第9章ガロア理論の基本定理

体の世界と群の世界が、鏡のように対応する

ここが体論・ガロア理論の頂点です。ガロア拡大 $L/K$ について、中間体（ $K$ と $L$ の間の体）の全体と、 ガロア群の部分群の全体が、包含関係を逆にして完全に一対一対応する——これがガロア理論の基本定理です。

体の問い（どんな中間体があるか、その拡大次数は、正規か）が、すべて群の問い（どんな部分群があるか、その指数は、正規部分群か）に翻訳される。 $L$ という一つの体の内部構造が、有限群 $\operatorname{Gal}(L/K)$ という目に見える有限の対象に丸ごと映されるのです。前章のアルティンの定理（群 → 固定体）と、埋め込みの理論（体 → 群）が噛み合って、この辞書が完成します。まず対応を体感し、それから証明しましょう。

ガロア対応：中間体 $F$ ↔ 部分群 $\operatorname{Gal}(L/F)$ （包含を逆にした一対一）。 $[L:F]=|H|$ 、正規部分群 ↔ ガロアな中間体。

対応を体感する

下の装置で、2つの束（左＝中間体、右＝部分群）を見比べてください。ノードをクリックすると、対応する相手が光ります。包含が上下逆（大きい体 ↔ 小さい群）になっていること、そして S₃ の例では正規部分群だけが $\mathbb Q$ 上ガロアな中間体に対応することを確かめられます。

例

中間体（体 F）

↔

部分群（H = Gal(L/F)）

$\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb Q$ （群 $V_4$ ）は可換なので全部分群が正規＝すべての中間体がガロア。一方 $x^3-2$ の分解体（群 $S_3$ ）では、位数 $2$ の非正規部分群が「 $\mathbb Q$ 上正規でない中間体」 $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ 等に対応し、正規部分群 $A_3$ がガロアな中間体 $\mathbb Q(\omega)$ に対応します。この「正規 ↔ 正規」が基本定理の華です。

基本定理

定理ガロア理論の基本定理

$L/K$ を有限ガロア拡大、 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ とする。次の対応 $F\ \longmapsto\ \operatorname{Gal}(L/F)=\{\sigma\in G:\sigma|_F=\mathrm{id}\},\qquad H\ \longmapsto\ L^H$ は、中間体 $\{F:K\subseteq F\subseteq L\}$ と部分群 $\{H:H\le G\}$ の間の包含を逆にする一対一対応（ガロア対応）である。さらに：

次数と位数： $[L:F]=|H|$ 、 $[F:K]=[G:H]$ （ $H=\operatorname{Gal}(L/F)$ ）。
正規性： $F/K$ が正規（＝ガロア） $\iff H=\operatorname{Gal}(L/F)$ が $G$ の正規部分群。このとき $\operatorname{Gal}(F/K)\ \cong\ G/H.$

証明

対応が互いに逆：中間体 $F$ について、 $L/F$ もガロア（ $L$ は $K$ 上分離的多項式の分解体ゆえ $F$ 上でもそう）なので、前章の同値条件(4)より $L^{\operatorname{Gal}(L/F)}=F$ 。逆に部分群 $H$ について、アルティンの定理より $\operatorname{Gal}(L/L^H)=H$ 。ゆえ $F\mapsto\operatorname{Gal}(L/F)$ と $H\mapsto L^H$ は互いに逆。包含を逆にするのは定義から明らか（ $F_1\subseteq F_2\Rightarrow\operatorname{Gal}(L/F_2)\subseteq\operatorname{Gal}(L/F_1)$ ）。

1. 次数と位数： $L/F$ はガロアで $|\operatorname{Gal}(L/F)|=[L:F]$ （前章）、すなわち $|H|=[L:F]$ 。塔の公式より $[F:K]=[L:K]/[L:F]=|G|/|H|=[G:H]$ 。

2. 正規性： $\sigma\in G$ に対し $\sigma(F)$ の対応する部分群は $\operatorname{Gal}(L/\sigma F)=\sigma H\sigma^{-1}$ （共役）。 $F/K$ が正規 $\iff$ 任意の $K$ -埋め込み（＝ $G$ の元）が $F$ を保つ（第6章） $\iff\sigma(F)=F\ (\forall\sigma)$ $\iff\sigma H\sigma^{-1}=H\ (\forall\sigma)\iff H\trianglelefteq G$ 。このとき制限写像 $G\to\operatorname{Gal}(F/K),\ \sigma\mapsto\sigma|_F$ は全射準同型で核が $\operatorname{Gal}(L/F)=H$ 、第一同型定理（群論）より $\operatorname{Gal}(F/K)\cong G/H$ 。∎

証明を貫くのは、前章までの2つの結果—— $L^{\operatorname{Gal}(L/F)}=F$ （ガロアの特徴づけ）と** $\operatorname{Gal}(L/L^H)=H$ ** （アルティン）——が互いに逆の対応を与えること。正規性の部分では、第6章の埋め込みによる正規性と群論の正規部分群がぴたり噛み合い、しかも $\operatorname{Gal}(F/K)\cong G/H$ が第一同型定理そのもの。体論・群論の総合力が結実する瞬間です。

対応表

体の世界（中間体 $F$ ）	群の世界（部分群 $H=\operatorname{Gal}(L/F)$ ）
$L$ （最大）	$\{e\}$ （最小）
$K$ （最小）	$G$ （最大）
$[L:F]$	$
$[F:K]$	$[G:H]$ （指数）
$F/K$ がガロア	$H\trianglelefteq G$ （正規）
$\operatorname{Gal}(F/K)$	$G/H$ （剰余群）
大きい体	小さい群（包含が逆）

例 Q(√2,√3) の中間体をすべて求める

$G=\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb Q)\cong V_4$ 。 $V_4$ の部分群は $\{e\},\ \langle\sigma\rangle,\langle\tau\rangle,\langle\sigma\tau\rangle,\ V_4$ のちょうど5個。基本定理より中間体もちょうど5個： $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3),\ \mathbb Q(\sqrt3),\mathbb Q(\sqrt2),\mathbb Q(\sqrt6),\ \mathbb Q$ 。「群の部分群を数えれば、中間体が全部わかる」——体の内部構造を、有限群の計算で完全に決定できる。

「中間体を直接探す」のは難しいのに、「有限群 $V_4$ の部分群を列挙する」のは易しい。ガロア対応は、難しい体の問題を易しい群の問題に変換する翻訳機なのです。この威力が、次章以降の有限体・円分体・可解性で全開になります。

つまずきポイント

注意よくある誤解

対応は包含を逆にする。 大きい中間体 ↔ 小さい部分群。 $L\leftrightarrow\{e\}$ 、 $K\leftrightarrow G$ 。「上下が逆の鏡」。
$[L:F]=|H|$ であって $[F:K]=|H|$ ではない。 上側の次数が部分群の位数、下側の次数 $[F:K]$ が指数 $[G:H]$ 。混同しやすい。
正規部分群 ↔ ガロアな中間体。 $H\trianglelefteq G\iff F/K$ ガロア。非正規部分群は「 $K$ 上ガロアでない中間体」（ $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ ）。 $\operatorname{Gal}(F/K)\cong G/H$ 。
基本定理は有限ガロア拡大で。 無限次では位相（クルル位相）を入れた profinite 群で対応する（発展）。

この章のまとめ

ガロア理論の基本定理：有限ガロア拡大 $L/K$ で、中間体 $F$ ↔ 部分群 $\operatorname{Gal}(L/F)$ が包含を逆にして一対一対応。証明は「 $L^{\operatorname{Gal}(L/F)}=F$ 」と「アルティン $\operatorname{Gal}(L/L^H)=H$ 」が互いに逆であること。
$[L:F]=|H|$ 、 $[F:K]=[G:H]$ 。正規部分群 $H\trianglelefteq G$ ↔ ガロアな中間体 $F/K$ 、そのとき $\operatorname{Gal}(F/K)\cong G/H$ （第一同型定理）。
中間体の決定が、有限群の部分群の列挙に帰着する。難しい体の問題を易しい群の問題に翻訳する。

次章から応用へ。まず、ガロア理論が最も鮮やかに働く有限体を扱います。

第9章 ガロア理論の基本定理