第6章連立線形系と行列指数関数

$y'=ay$ の解 $e^{ax}$ を、行列に一般化する

複数の量が絡み合って変化する系——捕食者と被食者、連成振動、化学反応の濃度——は、複数の未知関数の連立微分方程式になります。 $\mathbf x'=A\mathbf x$ （ $\mathbf x$ はベクトル、 $A$ は行列）の形です。

一見複雑ですが、スカラーの $y'=ay$ の解が $y=e^{ax}y_0$ だったことを思い出してください。連立系の解も、まったく同じ形—— $\mathbf x=e^{tA}\mathbf x_0$ ——で書けます。ここで $e^{tA}$ は行列の指数関数。「行列を指数の肩に乗せる」という一見奇妙な操作が、連立線形系を一挙に解く鍵です。そして $e^{tA}$ の計算は、線形代数の固有値・対角化・ジョルダン標準形にそっくり帰着します。微分方程式と線形代数が、ここで完全に一つになる。高階方程式もすべて一階の連立系に書き直せるので、これは線形 ODE の統一理論でもあります。

連立線形系 $\mathbf x'=A\mathbf x$ の解は $\mathbf x=e^{tA}\mathbf x_0$ 。行列指数関数 $e^{tA}$ は固有値・ジョルダン標準形で計算する。

連立線形系と行列指数関数

定義行列指数関数

$n\times n$ 行列 $A$ に対し、 $e^{A}=\sum_{k=0}^\infty\frac{A^k}{k!}=I+A+\frac{A^2}{2!}+\cdots$ （全平面で収束する整関数の行列版、絶対収束）を行列指数関数という。 $\dfrac{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}$ 。

定理連立線形系の解

定数行列 $A$ による同次連立系 $\mathbf x'=A\mathbf x,\ \mathbf x(0)=\mathbf x_0$ の解は $\mathbf x(t)=e^{tA}\mathbf x_0,$ 一意（ピカール–リンデレフ、 $f=A\mathbf x$ はリプシッツ）。

証明

$\frac{d}{dt}e^{tA}\mathbf x_0=Ae^{tA}\mathbf x_0=A\mathbf x$ （項別微分： $\frac{d}{dt}\frac{(tA)^k}{k!}=\frac{A^k t^{k-1}}{(k-1)!}=A\frac{(tA)^{k-1}}{(k-1)!}$ ）。 $t=0$ で $e^0\mathbf x_0=\mathbf x_0$ 。ゆえ初期値問題の解。∎

スカラーの $\frac{d}{dt}e^{at}=ae^{at}$ が、そのまま行列版 $\frac{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}$ に一般化される。証明も同じ（べき級数の項別微分）。問題は $e^{tA}$ を具体的に計算することで、ここで線形代数が主役になります。

固有値による計算

$A$ が対角化できれば、 $e^{tA}$ は対角成分の指数関数に落ちます。

定理対角化可能なとき

$A=P\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)P^{-1}$ （対角化）なら $e^{tA}=P\operatorname{diag}(e^{\lambda_1t},\dots,e^{\lambda_nt})P^{-1}.$ ゆえ解は固有ベクトル $\mathbf v_i$ を使い $\mathbf x(t)=\sum_i c_ie^{\lambda_it}\mathbf v_i$ 。

証明

$A^k=PD^kP^{-1}$ （ $D$ 対角）ゆえ $e^{tA}=\sum\frac{t^k}{k!}PD^kP^{-1}=Pe^{tD}P^{-1}$ 。 $e^{tD}$ は対角成分 $e^{\lambda_it}$ 。∎

「各固有方向で、独立に $e^{\lambda_it}$ 倍で進む」——連立系が、固有ベクトルの向きに分解すると $n$ 個の独立なスカラー方程式 $y_i'=\lambda_iy_i$ に化ける。線形代数の対角化（座標を固有ベクトルにとると変換が単純になる）の、力学的な意味そのものです。固有値 $\lambda_i$ が各モードの成長率を決めます。

例連立系の解

$\mathbf x'=\begin{pmatrix}0&1\\-2&-3\end{pmatrix}\mathbf x$ ：固有値 $\lambda=-1,-2$ （特性方程式 $\lambda^2+3\lambda+2=0$ ）、固有ベクトル $\binom1{-1},\binom1{-2}$ 。解 $\mathbf x=c_1e^{-t}\binom1{-1}+c_2e^{-2t}\binom1{-2}$ 。両固有値が負ゆえ原点へ収束（安定、次章）。

ジョルダン標準形と重複固有値

対角化できない（固有ベクトルが足りない）場合は、ジョルダン標準形で計算します。

定理ジョルダン細胞の指数関数

ジョルダン細胞 $J=\lambda I+N$ （ $N$ は冪零、右上に $1$ ）について、 $\lambda I$ と $N$ は可換なので $e^{tJ}=e^{\lambda t}e^{tN}=e^{\lambda t}\Big(I+tN+\frac{t^2}{2!}N^2+\cdots+\frac{t^{m-1}}{(m-1)!}N^{m-1}\Big)$ （ $N$ 冪零ゆえ級数は有限）。

対角化できる場合の解は純粋な $e^{\lambda t}$ の重ね合わせでしたが、対角化できない（重複固有値で固有ベクトル不足）と $t,t^2,\dots$ の多項式因子が付きます——これが第4章の重根 $xe^{\lambda x}$ の、連立系版の正体です。線形代数のジョルダン標準形の指数関数への応用が、ここでそのまま微分方程式の解に現れます。

高階方程式は一階の連立系

すべての高階線形方程式は、一階の連立系に書き直せます。これが連立系の理論を「線形 ODE の統一理論」にします。

命題高階 → 一階連立系

$n$ 階方程式 $y^{(n)}=a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y+g$ は、 $\mathbf x=(y,y',\dots,y^{(n-1)})^\top$ とおくと $\mathbf x'=\begin{pmatrix}0&1&&\\ &\ddots&\ddots&\\ &&0&1\\ a_0&a_1&\cdots&a_{n-1}\end{pmatrix}\mathbf x+\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\g\end{pmatrix}$ （コンパニオン行列）という一階連立系になる。この行列の固有値＝特性方程式の根。

だから第4章の特性方程式は、コンパニオン行列の固有値方程式にほかならず、重根 ↔ ジョルダン細胞、というきれいな対応がつきます。線形 ODE の理論は、すべて $\mathbf x'=A\mathbf x$ と $e^{tA}$ に統一される。

つまずきポイント

注意よくある誤解

$e^{A+B}=e^Ae^B$ は $AB=BA$ のときのみ。 行列は非可換なので、指数法則が一般には崩れる。 $e^{tJ}=e^{\lambda t}e^{tN}$ が成り立つのは $\lambda I,N$ が可換だから。
$e^{tA}$ の計算は固有値・ジョルダン標準形。 対角化可能なら $e^{\lambda_it}$ の重ね合わせ、不可能なら $t$ の多項式因子（重根）。
固有値の実部が安定性を決める。 $\operatorname{Re}\lambda_i<0$ なら $e^{\lambda_it}\to0$ （収束）。次章の相図の基礎。
高階も連立系に帰着。 コンパニオン行列。特性方程式＝その固有値方程式。線形理論は $\mathbf x'=A\mathbf x$ に統一。

この章のまとめ

連立線形系 $\mathbf x'=A\mathbf x$ の解は $\mathbf x=e^{tA}\mathbf x_0$ （行列指数関数、スカラー $e^{at}$ の一般化、 $\frac{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}$ ）。
$e^{tA}$ は線形代数で計算：対角化可能なら $\sum c_ie^{\lambda_it}\mathbf v_i$ 、ジョルダン標準形なら $t$ の多項式因子つき（重根の連立系版）。
高階方程式はコンパニオン行列の一階連立系に帰着し、特性方程式＝固有値方程式。線形 ODE は $\mathbf x'=A\mathbf x$ に統一される。

線形理論が完成しました。次章から定性理論——解を求めずに、平衡点・相図・安定性を読む技術に入ります。

第6章 連立線形系と行列指数関数

y′=ayy'=ayy′=ay の解 eaxe^{ax}eax を、行列に一般化する