ホーム › 複素解析 › 第10章 偏角の原理とルーシェの定理 第10章 偏角の原理とルーシェの定理
「囲んだ中に零点がいくつあるか」を積分で数える
方程式 f ( z ) = 0 f(z)=0 f ( z ) = 0 積分 で実現します。f ′ f \frac{f'}{f} f f ′ 偏角の原理 です。
幾何的な意味も鮮やかです。z z z f ( z ) f(z) f ( z ) 回転数 ）が、
そのまま零点の個数を数えている。この視点から、300 300 300 n n n ルーシェの定理 ——「主要項が支配すれば零点の個数は同じ」——という、根の個数を
比較で数える強力な道具が得られます。留数定理（第8章 ）の、数え上げへの応用です。
偏角の原理：1 2 π i ∮ f ′ f d z = Z − P \frac1{2\pi i}\oint\frac{f'}{f}dz=Z-P 2 π i 1 ∮ f f ′ d z = Z − P f ( γ ) f(\gamma) f ( γ )
偏角の原理
定理 偏角の原理
f f f γ \gamma γ γ \gamma γ γ \gamma γ Z Z Z P P P 位数を込めて 数える）とすると
1 2 π i ∮ γ f ′ ( z ) f ( z ) d z = Z − P . \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=Z-P. 2 π i 1 ∮ γ f ( z ) f ′ ( z ) d z = Z − P .
証明
f ′ f \frac{f'}{f} f f ′ f f f z 0 z_0 z 0 f f f m m m f = ( z − z 0 ) m g f=(z-z_0)^mg f = ( z − z 0 ) m g g ( z 0 ) ≠ 0 g(z_0)\ne0 g ( z 0 ) = 0 第6章 ）で
f ′ f = m ( z − z 0 ) m − 1 g + ( z − z 0 ) m g ′ ( z − z 0 ) m g = m z − z 0 + g ′ g , \frac{f'}{f}=\frac{m(z-z_0)^{m-1}g+(z-z_0)^mg'}{(z-z_0)^mg}=\frac{m}{z-z_0}+\frac{g'}{g}, f f ′ = ( z − z 0 ) m g m ( z − z 0 ) m − 1 g + ( z − z 0 ) m g ′ = z − z 0 m + g g ′ , g ′ g \frac{g'}{g} g g ′ z 0 z_0 z 0 Res z 0 f ′ f = m \operatorname{Res}_{z_0}\frac{f'}f=m Res z 0 f f ′ = m z 0 z_0 z 0 m m m f = ( z − z 0 ) − m g f=(z-z_0)^{-m}g f = ( z − z 0 ) − m g Res z 0 f ′ f = − m \operatorname{Res}_{z_0}\frac{f'}f=-m Res z 0 f f ′ = − m 留数定理 より 1 2 π i ∮ f ′ f = ∑ Res = Z − P \frac1{2\pi i}\oint\frac{f'}f=\sum\operatorname{Res}=Z-P 2 π i 1 ∮ f f ′ = ∑ Res = Z − P + + + − - −
∎
証明の核心は「f ′ f \frac{f'}f f f ′ + m +m + m − m -m − m f ′ f = ( log f ) ′ \frac{f'}f=(\log f)' f f ′ = ( log f ) ′ log f \log f log f arg f \arg f arg f
系 幾何的意味（回転数）
1 2 π i ∮ γ f ′ f d z = 1 2 π [ arg f ( z ) ] γ \dfrac1{2\pi i}\oint_\gamma\dfrac{f'}f\,dz=\dfrac1{2\pi}\big[\arg f(z)\big]_\gamma 2 π i 1 ∮ γ f f ′ d z = 2 π 1 [ arg f ( z ) ] γ γ \gamma γ arg f \arg f arg f 2 π 2\pi 2 π = = = f ( γ ) f(\gamma) f ( γ ) 回転数 。ゆえ Z − P = Z-P= Z − P = f ( γ ) f(\gamma) f ( γ )
「z z z f ( z ) f(z) f ( z ) f f f f ( γ ) f(\gamma) f ( γ )
例 代数学の基本定理、再び
n n n p ( z ) = z n + ⋯ p(z)=z^n+\cdots p ( z ) = z n + ⋯ R R R p ( z ) ≈ z n p(z)\approx z^n p ( z ) ≈ z n z z z p ( z ) p(z) p ( z ) n n n Z = n Z=n Z = n n n n n n n 第5章のリウヴィルによる証明 とは別の、回転数による直観的な証明。
ルーシェの定理
零点の個数を「支配的な項」で数える、偏角の原理の実用版です。
定理 ルーシェの定理
f , g f,g f , g γ \gamma γ γ \gamma γ 上 で ∣ g ( z ) ∣ < ∣ f ( z ) ∣ |g(z)|<|f(z)| ∣ g ( z ) ∣ < ∣ f ( z ) ∣ f f f f + g f+g f + g γ \gamma γ 同じ個数の零点 をもつ。
証明
γ \gamma γ ∣ g ∣ < ∣ f ∣ |g|<|f| ∣ g ∣ < ∣ f ∣ f ≠ 0 f\ne0 f = 0 f + g = f ( 1 + g / f ) f+g=f(1+g/f) f + g = f ( 1 + g / f ) ∣ g / f ∣ < 1 |g/f|<1 ∣ g / f ∣ < 1 h = 1 + g / f h=1+g/f h = 1 + g / f γ \gamma γ Re > 0 \operatorname{Re}>0 Re > 0 ∣ g / f ∣ < 1 |g/f|<1 ∣ g / f ∣ < 1 1 + g / f 1+g/f 1 + g / f ∣ w − 1 ∣ < 1 |w-1|<1 ∣ w − 1∣ < 1 h ( γ ) h(\gamma) h ( γ ) 回転数 0 0 0 。偏角の原理より h h h = 0 =0 = 0 h h h f + g = f h f+g=fh f + g = f h f f f h h h h h h = f =f = f
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「大きい方 f f f g g g 扱いやすい f f f 。
例 ルーシェの応用：零点の所在
p ( z ) = z 5 + 3 z 2 + 1 p(z)=z^5+3z^2+1 p ( z ) = z 5 + 3 z 2 + 1 ∣ z ∣ = 1 |z|=1 ∣ z ∣ = 1 ∣ z ∣ = 1 |z|=1 ∣ z ∣ = 1 ∣ 3 z 2 ∣ = 3 |3z^2|=3 ∣3 z 2 ∣ = 3 ∣ z 5 + 1 ∣ ≤ 2 < 3 |z^5+1|\le2<3 ∣ z 5 + 1∣ ≤ 2 < 3 f = 3 z 2 f=3z^2 f = 3 z 2 g = z 5 + 1 g=z^5+1 g = z 5 + 1 ∣ g ∣ < ∣ f ∣ |g|<|f| ∣ g ∣ < ∣ f ∣ f = 3 z 2 f=3z^2 f = 3 z 2 2 2 2 z = 0 z=0 z = 0 2 2 2 p p p 2 2 2
ルーシェは、方程式の根の所在 （どの領域にいくつあるか）を調べる標準手段です。安定性解析（制御理論で極が
左半平面にあるか）などにも使われます。
開写像定理
偏角の原理から、正則関数のもう一つの著しい性質が出ます。
定理 開写像定理
定数でない正則関数は開写像 （開集合を開集合に写す）。ゆえ正則関数の像は開集合。
証明
（要点。）f ( z 0 ) = w 0 f(z_0)=w_0 f ( z 0 ) = w 0 f ( z ) − w 0 f(z)-w_0 f ( z ) − w 0 z 0 z_0 z 0 m m m w 0 w_0 w 0 w w w f ( z ) = w f(z)=w f ( z ) = w m m m f f f w 0 w_0 w 0
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「正則関数は像を開くように写す」。これは実関数と大きく違います（実の x 2 x^2 x 2 R \mathbb R R [ 0 , ∞ ) [0,\infty) [ 0 , ∞ ) 0 0 0 最大値原理 が即座に従います。
つまずきポイント
注意 よくある誤解
偏角の原理は位数を込めて数える。 m m m m m m m m m − m -m − m 1 2 π i ∮ f ′ f = Z − P \frac1{2\pi i}\oint\frac{f'}f=Z-P 2 π i 1 ∮ f f ′ = Z − P 回転数＝像 f ( γ ) f(\gamma) f ( γ ) arg f \arg f arg f 2 π 2\pi 2 π ルーシェは γ \gamma γ ∣ g ∣ < ∣ f ∣ |g|<|f| ∣ g ∣ < ∣ f ∣ 支配項 f f f f f f 開写像定理は定数でない正則関数。 定数は一点に写す（開でない）。像が開＝最大値原理の源。
この章のまとめ
偏角の原理 1 2 π i ∮ f ′ f = Z − P \frac1{2\pi i}\oint\frac{f'}f=Z-P 2 π i 1 ∮ f f ′ = Z − P f ( γ ) f(\gamma) f ( γ ) 原点まわりの回転数 。代数学の基本定理が「大円で n n n ルーシェの定理 ：γ \gamma γ ∣ g ∣ < ∣ f ∣ |g|<|f| ∣ g ∣ < ∣ f ∣ f f f f + g f+g f + g 開写像定理 ：定数でない正則関数は開集合を開集合に写す。次章の最大値原理の源。
次章は、これらの帰結——最大値原理・シュワルツの補題・等角写像 、そしてリーマンの写像定理を扱います。