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第4章 複素積分とコーシーの積分定理

複素解析のすべてが、この一つの定理から流れ出す

複素解析の心臓は、たった一つの定理です——コーシーの積分定理：正則関数を単連結領域内の閉曲線に沿って 積分すると、必ず 00 になる。

∮γf(z) dz=0(f 正則, γ 閉曲線).\oint_\gamma f(z)\,dz=0\qquad(f\ \text{正則},\ \gamma\ \text{閉曲線}).

一見地味なこの等式から、次章以降のすべて——積分公式、無限回微分可能性、リウヴィルの定理、留数定理——が 芋づる式に流れ出します。「正則関数は一度微分できれば無限回微分でき、べき級数に展開でき、値は境界だけで決まる」 という複素解析の奇跡は、根源をたどればこの積分定理に行き着きます。この章では複素積分を定義し、コーシーの定理を、 f′f' の連続性すら仮定しない最も強い形（グルサの定理）で証明します。三角形を無限に分割していく、美しい証明です。

コーシーの積分定理：正則関数の閉曲線積分は 00。複素解析のすべての奇跡の源泉。

複素積分

定義 経路に沿う複素積分

滑らかな曲線 γ:[a,b]→C\gamma:[a,b]\to\mathbb C と、その上の連続関数 ff に対し ∫γf(z) dz=∫abf(γ(t)) γ′(t) dt.\int_\gamma f(z)\,dz=\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,dt. （微積分第12章の線積分の複素版。区分的に滑らかな曲線には各区間の和で定める。）

命題 基本評価（ML 不等式）

∣∫γf dz∣≤(max⁡γ∣f∣)⋅length⁡(γ)\left|\displaystyle\int_\gamma f\,dz\right|\le\Big(\max_{\gamma}|f|\Big)\cdot\operatorname{length}(\gamma)。

この単純な評価（積分の大きさ ≤\le 最大値 × 経路長）が、後の証明で繰り返し効きます。まず、原始関数がある場合は 積分が「端点だけ」で決まります——微積分の基本定理の複素版です。

定理 原始関数がある場合

ff が領域 DD で原始関数 FF（F′=fF'=f）をもつなら、DD 内の曲線 γ\gamma（始点 α\alpha・終点 β\beta）について ∫γf dz=F(β)−F(α).\int_\gamma f\,dz=F(\beta)-F(\alpha). 特に γ\gamma が閉曲線なら ∮γf dz=0\oint_\gamma f\,dz=0。

証明

∫γf dz=∫abF′(γ(t))γ′(t) dt=∫abddtF(γ(t)) dt=F(γ(b))−F(γ(a))=F(β)−F(α)\int_\gamma f\,dz=\int_a^b F'(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt=\int_a^b\frac{d}{dt}F(\gamma(t))\,dt=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))=F(\beta)-F(\alpha)（連鎖律と基本定理）。∎

だから「原始関数さえあれば閉曲線積分は 00」。問題は、正則関数がいつも原始関数をもつとは限らないこと （1/z1/z は原点を囲む閉曲線で ∮dzz=2πi≠0\oint\frac{dz}z=2\pi i\ne0！ 単連結でないため）。単連結領域では常に原始関数がある—— それを保証するのがコーシーの定理です。

グルサの定理（三角形での消滅）

コーシーの定理の核心は「三角形に沿う積分が 00」です。しかもこれを、f′f' の連続性を仮定せずに証明できます （グルサの貢献）。証明の道具は、三角形の四分割を無限に繰り返す縮小法です。

定理 グルサの定理

ff が領域 DD で正則、T⊆DT\subseteq D を三角形（周を ∂T\partial T）とすると ∮∂Tf(z) dz=0.\oint_{\partial T}f(z)\,dz=0.

証明

I=∮∂Tf dzI=\oint_{\partial T}f\,dz とおく。TT を各辺の中点で結んで4つの小三角形 T(1),…,T(4)T^{(1)},\dots,T^{(4)} に分ける。内部の辺は 互いに逆向きに2度通り打ち消すので I=∑j∮∂T(j)f dzI=\sum_{j}\oint_{\partial T^{(j)}}f\,dz。ゆえ、ある jj で ∣∮∂T(j)f∣≥14∣I∣\left|\oint_{\partial T^{(j)}}f\right|\ge\frac14|I|。 その三角形を T1T_1 とする。同様に T1T_1 を四分割して T2T_2、…と続けると、入れ子の三角形列 T⊇T1⊇T2⊇⋯T\supseteq T_1\supseteq T_2\supseteq\cdots で ∣∮∂Tnf∣≥14n∣I∣,diam⁡(Tn)=diam⁡T2n,length⁡(∂Tn)=L2n.\Big|\oint_{\partial T_n}f\Big|\ge\frac1{4^n}|I|,\qquad \operatorname{diam}(T_n)=\frac{\operatorname{diam}T}{2^n},\quad \operatorname{length}(\partial T_n)=\frac{L}{2^n}. 区間縮小法（三角形は閉で縮む）より一点 z0=⋂Tn∈Dz_0=\bigcap T_n\in D がある。ff は z0z_0 で複素微分可能ゆえ f(z)=f(z0)+f′(z0)(z−z0)+ε(z)(z−z0),ε(z)→0 (z→z0).f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0),\qquad \varepsilon(z)\to0\ (z\to z_0). f(z0)+f′(z0)(z−z0)f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0) は原始関数（11 次式）をもつので ∮∂Tn\oint_{\partial T_n} で消える。残るのは誤差項： ∣∮∂Tnf∣=∣∮∂Tnε(z)(z−z0) dz∣≤(max⁡∂Tn∣ε∣)⋅diam⁡(Tn)⋅length⁡(∂Tn)=max⁡∣ε∣⋅diam⁡T⋅L4n.\Big|\oint_{\partial T_n}f\Big|=\Big|\oint_{\partial T_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz\Big|\le\Big(\max_{\partial T_n}|\varepsilon|\Big)\cdot\operatorname{diam}(T_n)\cdot\operatorname{length}(\partial T_n)=\max|\varepsilon|\cdot\frac{\operatorname{diam}T\cdot L}{4^n}. これと ∣∮∂Tnf∣≥∣I∣4n\left|\oint_{\partial T_n}f\right|\ge\frac{|I|}{4^n} を比べると ∣I∣≤max⁡∂Tn∣ε∣⋅diam⁡T⋅L|I|\le\max_{\partial T_n}|\varepsilon|\cdot\operatorname{diam}T\cdot L。n→∞n\to\infty で max⁡∣ε∣→0\max|\varepsilon|\to0 ゆえ I=0I=0。∎

証明の美しさを味わってください。「積分が大きい小三角形を選び続ける（1/4n1/4^n 以上を保つ）」と「三角形は一点に縮む」を 区間縮小法で噛み合わせる。その一点で複素微分可能性を使うと、11 次式部分は原始関数で消え、誤差項は MLML 評価で 消える。4n4^n の増大と 4n4^n の減衰がちょうど釣り合い、I=0I=0 が絞り出される——微積分の ε\varepsilon-評価と 集合位相の縮小法の合わせ技です。

コーシーの積分定理

三角形での消滅から、一般の単連結領域へ広げます。

定理 コーシーの積分定理

ff が単連結領域 DD で正則なら、DD 内の任意の閉曲線 γ\gamma について ∮γf dz=0\oint_\gamma f\,dz=0。 同値：ff は DD 上で原始関数をもつ。

証明

（要点。）グルサの定理より、三角形（ゆえ多角形、細分して）で積分が消える。単連結領域では、固定点 z0z_0 から zz への 積分 F(z)=∫z0zf dwF(z)=\int_{z_0}^z f\,dw が経路によらず定まり（2経路の差が囲む領域を三角形分割すればグルサで 00）、FF は正則で F′=fF'=f（原始関数）。原始関数があるので、前述より閉曲線積分は 00。∎

単連結性が本質です。1/z1/z が正則な領域 C∖{0}\mathbb C\setminus\{0\} は単連結でなく（原点に穴）、原点を囲む円で ∮dzz=2πi≠0\oint\frac{dz}z=2\pi i\ne0。この「穴を囲むと積分が残る」現象こそ、次章のコーシーの積分公式、そして 第8章の留数定理の源です。逆に言えば、**積分定理は「穴が無ければ積分は消える」、 留数定理は「穴があるとどれだけ残るか」**を述べる、表裏一体の理論なのです。

注意 ホモトピー不変性

より一般に、ff が正則な領域内で、閉曲線 γ0,γ1\gamma_0,\gamma_1 がホモトピック（位相幾何、連続変形で移り合う）なら ∮γ0f=∮γ1f\oint_{\gamma_0}f=\oint_{\gamma_1}f。積分は経路の「変形しても変わらない情報＝どの穴を何回まわるか」だけに依存する。 複素積分と基本群が出会う場所。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • コーシーの定理は単連結領域で。 穴のある領域では成り立たない（∮dzz=2πi\oint\frac{dz}z=2\pi i）。単連結性＝「囲む穴が無い」。
  • グルサの定理は f′f' の連続性を仮定しない。 複素微分可能だけから閉三角形積分の消滅を導く。これが「正則なら C∞C^\infty」（次章）を可能にする出発点。
  • 原始関数の存在 ⇔ 閉曲線積分が常に 0。 単連結ならコーシーで保証。1/z1/z は C∖{0}\mathbb C\setminus\{0\} で原始関数（一価の log⁡\log）をもたない。
  • 証明は区間縮小法＋ε\varepsilon 評価。 4n4^n の増大と縮小の釣り合いが核心。

この章のまとめ

  • 複素積分 ∫γf dz\int_\gamma f\,dz。原始関数 FF があれば端点だけで決まり（F(β)−F(α)F(\beta)-F(\alpha)）、閉曲線で 00。ML 不等式が基本評価。
  • グルサの定理：正則関数の閉三角形積分は 00（f′f' の連続性不要）。証明は四分割の区間縮小法＋MLML 評価。
  • コーシーの積分定理：単連結領域で ∮γf=0\oint_\gamma f=0（＝原始関数が存在）。単連結性が本質で、穴があると積分が残る（∮dzz=2πi\oint\frac{dz}z=2\pi i）——留数理論の源。ホモトピー不変。

次章は、この定理から流れ出す第一の奇跡——コーシーの積分公式と、正則関数が無限回微分可能であることを示します。