第6章正規拡大

「片方の根だけ」では対称性が壊れる

$\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ を考えます。これは $x^3-2$ の根 $\sqrt[3]2$ を含みますが、他の2根 $\omega\sqrt[3]2,\omega^2\sqrt[3]2$ （複素数）は含みません。すると困ったことが起きる——「 $\sqrt[3]2\mapsto\omega\sqrt[3]2$ 」という根の入れ替えは、行き先が体の外なので 自己同型にならない。片方の根しか無いと、体の対称性（ガロア群）が痩せてしまうのです。

ガロア理論がうまく働くには、「 $K$ 係数の既約多項式が根を一つ含むなら、全部の根を含む」という条件が要ります。これが正規拡大です。正規性は「分解体である」ことと同値で、「どんな埋め込みも体を自分自身に写す」とも言い換えられる。次章の分離性とあわせて、正規かつ分離な拡大＝ガロア拡大（第8章）が、理論の主役になります。

正規拡大＝「 $K$ 上既約な多項式が $L$ に根を1つもてば、 $L$ で完全分解する」＝ある多項式族の分解体。

正規拡大の定義

定義正規拡大

代数拡大 $L/K$ が正規とは、 $L$ に根を1つでももつ $K[x]$ の既約多項式が、 $L$ 内で完全に一次式に分解すること。（＝ $L$ の各元の $K$ 上共役がすべて $L$ に入る。）

「1つ根が入れば、共役の根も全部入る」—— $\mathbb Q(\sqrt2)$ は $x^2-2$ の両根 $\pm\sqrt2$ を含むので正規、 $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ は $x^3-2$ の1根しか含まないので正規でない。有限拡大では、正規性は「分解体であること」と一致します。

定理正規性 ⇔ 分解体

有限拡大 $L/K$ について、次は同値：

$L/K$ は正規。
$L$ はある多項式 $f\in K[x]$ の（ $K$ 上の）分解体。

証明

(1)⇒(2)： $L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ （有限拡大ゆえ有限生成、各 $\alpha_i$ 代数的）。各 $\alpha_i$ の最小多項式 $m_i$ は正規性より $L$ で完全分解する。 $f=m_1\cdots m_n$ とおくと、 $f$ は $L$ で分解し、その根が $L$ を生成する（ $\alpha_i$ を含む）ので、 $L$ は $f$ の分解体。 (2)⇒(1)： $L$ を $f$ の分解体とし、 $p\in K[x]$ 既約が $L$ に根 $\alpha$ をもつとする。 $p$ の別の根 $\beta$ （代数閉包内）をとり、 $L(\beta)$ を考える。第2章の共役同型 $\sigma:K(\alpha)\to K(\beta),\ \alpha\mapsto\beta$ を、第4章の同型延長定理で $\tilde\sigma:L(\alpha)\to L(\beta)$ （ $=$ 分解体どうし）に延ばす。 $\tilde\sigma$ は $f$ の根の集合を保つので $\tilde\sigma(L)=L$ 、ゆえ $\beta=\tilde\sigma(\alpha)\in\tilde\sigma(L)=L$ 。よって $p$ の全根が $L$ に入り、 $L/K$ は正規。∎

証明の (2)⇒(1) が第4章の同型延長定理を使う要所です。「分解体は同型で自分に写る」ことが、「根が1つ入れば全部入る」を保証する。この論法が次の埋め込みによる特徴づけに繋がります。

埋め込みによる特徴づけ

正規性を「 $K$ -埋め込み（ $K$ を固定する体の準同型）」の言葉で言い換えると、ガロア群の議論に直結します。

定理正規性 ⇔ 埋め込みが安定

代数拡大 $L/K$ （ $\overline K$ を代数閉包）について、次は同値：

$L/K$ は正規。
$K$ を固定する任意の埋め込み $\sigma:L\to\overline K$ は、 $\sigma(L)=L$ （ $L$ を自分自身に写す）。

証明

(1)⇒(2)： $\sigma:L\to\overline K$ を $K$ -埋め込みとする。 $\alpha\in L$ の最小多項式 $m$ について、 $\sigma(\alpha)$ も $m$ の根（ $\sigma$ が $K$ 係数を固定するので $m(\sigma\alpha)=\sigma(m(\alpha))=0$ ）。正規性より $m$ の全根は $L$ にあるので $\sigma(\alpha)\in L$ 。ゆえ $\sigma(L)\subseteq L$ 、次数が等しいので $\sigma(L)=L$ 。 (2)⇒(1)： $p\in K[x]$ 既約が $L$ に根 $\alpha$ 、 $\overline K$ に別の根 $\beta$ をもつとする。共役同型 $K(\alpha)\to K(\beta)\subseteq\overline K$ を $L\to\overline K$ の埋め込み $\sigma$ に延ばすと（同型延長）、 $\sigma(\alpha)=\beta$ 。仮定 (2) より $\sigma(L)=L$ なので $\beta\in L$ 。ゆえ $p$ の全根が $L$ 、正規。∎

「 $K$ を固定するどんな埋め込みも $L$ を外へ出さない」——正規拡大では、 $L\to\overline K$ の埋め込みが実は $L$ の 自己同型になります。これがガロア群 $\mathrm{Gal}(L/K)$ の元の供給源です（第8章）。正規でないと、埋め込みが $L$ を外の共役体へ運んでしまい、自己同型が足りなくなります。

例正規・非正規の例

$\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q$ ：正規（ $x^2-2$ の分解体）。埋め込みは $\mathrm{id}$ と $\sqrt2\mapsto-\sqrt2$ で、両方 $L$ 内。
$\mathbb Q(\sqrt[3]2)/\mathbb Q$ ：非正規。 $\sqrt[3]2\mapsto\omega\sqrt[3]2$ の埋め込みは $L$ を複素数の共役体 $\mathbb Q(\omega\sqrt[3]2)$ へ運ぶ（ $L$ の外）。
$\mathbb Q(\sqrt[3]2,\omega)/\mathbb Q$ ：正規（ $x^3-2$ の分解体、全根を含む）。 $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ の正規性の“欠落”を補った体。

正規閉包

非正規な拡大も、共役をすべて添加すれば正規にできます。

定義正規閉包

有限拡大 $L/K$ に対し、 $L$ を含む最小の $K$ 上正規な拡大 $N$ を正規閉包という（ $L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ なら $\prod m_{\alpha_i}$ の分解体）。 $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ の正規閉包は $\mathbb Q(\sqrt[3]2,\omega)$ 。

正規閉包は「足りない共役根を全部足して正規にした最小の体」。非正規な中間拡大を扱うとき（基本定理で非正規部分群に対応）、正規閉包が背後で効きます。

つまずきポイント

注意よくある誤解

正規性は「分解体である」こと。 一つの既約多項式でなく、族でもよいが、有限なら一つの多項式の分解体。「根が1つ入れば全部入る」。
$\mathbb Q(\sqrt[3]2)/\mathbb Q$ は非正規。 実根だけで複素根を欠く。ガロア群が痩せる原因。正規閉包 $\mathbb Q(\sqrt[3]2,\omega)$ で補う。
正規性は推移しない。 $M/L$ 正規かつ $L/K$ 正規でも $M/K$ 正規とは限らない（ $\mathbb Q\subset\mathbb Q(\sqrt2)\subset\mathbb Q(\sqrt[4]2)$ ：各段正規だが $\mathbb Q(\sqrt[4]2)/\mathbb Q$ は非正規、虚根 $i\sqrt[4]2$ を欠く）。
正規＋分離＝ガロア（第8章）。正規だけではガロアでない（分離性も要る、次章）。

この章のまとめ

正規拡大 ＝「 $K$ 上既約な多項式が $L$ に根を1つもてば $L$ で完全分解」。有限拡大では**「ある多項式の分解体」と同値**。
埋め込みによる特徴づけ： $K$ を固定する任意の埋め込み $\sigma:L\to\overline K$ が $\sigma(L)=L$ （自己同型になる）。ガロア群の元の供給源。
$\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q$ は正規、 $\mathbb Q(\sqrt[3]2)/\mathbb Q$ は非正規（複素根を欠く）。共役を補った最小の正規拡大が正規閉包。正規性は推移しない。

次章は、もう一つのガロアの条件——重根をもたない分離拡大と完全体を扱います。

第6章 正規拡大