第3章解の存在と一意性

「解を書けない」方程式でも、解は存在するのか

前2章で解けたのは、ごく特別な形の方程式だけでした。ほとんどの微分方程式は、初等関数で解を書き下せません。すると根本的な問いが立ちます——そもそも解は存在するのか？存在するなら、一意なのか？

初期値 $y(x_0)=y_0$ を与えたとき、そこから出発する解曲線がちょうど一本ある——これが保証されなければ、微分方程式で「未来を予測する」ことに意味がありません（解が無ければ予測不能、複数あれば未来が定まらない）。この保証を与えるのがピカール–リンデレフの定理です。証明は美しく、集合と位相のバナッハの不動点定理を使います——微分方程式を積分方程式に書き換え、「解＝ある写像の不動点」とみなし、その写像が縮小写像だと示す。第1章の方向場で「初期点から道が一本決まる」と直感したことの、厳密な裏づけです。

ピカール–リンデレフ： $f$ がリプシッツ連続なら、初期値問題の解が一意に存在する。証明は縮小写像の不動点。

リプシッツ条件

解の一意性には、 $f$ の“急すぎない”変化が要ります。それを測るのがリプシッツ条件です。

定義リプシッツ条件

リプシッツ条件は「 $y$ が動くとき $f$ の変化率が $L$ で頭打ち」という制約。これが無いと一意性が壊れます（後述の反例）。連続性だけでは弱く、リプシッツが一意性の適切な条件です。

積分方程式への書き換え

証明の第一歩は、微分方程式を積分方程式に書き換えることです。これが不動点の舞台を用意します。

命題同値な積分方程式

初期値問題 $y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$ は、積分方程式 $y(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t,y(t))\,dt$ と同値（連続な $y$ について）。

証明

$y'=f(x,y)$ を $x_0$ から $x$ まで積分すれば右辺（微積分の基本定理、微積分第7章）。逆に積分方程式を微分すれば $y'=f(x,y)$ で $y(x_0)=y_0$ 。∎

積分方程式の右辺を「関数 $y$ を受け取って新しい関数を返す写像 $T$ 」とみます： $(Ty)(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y(t))\,dt$ 。すると解＝ $Ty=y$ となる不動点。あとは $T$ が縮小写像だと示せば、バナッハの不動点定理が一意な不動点を保証します。

ピカール–リンデレフの定理

定理ピカール–リンデレフの定理

$f(x,y)$ が長方形 $D=\{|x-x_0|\le a,\ |y-y_0|\le b\}$ で連続、 $y$ についてリプシッツ連続（定数 $L$ ）、 $|f|\le M$ とする。 $h=\min(a,b/M)$ とおくと、区間 $|x-x_0|\le h$ で初期値問題 $y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$ の解が一意に存在する。

証明

区間 $I=[x_0-h,x_0+h]$ 上の連続関数で $\|y-y_0\|_\infty\le b$ を満たすもの全体 $X$ を、上限ノルムで考える。 $X$ は完備（集合と位相第4章：連続関数の閉集合）。写像 $(Ty)(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y(t))\,dt$ を考える。

$T$ は $X$ を $X$ に写す： $|(Ty)(x)-y_0|\le\int_{x_0}^x|f|\,dt\le M|x-x_0|\le Mh\le b$ 。

$T$ は縮小写像（ $Lh<1$ となるよう $h$ をさらに小さくとる）： $|(Ty_1)(x)-(Ty_2)(x)|\le\int_{x_0}^x|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\,dt\le L\int_{x_0}^x|y_1-y_2|\,dt\le Lh\,\|y_1-y_2\|_\infty.$ 上限をとって $\|Ty_1-Ty_2\|_\infty\le Lh\,\|y_1-y_2\|_\infty$ 、 $Lh<1$ ゆえ縮小。

完備空間上の縮小写像なのでバナッハの不動点定理より不動点 $y^*=Ty^*$ が一意に存在。これが積分方程式の解＝初期値問題の解。∎

証明の骨格は「微分方程式 → 積分方程式 → 不動点 → 縮小写像 → バナッハ」。集合と位相で証明した抽象的な不動点定理が、ここで微分方程式の解の存在という具体的な結論を生む。抽象論のご利益が最も鮮やかに現れる場面です。しかも不動点定理の証明は反復列の収束でしたから、解を近似的に構成する方法も同時に得られます。

定義ピカールの逐次近似

$y_0(x)=y_0$ （定数）から始め、 $y_{n+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t,y_n(t))\,dt$ で反復すると、 $y_n\to y^*$ （真の解）に一様収束する（ピカールの逐次近似）。バナッハの不動点定理の反復列そのもの。

例逐次近似で e^x を作る

$y'=y,\ y(0)=1$ ： $y_0=1$ 、 $y_1=1+\int_0^x1\,dt=1+x$ 、 $y_2=1+\int_0^x(1+t)dt=1+x+\frac{x^2}2$ 、… $y_n=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\to e^x$ 。逐次近似が指数関数のテイラー級数を組み上げる。

一意性の必要性・解の延長・比較

注意リプシッツが無いと一意性が壊れる

$y'=\sqrt{|y|},\ y(0)=0$ ： $f=\sqrt{|y|}$ は $y=0$ でリプシッツでない（ $\partial_y f$ が発散）。解は $y\equiv0$ と $y=\frac{x^2}4$ （ $x\ge0$ ）の両方があり、一意でない。リプシッツ条件が一意性に本質的だと分かる。

定理解の延長

ピカールの定理が保証するのは局所的な解（区間 $|x-x_0|\le h$ ）。この解は、 $(x,y)$ が定義域の境界に近づくまで延長できる。線形方程式など $f$ が全域でリプシッツなら大域解（全区間で存在）になるが、 $y'=y^2$ のように有限時間で発散する（爆発： $y=\frac1{C-x}$ ）方程式もある。

定理比較定理

$y'=f(x,y)$ 、 $z'=g(x,z)$ で $f\le g$ 、 $y(x_0)\le z(x_0)$ なら（適当な条件下で） $x\ge x_0$ で $y(x)\le z(x)$ 。「大きい傾きの解は上に来る」——解を求めずに大小・有界性を評価できる、定性理論の基本道具。

つまずきポイント

注意よくある誤解

存在には連続、一意にはリプシッツ。 連続だけでは解は存在するが一意とは限らない（ペアノの定理は存在のみ）。 $y'=\sqrt{|y|}$ が非一意の例。
解は局所的（爆発しうる）。 ピカールは初期点近傍での存在。 $y'=y^2$ は有限時間で $\infty$ 。大域存在は追加条件（線形性など）が要る。
証明の心は「微分方程式＝不動点」。 積分方程式に直し、縮小写像＋バナッハ。逐次近似が構成的な近似解を与える。
リプシッツ ⇐ $C^1$ （有界導関数）。 実用上は「 $f$ が $y$ について $C^1$ 」で十分。 $\partial_y f$ が発散する点で一意性が危うい。

この章のまとめ

初期値問題を積分方程式 $y=y_0+\int f\,dt$ に書き換え、その右辺を写像 $T$ とみると解＝不動点。
ピカール–リンデレフの定理： $f$ が連続かつ $y$ についてリプシッツなら、解が局所的に一意存在。証明はバナッハの不動点定理（ $T$ が縮小写像）。ピカールの逐次近似が構成的な近似解を与える。
リプシッツが無いと一意性が壊れる（ $y'=\sqrt{|y|}$ ）。解は延長できるが爆発もありうる（ $y'=y^2$ ）。比較定理で解を求めずに大小評価。

存在と一意性の基礎が固まりました。次章から線形微分方程式の系統的な解法——定数係数と特性方程式に入ります。

第3章 解の存在と一意性