⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第10章 二階線形PDEの分類と波動方程式

二階PDEには、3つの「性格」がある

自然界の基本法則の多くは、二階の偏微分方程式です。波の伝播（波動方程式）、熱の拡散（熱方程式）、静電場や 定常状態（ラプラス方程式）——これら3つが二階線形PDEの代表選手です。そして驚くべきことに、二階線形PDEは たった3つの型に分類されます：双曲型・放物型・楕円型。

この分類は二次形式の分類（正定値・不定符号…）とまったく同じ原理——係数の判別式で決まります。 そして型が違えば、解の性質も、適切な境界条件も、解法も、根本的に異なる。波動（双曲）は情報を有限速度で運び振動を 保つ、熱（放物）はなめらかに拡散する、ラプラス（楕円）は最も滑らかな平衡状態。型を見れば、方程式の“性格”が 分かるのです。この章では分類の原理を示し、双曲型の代表——波動方程式のダランベール解を導きます。

二階線形PDEは判別式 B2−4ACB^2-4AC で双曲・放物・楕円の3型に分類（二次形式と同じ）。型が解の性格を決める。

分類

定義 二階線形PDEの分類

2変数二階線形PDE A uxx+2B uxy+C uyy+(低階項)=0A\,u_{xx}+2B\,u_{xy}+C\,u_{yy}+(\text{低階項})=0 を、判別式 B2−ACB^2-AC の符号で分類する（A,B,CA,B,C は係数）：

  • B2−AC>0B^2-AC>0：双曲型（hyperbolic）——波動方程式 utt−c2uxx=0u_{tt}-c^2u_{xx}=0。
  • B2−AC=0B^2-AC=0：放物型（parabolic）——熱方程式 ut−kuxx=0u_t-ku_{xx}=0。
  • B2−AC<0B^2-AC<0：楕円型（elliptic）——ラプラス方程式 uxx+uyy=0u_{xx}+u_{yy}=0。

この分類が二次形式と同じなのは偶然ではありません。主要部 Auxx+2Buxy+CuyyAu_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy} は、記号的に 行列 (ABBC)\begin{pmatrix}A&B\\B&C\end{pmatrix} の二次形式 (∂x∂y)(ABBC)(∂x∂y)\begin{pmatrix}\partial_x&\partial_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&B\\B&C\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\end{pmatrix} に 対応し、その行列の固有値の符号（＝シルヴェスターの慣性法則）が型を決めるからです。固有値が 異符号なら双曲（円錐曲線でいう双曲線）、片方 00 なら放物、同符号なら楕円——円錐曲線の分類との名前の一致も ここから来ます。

例 3つの型の性格

型代表性格
双曲波動 utt=c2uxxu_{tt}=c^2u_{xx}有限速度で伝播、振動を保つ、特性線あり
放物熱 ut=kuxxu_t=ku_{xx}無限速度で拡散、瞬時に滑らかに、不可逆
楕円ラプラス Δu=0\Delta u=0平衡状態、最も滑らか、最大値原理

型ごとに、適切な境界条件も違います。波動・熱（時間発展）は初期条件、ラプラス（平衡）は境界値。型を 取り違えた条件を課すと、解が存在しなかったり一意でなかったりする（適切性、発展的PDE）。

波動方程式とダランベール解

双曲型の代表、波動方程式 utt=c2uxxu_{tt}=c^2u_{xx}（弦の振動、音波、光）を解きます。特性線を使った鮮やかな解法があります。

定理 ダランベールの公式

無限に長い弦の波動方程式 utt=c2uxxu_{tt}=c^2u_{xx}（−∞<x<∞-\infty<x<\infty）に、初期条件 u(x,0)=φ(x)u(x,0)=\varphi(x)、ut(x,0)=ψ(x)u_t(x,0)=\psi(x) を課すと、解は u(x,t)=12[φ(x−ct)+φ(x+ct)]+12c∫x−ctx+ctψ(s) ds.u(x,t)=\frac12\big[\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\big]+\frac1{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds.

証明

波動作用素は因数分解できる：∂tt−c2∂xx=(∂t−c∂x)(∂t+c∂x)\partial_{tt}-c^2\partial_{xx}=(\partial_t-c\partial_x)(\partial_t+c\partial_x)。特性座標 ξ=x−ct, η=x+ct\xi=x-ct,\ \eta=x+ct に 変換すると、方程式は uξη=0u_{\xi\eta}=0 になる。これを積分すると u=F(ξ)+G(η)=F(x−ct)+G(x+ct)u=F(\xi)+G(\eta)=F(x-ct)+G(x+ct)（右進行波＋左進行波）。 初期条件 u(x,0)=F(x)+G(x)=φu(x,0)=F(x)+G(x)=\varphi、ut(x,0)=−cF′(x)+cG′(x)=ψu_t(x,0)=-cF'(x)+cG'(x)=\psi を解いて F,GF,G を定めると上の公式。∎

「波動方程式の解は、右へ進む波 F(x−ct)F(x-ct) と左へ進む波 G(x+ct)G(x+ct) の重ね合わせ」。波動作用素が (∂t−c∂x)(∂t+c∂x)(\partial_t-c\partial_x)(\partial_t+c\partial_x) と因数分解でき、各因子が前章の輸送方程式（速度 ±c\pm c）だからです。 初期の変位 φ\varphi は半分ずつ左右に分かれて進み、初速 ψ\psi は積分の形で広がる。

注意 有限伝播速度と特性線

点 (x,t)(x,t) の解は、初期時刻の区間 [x−ct,x+ct][x-ct,x+ct]（依存領域）だけで決まる。すなわち情報は速度 cc を超えて 伝わらない（有限伝播速度）——双曲型の本質的な性質で、相対論の因果律とも響き合う。特性線 x±ct=x\pm ct= 一定 が 情報の伝わる道。放物型（熱）が無限速度で拡散するのと対照的。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 型は判別式 B2−ACB^2-AC で決まる。 二次形式の固有値の符号と同じ。双曲（異符号）・放物（片方 00）・楕円（同符号）。円錐曲線の名前の由来。
  • 型ごとに適切な境界条件が違う。 波動・熱は初期値問題、ラプラスは境界値問題。取り違えると適切性が崩れる。
  • 波動方程式は左右の進行波の和。 ダランベール F(x−ct)+G(x+ct)F(x-ct)+G(x+ct)。作用素の因数分解＝輸送方程式の積。
  • 双曲型は有限伝播速度。 依存領域 [x−ct,x+ct][x-ct,x+ct]。情報が cc を超えない。熱（放物）は無限速度で対照的。

この章のまとめ

  • 二階線形PDEは判別式 B2−ACB^2-AC で 双曲・放物・楕円 に分類（二次形式の固有値の符号と同じ原理）。型が解の性格・適切な境界条件・解法を決める。
  • 双曲型（波動）は有限速度伝播・振動保持、放物型（熱）は無限速度拡散・平滑化、楕円型（ラプラス）は最も滑らかな平衡。
  • 波動方程式 utt=c2uxxu_{tt}=c^2u_{xx} は作用素の因数分解でダランベール解 F(x−ct)+G(x+ct)F(x-ct)+G(x+ct)（左右の進行波）。依存領域による有限伝播速度。

次章は、放物型（熱方程式）と楕円型（ラプラス方程式）の性質——平滑化・最大値原理・平均値性を扱います。