第3章べき級数と初等関数

正則関数のいちばん豊かな供給源

正則関数はどこにあるのか。最も豊かな供給源がべき級数です。微積分第4章で実のべき級数を扱いましたが、複素にすると理論がずっと綺麗になります。収束半径の内側で、べき級数は自動的に正則で、しかも何回でも項別微分できる。実の $e^{-1/x^2}$ のような病的な例は、複素の世界には存在しません。

そしてべき級数を通じて、指数・三角・対数といった初等関数が複素数へ拡張されます。ここで有名なオイラーの公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ が現れ、指数関数と三角関数が実は親戚だと明かされます。一方、対数とべき乗は複素では多価になる—— $\log$ が「一つの値」に決まらない。この多価性が、複素解析特有の「分岐」という繊細で美しい現象を生みます。この章は、正則関数の在庫を一気に増やします。

べき級数は収束半径の内側で正則（項別微分自由）。 $e^z,\sin z,\cos z$ が定義でき、オイラーの公式で結ばれる。 $\log,z^\alpha$ は多価。

べき級数と正則性

定理べき級数の収束と正則性

べき級数 $\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n$ には収束半径 $R$ （ $\dfrac1R=\limsup\sqrt[n]{|c_n|}$ 、コーシー–アダマール）が定まり、 $|z-a|<R$ で絶対収束、 $|z-a|>R$ で発散する。しかも和 $f(z)$ は円板 $|z-a|<R$ で正則で、項別微分してよい： $f'(z)=\sum_{n=1}^\infty n\,c_n(z-a)^{n-1}\quad(\text{収束半径は同じ } R).$

実の場合（微積分第4章）とまったく同じ形ですが、結論の「正則」がずっと強い。収束円板の内側では、べき級数は多項式と同じ気軽さで複素微分でき、何回でも微分できます。後の第6章で、逆に「正則関数は必ずべき級数に展開できる」ことを示し、**正則＝解析的（べき級数で書ける）**が完全に一致します（実解析では一致しなかった！）。

指数・三角関数とオイラーの公式

実のマクローリン展開（微積分第6章）の $x$ を $z$ に置き換えて、複素へ拡張します。

定義複素指数・三角関数

$e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!},\qquad \cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!},\qquad \sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}$ はすべて収束半径 $\infty$ （全平面で正則、整関数）。 $(e^z)'=e^z$ 、 $e^{z+w}=e^ze^w$ 。

定理オイラーの公式

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\qquad(\theta\in\mathbb R).$ したがって $\cos z=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}2$ 、 $\sin z=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ 、そして $e^{i\pi}+1=0$ 。

証明

$e^{i\theta}=\sum\frac{(i\theta)^n}{n!}$ を実部・虚部に分けると、 $i^n$ が $1,i,-1,-i$ を周期 $4$ で巡るので、偶数項が $\cos\theta$ の級数、奇数項が $i\sin\theta$ の級数になる。∎

指数関数と三角関数が、複素の世界では同じものだった——実数だけ見ていては見えなかった深い統一が、 $z$ を複素に許した瞬間に現れます。 $e^{i\theta}$ は単位円周上を回る点で、複素数の極形式 $z=re^{i\theta}$ の $e^{i\theta}$ がまさにこれ。回転が指数関数で書ける、というのが複素解析の美しさの源です。指数関数は $2\pi i$ 周期（ $e^{z+2\pi i}=e^z$ ）——この周期性が、逆関数である対数の多価性を生みます。

対数の多価性

実の $\log$ は $e^x$ の逆関数で一価でした。複素では $e^z$ が周期的なので、逆関数 $\log$ が一つに決まりません。

定義複素対数

$w=\log z$ を「 $e^w=z$ 」の解と定める。 $z=re^{i\theta}$ （ $r=|z|>0$ ）に対し $\log z=\ln r+i(\theta+2\pi k)\qquad(k\in\mathbb Z),$ 無限個の値をもつ多価関数。 $k=0$ かつ $-\pi<\theta\le\pi$ （主値の偏角）をとったものを主値 $\operatorname{Log}z$ という。

$\log$ が多価なのは、 $\arg z$ が $2\pi$ の不定性をもつから（ $e^{i\theta}$ が $2\pi$ 周期）。 $\log 1=0,\ 2\pi i,\ -2\pi i,\dots$ と無限個。「一つの値」を選ぶには、偏角の範囲を切って**枝（branch）**を決めます。

定義分岐点・分岐切断・枝

$\log z$ が一価に定まらない原因の点 $z=0$ を分岐点という。平面から $0$ を起点とする半直線（例：負の実軸）を除く（分岐切断）と、その上で $\log$ の連続な一価枝がとれ、正則になる。

分岐切断を横切ると値が $2\pi i$ 飛びます。「 $0$ のまわりを一周すると $\log$ が $2\pi i$ 増える」——この現象が、第12章のモノドロミー（一周して値が変わる）の原型です。 $\sqrt z=e^{\frac12\log z}$ なら一周で符号が変わり、 $2$ 価。多価性は複素解析特有で、これを制御する分岐の理論が、この分野の繊細さの源です。

べき乗の多価性

定義複素べき乗

$\alpha\in\mathbb C$ に対し $z^\alpha=e^{\alpha\log z}$ （ $\log$ が多価ゆえ一般に多価）。

$\alpha=n$ （整数）：一価。 $\alpha=1/n$ ： $n$ 価（ $n$ 乗根）。 $\alpha$ 無理数・複素：無限多価。

例多価性の実例

$i^i=e^{i\log i}=e^{i(i\pi/2+2\pi ik)}=e^{-\pi/2-2\pi k}$ （ $k\in\mathbb Z$ ）——すべて実数で、主値は $e^{-\pi/2}\approx0.208$ 。「虚数の虚数乗が実数」という驚きは、多価対数から来る。 $\sqrt{-1}=e^{\frac12\log(-1)}=e^{\frac12(i\pi+2\pi ik)}=\pm i$ （ $2$ 価）。

つまずきポイント

注意よくある誤解

べき級数は収束円板内で正則。 収束半径 $R$ の内側で自動的に無限回微分可能。境界 $|z-a|=R$ 上は個別判定（微積分第4章）。
$e^z$ は $2\pi i$ 周期。 $e^{z+2\pi i}=e^z$ 。だから逆関数 $\log$ が多価。実の指数関数と違い単射でない。
$\log z$ は多価（ $+2\pi ik$ ）。 一価にするには分岐切断で枝を選ぶ。 $\log(zw)=\log z+\log w$ は枝を無視すると崩れる（主値では一般に不成立）。
$z^\alpha$ は一般に多価。 $\sqrt z$ は $2$ 価、 $i^i$ は無限多価だが全部実数。多価性は複素解析の本質。

この章のまとめ

べき級数は収束半径 $R$ （コーシー–アダマール）の内側で正則、項別微分自由。 $e^z,\sin z,\cos z$ は全平面で正則な整関数。
オイラーの公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ が指数と三角を統一。 $e^z$ は $2\pi i$ 周期。
逆関数 $\log z=\ln|z|+i(\arg z+2\pi k)$ は多価（分岐点 $0$ 、分岐切断で枝をとる）。 $z^\alpha=e^{\alpha\log z}$ も一般に多価。多価性・分岐は複素解析特有の現象。

正則関数の道具が揃いました。次章から複素積分に入り、複素解析の心臓——コーシーの積分定理を扱います。

第3章 べき級数と初等関数