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第8章 モース関数とモースの補題

山岳地帯の地形図を思い浮かべてください。山頂、谷底、峠——これら「特別な点」の配置を見るだけで、地形の 大まかな形が分かります。モース理論の発想はまさにこれ。多様体 MM 上のなめらかな関数 ff の臨界点 （山・谷・峠）を数えるだけで、MM の大域的な形（ホモロジー・ハンドル分解）が復元できる。前章で 「勾配場の零点＝臨界点、その指数がオイラー標数を作る」と予告しました。ここからは臨界点そのものを主役に、 微分の情報から空間の形を読み解きます。

臨界点と非退化性

関数 f ⁣:M→Rf\colon M\to\mathbb{R} の臨界点は、微分が消える点 dfp=0df_p=0（山頂・谷底・峠のように「平ら」な点）。 その“型”を、二階微分＝ヘッセ行列で見分けます。

定義 非退化臨界点とモース指数

臨界点 pp（dfp=0df_p=0）でのヘッセ行列 Hpf=(∂2f/∂xi∂xj)H_p f=\left(\partial^2 f/\partial x_i\partial x_j\right) が 正則（行列式 ≠0\ne0）のとき、pp を非退化という。非退化臨界点のモース指数 λ(p)\lambda(p) を、 HpfH_pf の負の固有値の個数で定める。すべての臨界点が非退化な関数をモース関数という。

モース指数は「その点から見て、下り坂の独立な方向が何本あるか」。nn 次元多様体で、λ=0\lambda=0 なら全方向が 上り＝極小（谷底）、λ=n\lambda=n なら全方向が下り＝極大（山頂）、その中間 0<λ<n0<\lambda<n が鞍点（峠： λ\lambda 方向に下り、n−λn-\lambda 方向に上り）。22 次元なら λ=0\lambda=0（谷）、11（峠）、22（山）の三種類です。 非退化とは「ヘッセが退化しない＝二階の情報で型がはっきり決まる」こと。退化した臨界点（猿の鞍など、 三方向に下る峠）は、少し摂動すれば非退化な臨界点に割れて消えます。

モースの補題：臨界点の近くは放物面

非退化臨界点の絶大な利点は、その近くで ff が完全な標準形になることです。座標をうまく取り替えると、 ff はただの二次形式——上向き・下向きの放物面の組み合わせ——に見えます。

定理 モースの補題

非退化臨界点 pp（モース指数 λ\lambda）の近くに、pp を原点とする適当な座標 (x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n) がとれて

f(x)=f(p)−x12−⋯−xλ2+xλ+12+⋯+xn2.f(x)=f(p)-x_1^2-\cdots-x_\lambda^2+x_{\lambda+1}^2+\cdots+x_n^2.

すなわち λ\lambda 個の下向き放物線と n−λn-\lambda 個の上向き放物線の和。

証明 （着想）

pp を原点、f(p)=0f(p)=0 とする。テイラーの積分剰余を使うと、臨界点（11 階が消える）なので f(x)=∑i,jxixj hij(x)f(x)=\sum_{i,j}x_i x_j\,h_{ij}(x) と、対称行列値の関数 hijh_{ij}（hij(0)=12∂i∂jfh_{ij}(0)=\frac12\partial_i\partial_j f）で書ける。 hij(0)h_{ij}(0) はヘッセの半分で非退化。あとは平方完成を関数係数のまま（グラム–シュミット的に）実行すると、 座標変換 y=y(x)y=y(x)（原点で正則）で f=±y12±⋯f=\pm y_1^2\pm\cdots の対角形になる。負符号の個数は慣性法則（シルヴェスター）で 不変＝ λ\lambda。

「非退化臨界点の近くは、必ず放物面 −x12−⋯−xλ2+⋯+xn2-x_1^2-\cdots-x_\lambda^2+\cdots+x_n^2」。この標準形が、モース理論の すべての計算を可能にします。臨界点ごとに複雑な関数を相手にせず、指数 λ\lambda だけ覚えておけば、局所的な 姿は完全に分かる。前章のポアンカレ–ホップで「勾配場の零点の指数が (−1)λ(-1)^\lambda」と使ったのも、この標準形の 勾配 ∇f=(−2x1,…,−2xλ,2xλ+1,… )\nabla f=(-2x_1,\dots,-2x_\lambda,2x_{\lambda+1},\dots) から直ちに出ます（λ\lambda 個の符号反転で 写像度 (−1)λ(-1)^\lambda）。

モース関数はほとんどの関数

モース理論が普遍的に使えるためには、「モース関数がいつでも存在し、しかも典型的」でなければなりません。 第1–2章のサード・横断性が、ここでも保証を与えます。

定理 モース関数の存在と稠密性

任意のコンパクト多様体 MM 上に、モース関数は存在する。さらにモース関数はほとんどすべての関数—— どんな ff もいくらでも近いモース関数で近似でき、モース関数全体は稠密で開。

証明 （着想：ℝᴺ に埋め込んで高さ関数）

ホイットニーで M⊂RNM\subset\mathbb{R}^N と埋め込む。方向ベクトル a∈RNa\in\mathbb{R}^N ごとに 高さ関数 fa(x)=⟨a,x⟩∣Mf_a(x)=\langle a,x\rangle|_M を考える。faf_a が非退化臨界点しか持たない（モース）のは、 aa がガウス写像に関するある写像の正則値であるとき——サードの定理より、そんな aa はほとんどいたるところ。 だから一般の方向の高さ関数はモース関数。MM の埋め込みに依らず一般の関数でも同様。

「一般の方向から見た高さ関数はモース」。前章までで培った「サードで一般の位置を拾う」論法が、ここでは 「モースな高さ方向を拾う」として働きます。だから多様体を調べたいとき、いつでも都合のよいモース関数を 一つ用意してよい。とりわけ高さ関数——多様体を空間に置いて上下の高さを測る関数——は、次章で ハンドル分解を目で見るのに最適な例になります。

注意 つまずきポイント

  • 臨界点（df=0df=0）と非退化（ヘッセ正則）は別条件。 臨界点であっても、ヘッセが退化すれば型が定まらない。 モース関数は「すべての臨界点が非退化」。退化臨界点は摂動で割れる（不安定）。
  • モース指数は負の固有値の数（下り方向の本数）。 極小 λ=0\lambda=0・極大 λ=n\lambda=n・鞍点はその間。 ヘッセの符号数（慣性）で決まり、座標に依らない。
  • 非退化 ⇒ 臨界点は孤立。 モースの補題の標準形の勾配は原点でしか消えないので、非退化臨界点は互いに離れて 有限個（コンパクトなら）。だから「数える」ことができる。

この章のまとめ

  • 関数 ff の臨界点（df=0df=0）の型をヘッセ行列で見分け、負の固有値の数をモース指数 λ\lambda とする （谷 00・峠中間・山 nn）。全臨界点が非退化な ff がモース関数。
  • モースの補題：非退化臨界点の近くは標準形 f(p)−x12−⋯−xλ2+xλ+12+⋯+xn2f(p)-x_1^2-\cdots-x_\lambda^2+x_{\lambda+1}^2+\cdots+x_n^2。 局所的な姿が指数 λ\lambda だけで決まる。
  • モース関数は稠密（存在し、一般の高さ関数はモース）。根拠はサードの定理。いつでも都合のよいモース関数を使える。

臨界点の局所的な姿が完全に分かりました。次章は、水位を上げながら「臨界点を一つ通過するたびに多様体に ハンドルが付く」様子を追い、MM の形を臨界点から組み立て直します。実際に水位を動かして体感しましょう。