第7章分離拡大と完全体

「重根」がガロア理論を壊す

ガロア群の元は「根を共役な根へ写す入れ替え」でした（第2章）。 $n$ 次の最小多項式なら、 $n$ 個の相異なる根への $n$ 通りの入れ替えが欲しい。ところが——多項式が重根をもつと、相異なる根の数が減り、入れ替えが足りなくなります。

「重根をもたない」条件が分離性です。うれしいことに、標数 $0$ の体（ $\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ ）や有限体では、既約多項式は 必ず分離的——重根の心配は要りません。分離性が問題になるのは標数 $p$ の“不完全な”体だけです。だから多くの場合、正規性さえ気にすれば十分（分離性は自動）。この章で分離性を整理し、正規＋分離＝ガロア（次章）への最後のピースを埋めます。締めくくりは、拡大を単拡大に還元する強力な原始元定理です。

分離拡大＝各元の最小多項式が重根をもたない。標数 $0$ と有限体では自動。埋め込みの個数がちょうど $[L:K]$ になる。

分離多項式

定義分離多項式・分離的元

$K[x]$ の多項式 $f$ が分離的とは、分解体で重根をもたない（相異なる $\deg f$ 個の根をもつ）こと。代数的元 $\alpha$ が分離的とは、その最小多項式が分離的なこと。

重根の有無は、微分を使って係数の計算だけで判定できます（環論第11章の判別式の発想）。

命題重根の判定

$f$ が重根をもつ $\iff \gcd(f,f')\ne1$ （ $f$ と導関数 $f'$ が共通因子をもつ）。特に $f$ 既約なら、 $f$ が分離的 $\iff f'\ne0$ 。

証明

$\alpha$ が $f$ の重根 $\iff (x-\alpha)^2\mid f\iff (x-\alpha)\mid f$ かつ $(x-\alpha)\mid f'$ （積の微分則より $f'$ も $\alpha$ を根にもつ） $\iff \alpha$ が $f,f'$ の共通根。 $f$ 既約なら、 $f\nmid f'$ （ $\deg f'<\deg f$ ）ゆえ $\gcd(f,f')$ は $1$ か $f$ 。 $f'\ne0$ なら $\gcd=1$ （分離的）、 $f'=0$ なら $f\mid f'=0$ で全根が重根。∎

「既約なら $f'\ne0$ で分離的」が鍵。では $f'=0$ （形式微分が消える）はいつ起きるか——標数 $p$ でのみです。

定理標数 0・有限体では既約 ⇒ 分離

標数 $0$ の体、または有限体上では、既約多項式は分離的。

証明

標数 $0$ ： $f$ 既約（ $\deg f=n\ge1$ ）なら $f'$ は次数 $n-1$ の非零多項式（先頭項 $na_nx^{n-1}$ 、 $n\ne0$ ）。ゆえ $f'\ne0$ で分離的。標数 $p$ の有限体 $\mathbb F_q$ ： $f'=0$ なら $f(x)=g(x^p)$ の形。だが $\mathbb F_q$ ではフロベニウス $a\mapsto a^p$ が全射なので各係数 $b_i=c_i^p$ と書け、 $g(x^p)=\big(\sum c_ix^i\big)^p$ （次章のフロベニウス）、これは $f$ の既約性に反する。ゆえ $f'\ne0$ 。∎

多くの体（標数 $0$ ・有限体）では分離性は自動。非分離が起きるのは、標数 $p$ の無限体（ $\mathbb F_p(t)$ など）に限られます。それを区別するのが完全体です。

完全体

定義完全体

すべての既約多項式が分離的である体を完全体という。標数 $0$ の体、有限体はすべて完全体。標数 $p$ の体 $K$ が完全 $\iff$ フロベニウス $x\mapsto x^p$ が全射（ $K=K^p$ ）。

例非完全体

$K=\mathbb F_p(t)$ （ $\mathbb F_p$ 上の有理関数体）は完全でない。 $t$ は $K^p$ に無い（ $t=s^p$ となる $s\in K$ が無い）。実際 $f(x)=x^p-t$ は $K$ 上既約だが、分解体で $f=(x-\sqrt[p]t)^p$ （フロベニウス $(x-a)^p=x^p-a^p$ ）と重根 $\sqrt[p]t$ のみをもつ非分離多項式。これが非分離現象の典型例。

埋め込みの個数と分離次数

分離性の意味は、「埋め込みの個数」に現れます。これがガロア群の大きさを支配します。

定理埋め込みの個数

有限拡大 $L/K$ 、 $\overline K$ を代数閉包とする。 $K$ を固定する埋め込み $L\to\overline K$ の個数を分離次数 $[L:K]_s$ とすると、 $[L:K]_s\le[L:K],\qquad \text{等号成立}\iff L/K\ \text{が分離的}.$ 特に完全体上の有限拡大は常に分離的で、埋め込みはちょうど $[L:K]$ 個。

証明

単拡大 $K(\alpha)$ では、埋め込みは $\alpha$ をその最小多項式 $m$ の根へ写すもので、個数＝ $m$ の相異なる根の個数 $\le\deg m=[K(\alpha):K]$ 。等号 $\iff m$ が分離的（重根なし）。一般の有限拡大は単拡大の塔に分け、同型延長定理で個数を掛け合わせる（分離次数も乗法的）。∎

「相異なる根が $\deg m$ 個そろう（分離的）とき、埋め込みも $[L:K]$ 個そろう」。重根があると根が減り、埋め込みも減る。この個数が、次章でガロア群 $|\mathrm{Gal}(L/K)|$ の大きさを決めます。

原始元定理

分離拡大には、著しく便利な性質があります——一つの元で生成できる（単拡大になる）。

定理原始元定理

有限分離拡大 $L/K$ は単拡大：ある $\gamma\in L$ で $L=K(\gamma)$ （ $\gamma$ を原始元という）。特に標数 $0$ ・有限体上の有限拡大は常に単拡大。

証明

（ $K$ 無限体の場合の要点。） $L=K(\alpha,\beta)$ （2元生成に帰着）とする。 $\alpha$ の共役 $\alpha_i$ 、 $\beta$ の共役 $\beta_j$ （分離ゆえ相異なる）を使い、 $c\in K$ を「 $\gamma=\alpha+c\beta$ が $\alpha_i+c\beta_j$ （ $j\ne$ 元の添字）と一致しない」ように選ぶ（ $K$ 無限なので有限個の禁止値を避けられる）。すると $\beta$ は $K(\gamma)$ 上、 $m_\beta(x)$ と $m_\alpha(\gamma-cx)$ の共通根としてただ一つに決まり $\beta\in K(\gamma)$ 、ゆえ $\alpha=\gamma-c\beta\in K(\gamma)$ 、 $L=K(\gamma)$ 。有限体の場合は乗法群が巡回（次章）ゆえ生成元が原始元。∎

原始元定理のおかげで、「分離拡大の研究は単拡大 $K(\gamma)\cong K[x]/(m_\gamma)$ の研究に帰着」できます。多くの証明がこれで簡単になり、ガロア理論の議論を単拡大で済ませられます。標数 $0$ ならいつでも使えるので、実用上ほぼ常に「有限拡大＝単拡大」と思ってよい——強力な定理です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

標数 0・有限体では分離性は自動。 非分離は標数 $p$ の非完全体（ $\mathbb F_p(t)$ ）でのみ。多くの場面で分離性は気にしなくてよい。
重根判定は $\gcd(f,f')$ 。 既約なら $f'\ne0\iff$ 分離的。 $f'=0$ （非分離）は標数 $p$ でのみ起こる。
分離次数 $[L:K]_s$ ＝埋め込みの個数。 $\le[L:K]$ で、等号 $\iff$ 分離的。ガロア群の大きさを決める。
原始元定理は分離性が必要。 分離拡大は単拡大。標数 $0$ なら常に成立。非分離だと単拡大にならないことがある。

この章のまとめ

分離的 ＝最小多項式が重根をもたない（ $\gcd(f,f')=1$ ）。標数 $0$ と有限体では既約 ⇒ 分離（自動）。非分離は非完全体（ $\mathbb F_p(t)$ ）でのみ。
完全体（既約は必ず分離）は標数 $0$ ・有限体を含む。埋め込みの個数 $[L:K]_s\le[L:K]$ 、等号 $\iff$ 分離的——ガロア群の大きさを支配。
原始元定理：有限分離拡大は単拡大 $K(\gamma)$ 。分離拡大の研究を単拡大に帰着できる。標数 $0$ なら常に成立。

正規性と分離性が揃いました。次章は、両者を満たす拡大——ガロア拡大とガロア群を定義します。

第7章 分離拡大と完全体