第9章 CWホモロジーとオイラー標数

特異単体は多すぎる——胞体で数え直す

特異ホモロジー（第6章）は理論的には美しいのですが、特異単体が非可算個あるため、定義から直接計算できません。前2章の完全系列も強力ですが、手数がかかります。もっと手で計算できるホモロジーが欲しい。

それがCW（胞体）ホモロジーです。空間を有限個の「胞体」（点・線分・円板・球…を貼り合わせた部品）で組み立てると、鎖複体が各次元有限個の胞体だけからなり、行列計算でホモロジーが求まる。多面体・曲面・射影空間など、たいていの空間はこの形で扱えます。そして胞体の個数から、この分野で最も古く有名な不変量——オイラー標数 $\chi=V-E+F$ ——が出ます。多面体の $V-E+F=2$ （オイラーの多面体定理）が、ホモロジーの言葉で「 $\chi=\sum(-1)^nb_n$ 」（オイラー–ポアンカレ）として一般化される。 $2000$ 年前から知られた数が、 $20$ 世紀のホモロジー論で真の意味を得るのです。

CWホモロジーは有限個の胞体で計算できる。胞体数の交代和がオイラー標数 $\chi=\sum(-1)^n c_n=\sum(-1)^n b_n$ 。

CW複体

定義 CW複体

CW複体とは、次元の低い胞体から順に貼って作る空間： $0$ 胞体（点）の集合から始め、各 $n$ 胞体（ $n$ 次元円板 $D^n$ ）を、その境界 $\partial D^n=S^{n-1}$ を既に作った $(n-1)$ 骨格へ連続写像で貼り付けて加える。

例 CW構造の例

円周 $S^1$ ： $0$ 胞体 $1$ つ（点 $v$ ）＋ $1$ 胞体 $1$ つ（両端を $v$ に貼った弧）。
球面 $S^2$ ： $0$ 胞体 $1$ つ＋ $2$ 胞体 $1$ つ（円板の境界を一点に潰す）。または多面体（頂点・辺・面）。
トーラス $T^2$ ： $0$ 胞体 $1$ つ、 $1$ 胞体 $2$ つ（ $a,b$ ）、 $2$ 胞体 $1$ つ（正方形、境界が $aba^{-1}b^{-1}$ ）。
実射影平面 $\mathbb{RP}^2$ ： $0,1,2$ 胞体各 $1$ つ（ $2$ 胞体の境界が $1$ 胞体を $2$ 回巻いて貼る）。

CW構造は「最小限の部品で空間を組む設計図」。トーラスなら胞体4つ（ $1+2+1$ ）で済みます。この胞体たちが鎖複体をなします。

胞体鎖複体

定理胞体鎖複体とCWホモロジー

CW複体 $X$ の $n$ 胞体を基底とする自由アーベル群 $C_n^{\mathrm{CW}}(X)$ （階数＝ $n$ 胞体の個数）に、境界写像（胞体を貼る写像の「次数」で定まる整数係数）を入れた鎖複体のホモロジーは、特異ホモロジーに一致する： $H_n^{\mathrm{CW}}(X)\cong H_n(X).$

各次元が有限次元（胞体の個数）なので、境界写像は整数行列になり、ホモロジーは線形代数（というより加群論の単因子）で計算できます。手計算が可能になる決定的な単純化です。

例トーラスのホモロジー（胞体計算）

$T^2$ の胞体鎖複体は $0\to C_2=\mathbb Z\xrightarrow{\partial_2}C_1=\mathbb Z^2\xrightarrow{\partial_1}C_0=\mathbb Z\to0$ 。 $2$ 胞体の境界は $aba^{-1}b^{-1}$ で、これはアーベル化すると $a+b-a-b=0$ 、ゆえ $\partial_2=0$ 。 $1$ 胞体の両端は同じ点ゆえ $\partial_1=0$ 。したがって $H_0=\mathbb Z,\quad H_1=\ker\partial_1/\operatorname{im}\partial_2=\mathbb Z^2/0=\mathbb Z^2,\quad H_2=\ker\partial_2=\mathbb Z.$ 第6章の $T^2$ のホモロジーが、胞体4つの行列計算で再現される。

例実射影平面：ねじれ

$\mathbb{RP}^2$ は $\partial_2=2$ （ $2$ 胞体が $1$ 胞体を $2$ 回巻く）。ゆえ $H_1=\mathbb Z/2\mathbb Z$ （ねじれ！）、 $H_2=\ker(\times2)=0$ 。 $H_0=\mathbb Z,\ H_1=\mathbb Z/2,\ H_2=0$ 。ホモロジーに有限群（ねじれ）が現れる—— $\mathbb{RP}^2$ の「向きづけ不可能性」の反映で、ベッチ数だけでは見えない情報を持つ。

オイラー標数

胞体の個数の交代和が、由緒あるオイラー標数です。

定義オイラー標数

有限CW複体 $X$ のオイラー標数を、 $n$ 胞体の個数 $c_n$ の交代和 $\chi(X)=\sum_{n}(-1)^n c_n=c_0-c_1+c_2-\cdots$ で定める。 $2$ 次元多面体なら $\chi=V-E+F$ （頂点−辺+面）。

驚くべきは、この胞体の個数から決まる数が、胞体の取り方によらない位相不変量であることです。その理由が、ホモロジーとの関係——オイラー–ポアンカレの定理です。

定理オイラー–ポアンカレの定理

$\chi(X)=\sum_n(-1)^n c_n=\sum_n(-1)^n b_n,\qquad b_n=\operatorname{rank}H_n(X)\ (\text{ベッチ数}).$ 右辺は胞体の取り方によらないので、 $\chi$ は位相不変量（ホモトピー不変）。

証明

鎖複体 $C_n$ について、 $\operatorname{rank}C_n=\operatorname{rank}Z_n+\operatorname{rank}B_{n-1}$ （ $\partial_n:C_n\to B_{n-1}$ の階数、次元定理）、 $\operatorname{rank}H_n=\operatorname{rank}Z_n-\operatorname{rank}B_n$ 。交代和 $\sum(-1)^n\operatorname{rank}C_n$ で $B$ の項が隣どうし打ち消し合い、 $\sum(-1)^n\operatorname{rank}H_n=\sum(-1)^n b_n$ が残る。∎

「 $\chi=V-E+F$ が、実はベッチ数の交代和だった」。だから多面体をどう三角形分割しても、同じ曲面なら $\chi$ は同じ（線形代数の次元定理による相殺）。下で確かめてください。球面に同相な多面体はどれも $\chi=2$ （ $b_0-b_1+b_2=1-0+1$ ）、トーラスは $\chi=0$ （ $1-2+1$ ）、種数 $g$ は $\chi=2-2g$ 。 $V,E,F$ を変えても $\chi$ は形（穴の数）だけで決まる——胞体の交代和とベッチ数の交代和が一致するからです。

多面体・曲面

系オイラーの多面体定理

球面に同相な凸多面体は $V-E+F=2$ （ $\chi(S^2)=2$ ）。これがオイラーの多面体定理の、ホモロジーによる説明。

つまずきポイント

注意よくある誤解

CWホモロジー＝特異ホモロジー（有限個の胞体で計算）。 各次元が有限次元なので整数行列で計算できる。特異は理論、CWは計算。
ねじれ（ $\mathbb Z/2$ 等）が現れる。 $\mathbb{RP}^2$ の $H_1=\mathbb Z/2$ 。ベッチ数（自由部分の階数）だけでなく有限アーベル群の情報を持つ。
$\chi=\sum(-1)^n c_n=\sum(-1)^n b_n$ （位相不変）。 胞体の個数の交代和が、ベッチ数の交代和に等しい。だから胞体分割によらない。
$\chi(S^2)=2,\ \chi(T^2)=0,\ \chi(\Sigma_g)=2-2g$ 。 種数（穴の数）で決まる。 $V-E+F$ の由来。

この章のまとめ

CW複体は胞体（ $D^n$ ）を境界で貼って組む空間。胞体鎖複体は各次元有限個の胞体を基底とし、整数行列でホモロジーが計算できる（特異ホモロジーに一致）。トーラス（胞体4つ）、 $\mathbb{RP}^2$ （ $H_1=\mathbb Z/2$ のねじれ）。
オイラー標数 $\chi=\sum(-1)^n c_n=V-E+F$ 。オイラー–ポアンカレ： $\chi=\sum(-1)^n b_n$ （ベッチ数の交代和、次元定理で相殺）。ゆえ位相不変量。
$\chi(S^2)=2$ （オイラーの多面体定理）、 $\chi(T^2)=0$ 、 $\chi(\Sigma_g)=2-2g$ 。 $2000$ 年前の数がホモロジーで真の意味を得る。

ホモロジー論を終え、次章からコホモロジー——ホモロジーの双対で、さらに積構造（環）をもつ不変量へ進みます。