第9章 実積分への応用

$\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+\cos\theta}$（$a>1$）$=\oint_{|z|=1}\frac{1}{a+\frac{z+z^{-1}}2}\frac{dz}{iz}=\oint\frac{2\,dz}{i(z^2+2az+1)}$。 分母の根 $z_\pm=-a\pm\sqrt{a^2-1}$ のうち単位円内は $z_+$ のみ。$\operatorname{Res}_{z_+}=\frac{2}{i(2z_++2a)}=\frac{1}{i\sqrt{a^2-1}}$。 よって積分 $=2\pi i\cdot\frac{1}{i\sqrt{a^2-1}}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}$。

$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^4}$：$z^4=-1$ の根のうち上半平面のものは $e^{i\pi/4},e^{3i\pi/4}$。各留数は $\frac1{4z^3}=\frac{z}{4z^4}=-\frac z4$。 和 $-\frac14(e^{i\pi/4}+e^{3i\pi/4})=-\frac14\cdot i\sqrt2\cdot$…を計算して $2\pi i$ 倍すると $\dfrac{\pi}{\sqrt2}$。実の部分分数分解より遥かに速い。

$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{1+x^2}dx=\operatorname{Re}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ix}}{1+x^2}dx$。$\frac{e^{iz}}{1+z^2}$ の上半平面の極は $z=i$、 $\operatorname{Res}_i=\frac{e^{i\cdot i}}{2i}=\frac{e^{-1}}{2i}$。ジョルダンの補題で半円が消えるので $\int=2\pi i\cdot\frac{e^{-1}}{2i}=\frac{\pi}e$。実部をとって $\frac\pi e$。

正の実軸に沿って分岐切断を入れ、切断のすぐ上と下、大円と原点近くの小円で「鍵穴」型の閉曲線を作る。切断の上下で $x^{s-1}$ の値が因子 $e^{2\pi i(s-1)}$ だけずれる（一周で偏角が $2\pi$ 増える多価性）ため、上下の積分が打ち消さず 一定倍の差を生む。これを留数と等値して積分を求める。例：$\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{1+x}dx=\frac{\pi}{\sin\pi s}$（$0<s<1$）。 多価性（分岐）が、むしろ計算の武器になる。

• 閉じ方はパターンごとに違う。 三角関数は単位円、無限区間は半円、フーリエ型はジョルダン、分岐は鍵穴。「残りの寄与が消える」向き・形を選ぶ。
• 半円が消える条件を確認。 型2は $\deg q\ge\deg p+2$、型3はジョルダンの補題（$e^{iaz}$ の減衰、$a>0$ なら上半平面）。条件を満たさないと半円が残る。
• 上半平面か下半平面か。 $e^{iaz}$（$a>0$）は上半平面で減衰なので上で閉じる。$a<0$ なら下半平面。囲む極が変わる。
• 実軸上に極があるときは主値・小半円で回避。 $\int\frac{\sin x}x$ 型は、原点の極を小半円で避ける（主値積分）。