第9章一階偏微分方程式 — 特性曲線法

複数の変数が絡むと、話が変わる

これまでの常微分方程式（ODE）は、一つの変数（たいてい時間 $t$ ）の関数を求めるものでした。でも自然界の多くの現象——熱の広がり、波の伝播、流体の流れ——は、時間と空間の両方に依存します。 $u(x,t)$ のような多変数関数と、その偏微分を含む方程式が偏微分方程式（PDE）です。

PDE は ODE より格段に難しく、一般論はありません。でも一階のPDEには、美しい解法があります——特性曲線法。「PDEを、ある特別な曲線（特性曲線）に沿って見ると、常微分方程式に化ける」。多変数の問題を、うまい曲線に沿って一変数の問題（ODE、解ける！）に還元するのです。最も基本的な輸送方程式（一定速度で形を保って進む波）から始め、準線形方程式、そして衝撃波の発生（特性曲線が交わると解が壊れる）まで見ます。PDEの世界への入口です。

一階PDEは、特性曲線に沿って見ると常微分方程式に化ける。多変数を一変数に還元して解く。

偏微分方程式

定義偏微分方程式

多変数関数 $u(x_1,\dots,x_n)$ とその偏導関数の関係式を偏微分方程式（PDE）という。最高階の偏微分の階数が階数。

まず最も単純な一階線形PDE——輸送方程式を通じて、特性曲線の考え方をつかみます。

輸送方程式と特性曲線

定理輸送方程式

$u_t+c\,u_x=0\qquad(c\ \text{定数})$ の解は、初期条件 $u(x,0)=u_0(x)$ に対し $u(x,t)=u_0(x-ct).$ 初期波形が速度 $c$ で形を保って右へ進む（輸送）。

証明

$x=x_0+ct$ （速度 $c$ の特性曲線）に沿って $u$ を見ると、 $\frac{d}{dt}u(x_0+ct,t)=u_x\cdot c+u_t=cu_x+u_t=0$ 。すなわち $u$ は各特性曲線上で一定。 $t=0$ で $x=x_0$ の値 $u_0(x_0)$ を保つので、点 $(x,t)$ では $x_0=x-ct$ の値、 $u=u_0(x-ct)$ 。∎

証明の核心は「特性曲線 $x-ct=$ 一定に沿って $u$ が変化しない」こと。PDE $u_t+cu_x=0$ が、特性曲線上では $\frac{du}{dt}=0$ という自明なODEに化ける。だから初期値がそのまま平行移動して伝わる。この「特性曲線に沿って ODEにする」発想を、一般の一階PDEへ広げます。

特性曲線法（一般）

定理準線形一階PDEの特性曲線法

準線形PDE $a(x,y,u)\,u_x+b(x,y,u)\,u_y=c(x,y,u)$ は、特性方程式（連立ODE） $\frac{dx}{dt}=a,\qquad \frac{dy}{dt}=b,\qquad \frac{du}{dt}=c$ に還元される。この特性曲線を求め、初期曲線からの値を運べば解が得られる。

証明

特性曲線 $(x(t),y(t))$ 上で $u$ を見ると $\frac{du}{dt}=u_x\frac{dx}{dt}+u_y\frac{dy}{dt}=au_x+bu_y=c$ （PDEそのもの）。ゆえ $\frac{dx}{dt}=a,\frac{dy}{dt}=b$ ととれば、 $u$ は特性曲線上で $\frac{du}{dt}=c$ というODEに従う。∎

「PDE ＝解の値が特性曲線に沿ってどう変化するかの規則」。 $a,b$ が特性曲線の進む向きを、 $c$ が曲線に沿った $u$ の変化率を決める。多変数のPDEが、特性曲線というパラメータ曲線上の連立ODE（前半で解いた）に分解される。これが一階PDEの統一的な解法です。

例準線形PDEの例

$u_t+u\,u_x=0$ （バーガース方程式、非粘性）：特性方程式 $\frac{dx}{dt}=u,\ \frac{du}{dt}=0$ 。 $u$ は特性曲線上で一定なので、特性曲線は $x=x_0+u_0(x_0)t$ という直線（速度が $u$ 自身＝波の高いところほど速く進む）。解は $u=u_0(x-ut)$ （陰関数）。

衝撃波：特性曲線が交わるとき

準線形（非線形）PDEでは、特性曲線が交わることがあり、そこで解が壊れます。

注意衝撃波の発生

バーガース方程式で、初期波形の「速い部分（ $u$ 大）が遅い部分（ $u$ 小）に追いつく」と、特性曲線が交差する。交差点では $u$ が2つの値をもつことになり、なめらかな解が存在しなくなる——衝撃波（ショック）の発生。物理では「波が切り立って崩れる」現象（音速の壁、交通渋滞の波）に対応。ここから先は弱解・保存則の理論（発展的PDE）へ。

線形の輸送方程式（特性曲線が平行な直線、交わらない）では解が永久に滑らかなのに、非線形だと有限時間で特性曲線が衝突して解が破綻する。非線形PDEの難しさの根源が、この特性曲線の交差にあります。線形と非線形の決定的な違いです。

つまずきポイント

注意よくある誤解

特性曲線に沿ってPDEがODEになる。 $u_t+cu_x=0$ は $x-ct=$ 一定に沿って $\frac{du}{dt}=0$ 。多変数を一変数に還元。
輸送方程式は形を保って進む。 $u=u_0(x-ct)$ 。速度 $c$ で平行移動。線形なので波形が崩れない。
非線形（準線形）では特性曲線が交わりうる。 バーガース方程式で衝撃波が発生し、滑らかな解が消える。線形との決定的な違い。
PDE には ODE のような一般論が無い。 一階は特性曲線で解けるが、二階以上は型（次章）ごとに全く異なる。

この章のまとめ

偏微分方程式（PDE）は多変数関数の偏微分を含む。ODE より難しく一般論が無いが、一階は特性曲線法で解ける。
輸送方程式 $u_t+cu_x=0$ は $u=u_0(x-ct)$ （形を保って速度 $c$ で進む）。特性曲線 $x-ct=$ 一定に沿って $u$ が一定。
一般の準線形一階PDEは、特性方程式 $\frac{dx}{dt}=a,\frac{dy}{dt}=b,\frac{du}{dt}=c$ （連立ODE）に還元。非線形では特性曲線が交わって衝撃波が発生する。

次章は、二階線形PDEの型による分類（楕円・放物・双曲）と、双曲型の代表——波動方程式を扱います。

第9章 一階偏微分方程式 — 特性曲線法