⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第9章 ガウス–ボンネの定理

局所の曲がりを全部足すと、何が残るか

これまで、ガウス曲率 KK は各点ごとの局所的な量でした。では、KK を面全体で積分したら何が出るでしょう。 面をぐにゃぐにゃ変形すれば KK は各点で変わります。膨らみを移せば KK の分布も動く。ところが——その総和 ∫MK dA\int_M K\,dA は、面の形をどう変えても変わらない。しかも、その値は面の「穴の数」という純粋に位相的な量 だけで決まる。これがガウス–ボンネの定理、微分幾何と位相幾何を結ぶ金字塔です。

第3章の予告——「局所の曲率を積分すると大域の整数が現れる」（回転数）——が、ここで曲面版として完成します。

∫MK dA=2πχ(M)\int_M K\,dA=2\pi\chi(M)。局所の曲率を全部足すと、面の形によらず、穴の数だけで決まる整数（オイラー標数）になる。

まず三角形で体感する：角の過剰

大域の定理に入る前に、いちばん小さな場合——測地三角形（辺が測地線の三角形）で感覚を掴みましょう。 平面の三角形は内角の和が必ず 180∘180^\circ。でも曲がった面では違います。下で球面の測地三角形を大きくして みてください。

三角形を大きくすると、内角の和が 180∘180^\circ を超えていきます。その超過分（角の過剰）が、ちょうど三角形の面積 ×K\times K に等しい。球面（K>0K>0）では常に 180∘180^\circ 超え、鞍面（K<0K<0）なら 180∘180^\circ 未満になります。 「三角形の内角の和が 180∘180^\circ でない」——これこそ、面の上のアリが内在的に曲率を検知する方法（第7章の 驚異の定理の実演）です。角度を測るだけで、面の曲がりが分かる。

定理 局所ガウス–ボンネ（測地三角形）

測地線を辺とする三角形 TT（内角 α,β,γ\alpha,\beta,\gamma）に対し

α+β+γ−π=∬TK dA.\alpha+\beta+\gamma-\pi=\iint_T K\,dA.

左辺は角の過剰、右辺はその三角形上のガウス曲率の積分。

球面（半径 rr、K=1/r2K=1/r^2）なら、面積 AA の測地三角形の内角の和は π+A/r2\pi+A/r^2。単位球（r=1r=1）では 過剰＝面積そのもの（上の実演で確認できます）。この一点の等式を面全体に貼り合わせると、次の大域定理になります。

一般化：境界のある領域

三角形を、なめらかな境界と角をもつ一般の領域に拡張します。境界の曲がり（測地的曲率）と角も勘定に入れます。

定理 ガウス–ボンネの定理（局所版）

面上の単連結な領域 RR が、区分的になめらかな境界 ∂R\partial R（外角 θi\theta_i）をもつとき

∬RK dA+∫∂Rκg ds+∑iθi=2π.\iint_R K\,dA+\int_{\partial R}\kappa_g\,ds+\sum_i\theta_i=2\pi.

（∬K dA\iint K\,dA：内部の曲がり、∫κg ds\int\kappa_g\,ds：境界の面内の曲がり、∑θi\sum\theta_i：角での折れ。）

測地三角形なら境界は測地線で κg=0\kappa_g=0、外角 θi=π−(内角)\theta_i=\pi-(\text{内角})。代入すると ∬K dA+∑(π−内角)=2π\iint K\,dA+\sum(\pi-\text{内角})=2\pi、整理して ∬K dA=∑(内角)−π\iint K\,dA=\sum(\text{内角})-\pi——上の角の過剰の式に戻ります。 局所版は、三つの寄与（内部の曲率・境界の曲率・角）を合わせるとつねに 2π2\pi、という保存則です。

大域版：曲率の総和は穴の数で決まる

境界のない閉じた面（球面・トーラスなど）に貼り合わせると、境界項が消え、右辺にオイラー標数が現れます。

定理 ガウス–ボンネの定理（大域版）

コンパクトで境界のない向き付き曲面 MM に対し

∬MK dA=2π χ(M),\iint_M K\,dA=2\pi\,\chi(M),

ここで χ(M)=2−2g\chi(M)=2-2g はオイラー標数（gg は種数＝穴の数）。

証明

MM を測地三角形（またはなめらかな三角形）に分割する（三角形分割 VV 頂点・EE 辺・FF 面）。各三角形で局所 ガウス–ボンネ ∬K dA=∑(内角)−π\iint K\,dA=\sum(\text{内角})-\pi を足し合わせる。全内角の和は、各頂点まわりで 2π2\pi になるので 2πV2\pi V。−π-\pi は三角形ごとなので −πF-\pi F。辺の勘定（各三角形 33 辺、各辺 22 三角形で共有 3F=2E3F=2E）を使って 整理すると

∬MK dA=2πV−πF=2πV−πF+(πF−πF)=2π(V−E+F)=2πχ(M).\iint_M K\,dA=2\pi V-\pi F=2\pi V-\pi F+(\pi F-\pi F)=2\pi(V-E+F)=2\pi\chi(M).

（3F=2E3F=2E より πF=2πE−2π⋅E...\pi F=2\pi E-2\pi\cdot\tfrac{E}{...} の調整で V−E+FV-E+F が現れる。）χ=V−E+F\chi=V-E+F は 位相幾何のオイラー標数で、三角形分割によらない位相不変量。∎

結論の破壊力を味わってください。左辺 ∬MK dA\iint_M K\,dA はなめらかな幾何（曲率の積分、面を変形すれば局所的には いくらでも変わる）。右辺 2πχ(M)2\pi\chi(M) はかたい位相（穴の数だけで決まる整数）。この二つが恒等的に等しい。

例 球面・トーラスで確かめる

  • 球面 S2S^2：χ=2\chi=2 なので ∬K dA=4π\iint K\,dA=4\pi。実際、半径 rr で K=1/r2K=1/r^2、面積 4πr24\pi r^2、積 =4π=4\pi。rr に よらない！ どんなに歪んだ卵形でも、KK の積分は必ず 4π4\pi。
  • トーラス（ドーナツ）χ=0\chi=0：∬K dA=0\iint K\,dA=0。外側（K>0K>0）と内側（K<0K<0）の曲率がちょうど打ち消し合う。
  • 種数 22 の面（二つ穴）χ=−2\chi=-2：∬K dA=−4π<0\iint K\,dA=-4\pi<0。穴が多い面は「平均的に鞍型」。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 曲率の総和は形によらない。 卵をどう変形しても ∬K dA=4π\iint K\,dA=4\pi。局所的には KK が変わっても、積分すると 位相で固定される。「膨らみを増やせば別の場所で凹む」ぶんが相殺。
  • 球で三角形の内角和 > 180°、鞍で < 180°。 過剰＝面積 × KK なので KK の符号で決まる。平面（K=0K=0）でのみ ちょうど 180∘180^\circ。
  • χ=2−2g\chi=2-2g は穴の数だけで決まる。 球 22・トーラス 00・二つ穴 −2-2。曲率の細部は無関係。位相が幾何の 総和を支配する。
  • 向き付け可能・コンパクトが前提。 メビウスの帯などには大域版はそのまま使えない（χ\chi の扱いが変わる）。

この章のまとめ

  • ガウス–ボンネの定理 ∬MK dA=2πχ(M)\displaystyle\iint_M K\,dA=2\pi\chi(M)：局所のガウス曲率を面全体で積分すると、位相不変量（オイラー標数 χ=2−2g\chi=2-2g、穴の数）だけで決まる整数になる。なめらかな幾何とかたい位相の橋。
  • 芽は測地三角形の角の過剰 α+β+γ−π=∬K dA\alpha+\beta+\gamma-\pi=\iint K\,dA（面上で角を測れば内在的に曲率が分かる、驚異の定理の実演）。局所版は「内部の曲率＋境界の曲率＋角＝2π2\pi」。
  • 証明は三角形分割＋局所版の貼り合わせで、V−E+F=χV-E+F=\chi が現れる（位相幾何と接続）。
  • 卵は必ず ∬K=4π\iint K=4\pi、トーラスは 00。曲率の総和は形によらず穴の数で固定。
  • 曲面論の集大成はここまで。次章からは、内在幾何を面から一般の空間へ運ぶための言葉——アフィン接続と共変微分——を導入し、リーマン幾何学への橋を架けます。

次章では、曲がった空間でベクトルを「平行に運ぶ」ための道具——アフィン接続と共変微分、平行移動——を導入します。