべき級数展開可能＝第6章）。特に $f$ が正則なら $f'$ も正則。

これは実解析ではありえない現象です。実では「 $1$ 回微分できても $2$ 回目はできない」関数が普通にある。ところが複素では、一度複素微分できれば自動的に無限回。第1章で「複素微分は超強力」と言ったことの、最も鮮やかな帰結です。グルサが $f'$ の連続性を仮定しなかった（前章）おかげで、この“自己増殖”が循環論法なしに成立します。逆向きの定理（積分の消滅から正則性を導く）も成り立ちます。

定理モレラの定理

領域 $D$ で連続な $f$ が、 $D$ 内のすべての三角形で $\oint_{\partial T}f\,dz=0$ を満たすなら、 $f$ は $D$ で正則。

証明

三角形積分が消えるので、局所的に原始関数 $F$ （ $F'=f$ ）が作れる。 $F$ は正則で、正則関数の導関数 $f=F'$ も正則（上の系）。∎

モレラはコーシーの定理の逆で、「積分が消える ⇒ 正則」。極限や積分で作った関数の正則性を示すのに使われます（一様極限の正則性など）。

リウヴィルの定理と代数学の基本定理

高階導関数の公式からコーシーの評価が出て、そこから2つの有名定理が導かれます。

補題コーシーの評価

$f$ が $|z-z_0|\le R$ で正則、 $|f|\le M$ なら $|f^{(n)}(z_0)|\le\dfrac{n!\,M}{R^n}$ 。

証明

高階導関数の公式に半径 $R$ の円をとり ML 不等式： $|f^{(n)}(z_0)|\le\frac{n!}{2\pi}\cdot\frac{M}{R^{n+1}}\cdot2\pi R=\frac{n!M}{R^n}$ 。∎

定理リウヴィルの定理

有界な整関数（全平面で正則かつ有界）は定数。

証明

$|f|\le M$ （全平面）とする。任意の $z_0$ で、コーシーの評価を $n=1$ 、任意の $R$ に適用： $|f'(z_0)|\le\frac{M}{R}$ 。 $R\to\infty$ で $f'(z_0)=0$ 。全点で $f'=0$ ゆえ $f$ は定数。∎

「全平面で正則かつ有界なら定数」—— $\sin z,\cos z$ が複素では非有界（ $\sin(iy)=i\sinh y\to\infty$ ）なのは、有界だと定数になってしまうからです。このリウヴィルの定理が、 $300$ 年の難問に決着をつけます。

定理代数学の基本定理

$\mathbb C$ 係数の次数 $n\ge1$ の多項式 $p(z)$ は、 $\mathbb C$ に根をもつ（ゆえ $\mathbb C$ は代数閉体）。

証明

$p$ が根をもたないと仮定すると $\frac1p$ は全平面で正則（整関数）。 $|z|\to\infty$ で $|p(z)|\to\infty$ （最高次項が支配）ゆえ $\frac1{|p|}\to0$ 、有界。リウヴィルより $\frac1p$ は定数、 $p$ も定数—— $n\ge1$ に矛盾。ゆえ根をもつ。∎

体論・ガロア理論で「代数だけでは証明できない」と述べた代数学の基本定理が、複素解析では リウヴィルの定理から数行で出る。「根が無ければ $1/p$ が有界な整関数＝定数」という背理法です。解析（複素微分・積分）の力が、純粋に代数的な事実（多項式が根をもつ）を証明する——分野を越えた美しい応用です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

コーシーの積分公式：内部の値が境界積分で決まる。 実関数では起こらない。正則性の強さの現れ。 $\frac1{z-z_0}$ の $2\pi i$ が値を取り出す。
正則 ⇒ 無限回微分可能（ $C^\infty$ 、解析的）。 実解析と決定的に違う。一度複素微分できれば全部。
リウヴィル：有界な整関数は定数。 だから $\sin z,\cos z$ は複素で非有界、 $e^z$ も非有界。整関数で有界なら定数しかない。
代数学の基本定理は複素解析で瞬殺。 リウヴィルの背理法。体論の代数的証明より遥かに短い。

この章のまとめ

コーシーの積分公式 $f(z_0)=\frac1{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{z-z_0}dz$ ：内部の値が境界積分で決まる。微分して高階導関数の公式 $f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\frac{f}{(z-z_0)^{n+1}}dz$ 。
帰結：正則 ⇒ 無限回微分可能（自己増殖、実解析と対照的）。逆はモレラの定理（三角形積分が消えれば正則）。
コーシーの評価からリウヴィルの定理（有界な整関数は定数）、そして代数学の基本定理（ $\mathbb C$ は代数閉体）が数行で出る。

次章は、コーシーの公式から「正則 ⇒ べき級数展開可能」を示し、一致の定理という強力な剛性を導きます。

第5章 コーシーの積分公式