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第8章 リアプノフの方法

エネルギーが減るなら、系は落ち着く

前章の線形化は強力ですが、限界があります。平衡点が双曲的でない（中心など、固有値の実部が 00）とき、 線形化では安定性を判定できませんでした。また、非線形系の大域的な安定性（近くだけでなく広い範囲からの収束）も、 局所線形化では見えません。

リアプノフの方法は、これらを乗り越えます。発想は物理的で直感的です——「エネルギー」のような量 VV を用意し、 それが時間とともに減り続けるなら、系は必ずエネルギー最小の平衡点に落ち着く。振り子が摩擦でエネルギーを失い、 やがて真下で静止するように。しかも、この VV（リアプノフ関数）を見つけさえすれば、解を一切求めずに安定性が 言える。線形化を超えた、安定性理論の一般的な方法です。制御工学（システムの安定化）で最も使われる道具でもあります。

リアプノフ関数 VV（正定値・平衡点で最小）が時間微分 V˙≤0\dot V\le0（減少）なら安定、V˙<0\dot V<0 なら漸近安定。解を求めずに判定。

リアプノフ関数

平衡点を原点 x∗=0\mathbf x_*=\mathbf 0 とします（一般性を失わない）。

定義 リアプノフ関数と軌道に沿う微分

原点の近傍で定義された C1C^1 関数 V(x)V(\mathbf x) が正定値とは、V(0)=0V(\mathbf 0)=0 かつ x≠0\mathbf x\ne\mathbf 0 で V(x)>0V(\mathbf x)>0。 系 x′=f(x)\mathbf x'=\mathbf f(\mathbf x) の解に沿った VV の時間微分（軌道微分）は、連鎖律より V˙(x)=∇V(x)⋅f(x).\dot V(\mathbf x)=\nabla V(\mathbf x)\cdot\mathbf f(\mathbf x). （解を求めずに、VV と f\mathbf f だけから計算できる。）

V˙\dot V が「解 x(t)\mathbf x(t) に沿って VV がどう変化するか」を、解を知らずに ∇V⋅f\nabla V\cdot\mathbf f で与えるのがミソです （微積分の連鎖律：ddtV(x(t))=∇V⋅x′=∇V⋅f\frac{d}{dt}V(\mathbf x(t))=\nabla V\cdot\mathbf x'=\nabla V\cdot\mathbf f）。これが負なら VV は 軌道に沿って減る＝系が「谷底」の平衡点へ向かう。

リアプノフの安定定理

定理 リアプノフの安定定理

原点を平衡点とする系 x′=f(x)\mathbf x'=\mathbf f(\mathbf x) について、原点の近傍で正定値な C1C^1 関数 VV が存在して：

  1. V˙(x)≤0\dot V(\mathbf x)\le0（近傍で）ならば、原点はリアプノフ安定。
  2. V˙(x)<0\dot V(\mathbf x)<0（x≠0\mathbf x\ne\mathbf 0 で）ならば、原点は漸近安定。
  3. V˙(x)>0\dot V(\mathbf x)>0（x≠0\mathbf x\ne\mathbf 0 で、VV は原点でいくらでも近くに正値をとる）ならば、原点は不安定（チェタエフ）。

証明

（1 の要点。）VV 正定値ゆえ、小さな c>0c>0 の等位面 {V=c}\{V=c\} は原点を囲む閉曲線。V˙≤0\dot V\le0 なら軌道は VV の値を増やせない、 すなわち一度 {V<c}\{V<c\} に入った軌道は外へ出られない（等位面を横切れない）。ゆえ近くから始めた解は近くに留まる＝リアプノフ安定。 （2）さらに V˙<0\dot V<0 なら VV が真に減り続け、V→0V\to0（原点）へ収束＝漸近安定（ラサールの不変性原理で精密化）。∎

証明の幾何的な心は「VV の等位面が原点を囲む“堀”で、V˙≤0\dot V\le0 の軌道はその堀を外へ越えられない」。 エネルギーの等高線に閉じ込められるイメージです。難しさは「適切な VV を見つけること」——万能の作り方は無く、 物理的なエネルギーやその変形を試すのが定石です。

例 振り子のエネルギー

減衰振り子 θ′′+cθ′+sin⁡θ=0\theta''+c\theta'+\sin\theta=0（c>0c>0）で、V=12ω2+(1−cos⁡θ)V=\frac12\omega^2+(1-\cos\theta)（運動エネルギー＋位置エネルギー）を リアプノフ関数にとる。軌道微分 V˙=ω⋅ω′+sin⁡θ⋅ω=ω(−cω−sin⁡θ)+ωsin⁡θ=−cω2≤0\dot V=\omega\cdot\omega'+\sin\theta\cdot\omega=\omega(-c\omega-\sin\theta)+\omega\sin\theta=-c\omega^2\le0。 ゆえ原点（真下）はリアプノフ安定。c>0c>0（減衰）ではエネルギーが摩擦で減り続け、漸近安定になる。「摩擦がエネルギーを 奪うから振り子は止まる」という物理が、V˙=−cω2≤0\dot V=-c\omega^2\le0 の一行に凝縮される。

線形化を超えて

リアプノフ法の真価は、線形化が効かない場合に発揮されます。

例 中心か、安定か——線形化では分からない例

x′=−y−x3, y′=x−y3x'=-y-x^3,\ y'=x-y^3 の原点。ヤコビ行列は (0−110)\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} で固有値 ±i\pm i（純虚、中心）—— 線形化では安定性が判定できない（前章）。ところが V=x2+y2V=x^2+y^2 をとると V˙=2xx′+2yy′=2x(−y−x3)+2y(x−y3)=−2x4−2y4<0\dot V=2xx'+2yy'=2x(-y-x^3)+2y(x-y^3)=-2x^4-2y^4<0。ゆえ原点は漸近安定。非線形項 −x3,−y3-x^3,-y^3 が 系を安定化していた——線形化では見えなかった真実を、リアプノフ関数が暴く。

線形化が「中心（判定不能）」と言った平衡点が、実は漸近安定だった。非線形項の効果を、リアプノフ関数が正しく 捉えるのです。これが、局所線形化を超える一般的な安定性理論としての価値です。

注意 線形系のリアプノフ関数

線形系 x′=Ax\mathbf x'=A\mathbf x（AA の全固有値の実部 <0<0）では、任意の正定値対称行列 QQ に対しリアプノフ方程式 A⊤P+PA=−QA^\top P+PA=-Q が正定値解 PP をもち、V=x⊤PxV=\mathbf x^\top P\mathbf x が漸近安定を示すリアプノフ関数になる。安定性理論と 線形代数の二次形式（正定値性）が結びつく。制御理論の要。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • V˙\dot V は解を求めずに計算できる。 V˙=∇V⋅f\dot V=\nabla V\cdot\mathbf f（連鎖律）。f\mathbf f と VV だけから。ここがリアプノフ法の威力。
  • リアプノフ関数の作り方に王道は無い。 物理的エネルギーやその二次形式を試す。見つかれば強力、見つからなくても不安定とは限らない（十分条件）。
  • V˙≤0\dot V\le0 でリアプノフ安定、V˙<0\dot V<0 で漸近安定。 等号を許すと「留まる」だけ、真に負なら「収束」。
  • 線形化が非双曲（中心）でもリアプノフは使える。 非線形項の安定化/不安定化を捉える。線形化の限界を超える。

この章のまとめ

  • リアプノフ関数 VV（正定値、原点で最小）の軌道微分 V˙=∇V⋅f\dot V=\nabla V\cdot\mathbf f を、解を求めずに計算する。
  • V˙≤0\dot V\le0 ならリアプノフ安定、V˙<0\dot V<0 なら漸近安定（V˙>0\dot V>0 で不安定）。等位面が軌道を閉じ込める幾何。「エネルギーが減れば平衡へ落ち着く」。
  • 線形化が効かない**中心（非双曲）**でも判定でき、非線形項の効果を捉える。線形系では二次形式のリアプノフ方程式と結びつく。

常微分方程式が完成しました。次章から偏微分方程式——複数変数の微分を含む方程式へ進み、一階PDEの特性曲線法を扱います。