第8章ガロア拡大とガロア群

体の「対称性の群」を取り出す

いよいよガロア理論の中心概念です。群論で対称性を群として抜き出したように、体の拡大 $L/K$ の「対称性」—— $K$ を固定したまま $L$ を自分自身に写す入れ替え——を群として取り出します。これがガロア群です。

$\mathbb Q(\sqrt2)$ なら、 $\sqrt2\mapsto\pm\sqrt2$ の2つの入れ替えがガロア群 $\{\mathrm{id},\sqrt2\mapsto-\sqrt2\}\cong\mathbb Z_2$ 。この群が、拡大の構造を完全に映します。ただし、ガロア群が拡大次数ぶんの大きさ（ $|\mathrm{Gal}|=[L:K]$ ）をもつには、正規（第6章）かつ分離（第7章）——ガロア拡大であることが必要十分。この章でガロア群を定義し、その大きさを決定し、次章の基本定理（中間体 ↔ 部分群の完全対応）への舞台を整えます。

ガロア拡大＝正規かつ分離な有限拡大。そのとき $|\mathrm{Gal}(L/K)|=[L:K]$ で、 $L$ の $\mathrm{Gal}$ -固定体は $K$ ちょうど。

ガロア群

定義 K-自己同型・ガロア群

拡大 $L/K$ の $K$ -自己同型とは、 $K$ を固定する体自己同型 $\sigma:L\to L$ （ $\sigma|_K=\mathrm{id}$ ）。 $K$ -自己同型全体は合成で群をなし、自己同型群 $\operatorname{Aut}(L/K)$ という。 $L/K$ がガロア拡大（後述）のとき、これをガロア群 $\operatorname{Gal}(L/K)$ と書く。

$K$ -自己同型 $\sigma$ は、 $\alpha\in L$ をその共役（同じ最小多項式の根）へ写します（ $m(\sigma\alpha)=\sigma(m(\alpha))=0$ ）。だから $\operatorname{Aut}(L/K)$ の大きさは、根の入れ替えの数——前章の埋め込みの個数で上から抑えられます。

命題自己同型群の大きさ

有限拡大 $L/K$ について $|\operatorname{Aut}(L/K)|\le[L:K]_s\le[L:K]$ 。

証明

$K$ -自己同型 $L\to L$ は、特に $K$ -埋め込み $L\to\overline K$ （像が $L$ に収まるもの）ゆえ、その個数は埋め込みの個数 $[L:K]_s$ 以下。前章より $[L:K]_s\le[L:K]$ 。∎

等号 $|\operatorname{Aut}(L/K)|=[L:K]$ はいつ成り立つか。分離性（ $[L:K]_s=[L:K]$ ）に加えて、埋め込みがすべて $L$ に収まる＝正規性（第6章）が要ります。この2条件を満たすのがガロア拡大です。

ガロア拡大

定義ガロア拡大

有限拡大 $L/K$ がガロア拡大とは、正規かつ分離であること。同値な条件： $|\operatorname{Aut}(L/K)|=[L:K]$ 。このとき $\operatorname{Aut}(L/K)=\operatorname{Gal}(L/K)$ と書く。

定理ガロア拡大の同値条件

有限拡大 $L/K$ について、次は同値：

$L/K$ は正規かつ分離（ガロア）。
$|\operatorname{Aut}(L/K)|=[L:K]$ 。
$L$ は $K$ 上の分離的多項式の分解体。
$L^{\operatorname{Aut}(L/K)}=K$ （ $\operatorname{Aut}(L/K)$ の全元が固定する元は $K$ だけ）。

証明

(1)⇔(2)：分離性で $[L:K]_s=[L:K]$ 、正規性で埋め込みが全て自己同型（第6章）ゆえ $|\operatorname{Aut}|=[L:K]_s=[L:K]$ 。逆も同様。 (1)⇔(3)：正規＝分解体（第6章）、分離＝分離的多項式で分解体をとれる。(2)⇔(4) は次のアルティンの定理から。∎

条件 (4) が実用的です。「固定体がちょうど $K$ 」——群の作用で動かない元が基礎体だけ、というのがガロア拡大の本質的な特徴。これを保証するのがアルティンの定理です。

固定体とアルティンの定理

定義固定体

$L$ の自己同型の群 $G$ に対し、 $G$ の全元が固定する元の集合 $L^G=\{\alpha\in L:\sigma(\alpha)=\alpha\ \forall\sigma\in G\}$ を固定体という（ $L$ の部分体）。

定理アルティンの定理

$L$ を体、 $G$ を $L$ の自己同型のなす有限群とする。 $K=L^G$ とおくと、 $L/K$ はガロア拡大で $[L:L^G]=|G|,\qquad \operatorname{Gal}(L/L^G)=G.$

証明

（要点。） $[L:L^G]\le|G|$ ：任意の $\alpha\in L$ に対し、軌道 $\{\sigma(\alpha):\sigma\in G\}$ （相異なる元 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 、 $r\le|G|$ ）から $f(x)=\prod(x-\alpha_i)$ を作ると、 $f$ は $G$ で不変ゆえ係数が $L^G$ にあり、 $\alpha$ の $L^G$ 上最小多項式は $f$ を割る分離多項式で次数 $\le|G|$ 。ゆえ各元は $L^G$ 上次数 $\le|G|$ で、 $L/L^G$ は分離・正規（共役が全て軌道内＝ $L$ 内）で $[L:L^G]\le|G|$ 。逆 $[L:L^G]\ge|G|$ ： $G$ の相異なる $|G|$ 個の自己同型が $L^G$ 上一次独立（デデキントの補題：相異なる指標は一次独立）ゆえ $|G|\le[L:L^G]_s\le[L:L^G]$ 。合わせて $[L:L^G]=|G|$ 。 $\operatorname{Gal}(L/L^G)\supseteq G$ かつ大きさが $[L:L^G]=|G|$ で一致。∎

アルティンの定理は「群 $G$ から出発して固定体 $L^G$ をとれば、 $L/L^G$ がちょうど $G$ をガロア群にもつガロア拡大になる」と言います。群 → 体の方向の対応を確立するもので、次章の基本定理（中間体と部分群の一対一対応）の決定的な半分です。とくに「 $[L:L^G]=|G|$ 」がガロア対応の“次数＝位数”を保証します。

例ガロア群の計算例

$\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q$ ： $\operatorname{Gal}=\{\mathrm{id},\ \sqrt2\mapsto-\sqrt2\}\cong\mathbb Z_2$ 。
$\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb Q$ ： $\sqrt2\mapsto\pm\sqrt2,\ \sqrt3\mapsto\pm\sqrt3$ の独立な選択で $\operatorname{Gal}\cong\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2=V_4$ 。次数 $4$ 。
$x^3-2$ の分解体 $\mathbb Q(\sqrt[3]2,\omega)/\mathbb Q$ ： $3$ つの根の置換で $\operatorname{Gal}\cong S_3$ 。次数 $6$ 。これらの束構造は次章のインタラクティブで可視化する。

つまずきポイント

注意よくある誤解

ガロア拡大＝正規＋分離。 片方だけでは不十分。 $\mathbb Q(\sqrt[3]2)/\mathbb Q$ は分離だが非正規ゆえ非ガロア（ $|\operatorname{Aut}|=1<3$ ）。標数 $0$ では分離は自動なので、実質「正規＝ガロア」。
ガロア群の元は $K$ を固定し、根を共役に写す。 $\sigma$ は $K$ 係数を動かさず、 $\alpha$ を同じ最小多項式の根へ。
$|\operatorname{Gal}(L/K)|=[L:K]$ はガロアのときだけ。 一般は $\le$ 。等号がガロアの定義（同値条件の一つ）。
アルティン：群から固定体をとると必ずガロア。 $[L:L^G]=|G|$ 。デデキントの補題（指標の一次独立）が下からの評価の鍵。

この章のまとめ

$K$ -自己同型群 $\operatorname{Aut}(L/K)$ は $K$ を固定し根を共役へ写す。 $|\operatorname{Aut}(L/K)|\le[L:K]$ 。
ガロア拡大 ＝正規かつ分離 $\iff|\operatorname{Aut}(L/K)|=[L:K]\iff$ 分離的多項式の分解体 $\iff L^{\operatorname{Aut}}=K$ 。標数 $0$ では正規＝ガロア。
アルティンの定理：自己同型の有限群 $G$ から $[L:L^G]=|G|$ 、 $\operatorname{Gal}(L/L^G)=G$ 。群 → 固定体の対応を確立（次章の基本定理の半分）。

いよいよ次章は、この分野の頂点——ガロア理論の基本定理（中間体と部分群の完全な対応）を証明します。

第8章 ガロア拡大とガロア群