第11章熱方程式とラプラス方程式

拡散する熱と、静まりかえった平衡

前章の波動方程式（双曲型）は、情報を有限速度で運び、振動を永久に保ちました。この章の主役は、対照的な2つ—— 熱方程式（放物型）とラプラス方程式（楕円型）です。

熱方程式 $u_t=k\,u_{xx}$ は、熱が拡散していく様子を記述します。その性質は波動とは正反対——でこぼこな初期分布が瞬時になめらかになり（平滑化）、時間とともに一様へ向かう。一方ラプラス方程式 $\Delta u=0$ は、時間が経って落ち着いた平衡状態（定常温度、静電ポテンシャル）を表します。その解＝調和関数は、実は複素解析ですでに出会っていました——正則関数の実部・虚部です。ここで微分方程式と複素解析が再会し、平均値性・最大値原理という美しい性質が共有されます。拡散と平衡、2つの基本方程式の性格を見極めます。

熱方程式（放物）は平滑化して一様へ。ラプラス方程式（楕円）の解＝調和関数（複素解析）は平均値性・最大値原理をもつ。

熱方程式と基本解

定理熱方程式の基本解（熱核）

熱方程式 $u_t=k\,u_{xx}$ （ $-\infty<x<\infty$ ）の基本解（熱核）は $\Phi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}\,e^{-x^2/(4kt)}\qquad(t>0).$ 初期分布 $u(x,0)=u_0(x)$ に対する解は、熱核との畳み込み $u(x,t)=\int_{-\infty}^\infty\Phi(x-y,t)\,u_0(y)\,dy.$

熱核 $\Phi$ は、 $t=0$ で一点に集中していた熱（デルタ関数）が、時刻 $t$ で正規分布（ガウス関数、微積分第11章）に広がった形。分散が $2kt$ で時間とともに広がる——熱が拡散する様子そのものです。任意の初期分布は、各点の熱を熱核で広げて重ね合わせ（畳み込み）れば得られます。この解から、熱方程式の際立った2つの性質が出ます。

命題熱方程式の性質：平滑化と無限速度

平滑化： $t>0$ で解 $u(x,t)$ は $x$ について $C^\infty$ （無限回微分可能）。初期分布がどんなにギザギザでも、瞬時に滑らかになる。
無限伝播速度： $t>0$ の任意の点の解が、初期分布の全体に依存する（熱核が全域で正）。一点の熱が瞬時に（微小だが）全域に届く。

熱核が滑らかで全域で正であることが、これらを生みます。波動方程式が「不連続を保って有限速度で運ぶ」のと正反対に、熱方程式は「不連続を瞬時にならして無限速度で拡散する」。この不可逆性（時間を逆向きにすると熱核が発散し解けない）が、熱の物理（エントロピー増大）に対応します。

定理熱方程式の最大値原理

有界領域での熱方程式の解の最大値・最小値は、初期時刻または空間境界でとる（内部・後の時刻で新たな極値を作らない）。

「熱は勝手に集中しない」——最大温度は初期か境界にあり、内部で自然に温度が上がることはない。物理的に自然なこの性質が、解の一意性・安定性を保証します。

ラプラス方程式と調和関数

時間が経って熱の流れが止まった定常状態（ $u_t=0$ ）は、ラプラス方程式を満たします。

定義ラプラス方程式・調和関数

$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0$ をラプラス方程式、その解を調和関数という（定常温度分布、静電ポテンシャル、非圧縮渦なし流れ）。

調和関数は、実は初めてではありません。複素解析第2章で「正則関数の実部・虚部は調和関数」と証明しました。ここで微分方程式と複素解析が再会します。調和関数は、正則関数の理論（複素解析）から豊かな性質を受け継ぎます。

定理平均値性と最大値原理

調和関数 $u$ について：

平均値性： $u(P)$ は、 $P$ を中心とする任意の円周（球面）上の $u$ の平均に等しい。
最大値原理：定数でない調和関数は、領域の内部で最大・最小をとらない（境界でとる）。

証明

（平均値性。）調和関数は局所的に正則関数 $f$ の実部（複素解析第2章の調和共役）ゆえ、コーシーの積分公式 $f(P)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(P+re^{i\theta})d\theta$ の実部をとると平均値性。最大値原理は、これと複素解析第11章の議論から（平均が最大なら周上すべて最大＝定数）。∎

「調和関数の値は周りの平均」——だから内部に飛び出た山も谷もできない（平均が中心を決めるので、内部で最大になれない）。複素解析の最大値原理がそのまま調和関数に効く。定常温度が内部で自然に最高にならない（複素解析で予告した物理）ことの、数学的な理由です。微分方程式（ラプラス方程式）と複素解析（正則・調和）が、平均値性・最大値原理を共有する——2つの分野が一つになる場所です。

注意ディリクレ問題

「境界での値を指定して、内部の調和関数を求める」のがディリクレ問題。最大値原理より解は一意（2つの解の差は境界で $0$ の調和関数＝内部でも $0$ ）。円板ではポアソン核による積分公式で解ける。存在の一般論は変分法・ソボレフ空間（発展的PDE）へ。等角写像（複素解析第11章）で領域を円板に移して解くのが古典的技法。

つまずきポイント

注意よくある誤解

熱方程式は平滑化＆無限速度。 $t>0$ で瞬時に $C^\infty$ 、初期の不連続が消える。波動（有限速度・不連続保持）と正反対。時間反転で解けない（不可逆）。
ラプラス方程式の解＝調和関数＝正則関数の実部。 複素解析と直結。平均値性・最大値原理を共有。
最大値原理が一意性を与える。 熱・ラプラスとも、内部で新たな極値を作らないので、境界/初期値で解が一意に定まる。
型ごとに条件が違う。 熱（放物）は初期条件、ラプラス（楕円）は境界値（ディリクレ問題）。

この章のまとめ

熱方程式 $u_t=ku_{xx}$ の基本解（熱核）は広がるガウス関数。解は初期分布との畳み込み。平滑化（瞬時に $C^\infty$ ）と無限伝播速度——波動と正反対、不可逆。最大値原理が成り立つ。
ラプラス方程式 $\Delta u=0$ の解＝調和関数は正則関数の実部。平均値性（値は周りの平均）と最大値原理を複素解析から受け継ぐ。
ディリクレ問題（境界値から内部を復元）は最大値原理より一意。微分方程式と複素解析が再会する。

最終章は、これらのPDEを実際に解く一般的技法——変数分離・フーリエ・グリーン関数を扱います。

第11章 熱方程式とラプラス方程式