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第7章 分離拡大と完全体

「重根」がガロア理論を壊す

ガロア群の元は「根を共役な根へ写す入れ替え」でした（第2章）。nn 次の最小多項式なら、nn 個の相異なる根への nn 通りの入れ替えが欲しい。ところが——多項式が重根をもつと、相異なる根の数が減り、入れ替えが足りなくなります。

「重根をもたない」条件が分離性です。うれしいことに、標数 00 の体（Q,R,C\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C）や有限体では、既約多項式は 必ず分離的——重根の心配は要りません。分離性が問題になるのは標数 pp の“不完全な”体だけです。だから多くの場合、 正規性さえ気にすれば十分（分離性は自動）。この章で分離性を整理し、正規＋分離＝ガロア（次章）への 最後のピースを埋めます。締めくくりは、拡大を単拡大に還元する強力な原始元定理です。

分離拡大 ＝ 各元の最小多項式が重根をもたない。標数 00 と有限体では自動。埋め込みの個数がちょうど [L:K][L:K] になる。

分離多項式

定義 分離多項式・分離的元

K[x]K[x] の多項式 ff が分離的とは、分解体で重根をもたない（相異なる deg⁡f\deg f 個の根をもつ）こと。 代数的元 α\alpha が分離的とは、その最小多項式が分離的なこと。

重根の有無は、微分を使って係数の計算だけで判定できます（環論第11章の判別式の発想）。

命題 重根の判定

ff が重根をもつ   ⟺  gcd⁡(f,f′)≠1\iff \gcd(f,f')\ne1（ff と導関数 f′f' が共通因子をもつ）。特に ff 既約なら、ff が分離的   ⟺  f′≠0\iff f'\ne0。

証明

α\alpha が ff の重根   ⟺  (x−α)2∣f  ⟺  (x−α)∣f\iff (x-\alpha)^2\mid f\iff (x-\alpha)\mid f かつ (x−α)∣f′(x-\alpha)\mid f'（積の微分則より f′f' も α\alpha を根にもつ）   ⟺  α\iff \alpha が f,f′f,f' の共通根。ff 既約なら、f∤f′f\nmid f'（deg⁡f′<deg⁡f\deg f'<\deg f）ゆえ gcd⁡(f,f′)\gcd(f,f') は 11 か ff。f′≠0f'\ne0 なら gcd⁡=1\gcd=1（分離的）、 f′=0f'=0 なら f∣f′=0f\mid f'=0 で全根が重根。∎

「既約なら f′≠0f'\ne0 で分離的」が鍵。では f′=0f'=0（形式微分が消える）はいつ起きるか——標数 pp でのみです。

定理 標数 0・有限体では既約 ⇒ 分離

標数 00 の体、または有限体上では、既約多項式は分離的。

証明

標数 00：ff 既約（deg⁡f=n≥1\deg f=n\ge1）なら f′f' は次数 n−1n-1 の非零多項式（先頭項 nanxn−1na_nx^{n-1}、n≠0n\ne0）。ゆえ f′≠0f'\ne0 で分離的。 標数 pp の有限体 Fq\mathbb F_q：f′=0f'=0 なら f(x)=g(xp)f(x)=g(x^p) の形。だが Fq\mathbb F_q ではフロベニウス a↦apa\mapsto a^p が全射なので 各係数 bi=cipb_i=c_i^p と書け、g(xp)=(∑cixi)pg(x^p)=\big(\sum c_ix^i\big)^p（次章のフロベニウス）、これは ff の既約性に反する。ゆえ f′≠0f'\ne0。∎

多くの体（標数 00・有限体）では分離性は自動。非分離が起きるのは、標数 pp の無限体（Fp(t)\mathbb F_p(t) など）に限られます。 それを区別するのが完全体です。

完全体

定義 完全体

すべての既約多項式が分離的である体を完全体という。標数 00 の体、有限体はすべて完全体。 標数 pp の体 KK が完全   ⟺  \iff フロベニウス x↦xpx\mapsto x^p が全射（K=KpK=K^p）。

例 非完全体

K=Fp(t)K=\mathbb F_p(t)（Fp\mathbb F_p 上の有理関数体）は完全でない。tt は KpK^p に無い（t=spt=s^p となる s∈Ks\in K が無い）。実際 f(x)=xp−tf(x)=x^p-t は KK 上既約だが、分解体で f=(x−tp)pf=(x-\sqrt[p]t)^p（フロベニウス (x−a)p=xp−ap(x-a)^p=x^p-a^p）と重根 tp\sqrt[p]t のみをもつ非分離多項式。 これが非分離現象の典型例。

埋め込みの個数と分離次数

分離性の意味は、「埋め込みの個数」に現れます。これがガロア群の大きさを支配します。

定理 埋め込みの個数

有限拡大 L/KL/K、K‾\overline K を代数閉包とする。KK を固定する埋め込み L→K‾L\to\overline K の個数を分離次数 [L:K]s[L:K]_s とすると、 [L:K]s≤[L:K],等号成立  ⟺  L/K が分離的.[L:K]_s\le[L:K],\qquad \text{等号成立}\iff L/K\ \text{が分離的}. 特に完全体上の有限拡大は常に分離的で、埋め込みはちょうど [L:K][L:K] 個。

証明

単拡大 K(α)K(\alpha) では、埋め込みは α\alpha をその最小多項式 mm の根へ写すもので、個数＝ mm の相異なる根の個数 ≤deg⁡m=[K(α):K]\le\deg m=[K(\alpha):K]。 等号   ⟺  m\iff m が分離的（重根なし）。一般の有限拡大は単拡大の塔に分け、同型延長定理で個数を掛け合わせる（分離次数も乗法的）。∎

「相異なる根が deg⁡m\deg m 個そろう（分離的）とき、埋め込みも [L:K][L:K] 個そろう」。重根があると根が減り、埋め込みも減る。 この個数が、次章でガロア群 ∣Gal(L/K)∣|\mathrm{Gal}(L/K)| の大きさを決めます。

原始元定理

分離拡大には、著しく便利な性質があります——一つの元で生成できる（単拡大になる）。

定理 原始元定理

有限分離拡大 L/KL/K は単拡大：ある γ∈L\gamma\in L で L=K(γ)L=K(\gamma)（γ\gamma を原始元という）。 特に標数 00・有限体上の有限拡大は常に単拡大。

証明

（KK 無限体の場合の要点。）L=K(α,β)L=K(\alpha,\beta)（2元生成に帰着）とする。α\alpha の共役 αi\alpha_i、β\beta の共役 βj\beta_j（分離ゆえ相異なる）を使い、 c∈Kc\in K を「γ=α+cβ\gamma=\alpha+c\beta が αi+cβj\alpha_i+c\beta_j（j≠j\ne 元の添字）と一致しない」ように選ぶ（KK 無限なので有限個の禁止値を避けられる）。 すると β\beta は K(γ)K(\gamma) 上、mβ(x)m_\beta(x) と mα(γ−cx)m_\alpha(\gamma-cx) の共通根としてただ一つに決まり β∈K(γ)\beta\in K(\gamma)、 ゆえ α=γ−cβ∈K(γ)\alpha=\gamma-c\beta\in K(\gamma)、L=K(γ)L=K(\gamma)。有限体の場合は乗法群が巡回（次章）ゆえ生成元が原始元。∎

原始元定理のおかげで、「分離拡大の研究は単拡大 K(γ)≅K[x]/(mγ)K(\gamma)\cong K[x]/(m_\gamma) の研究に帰着」できます。多くの証明が これで簡単になり、ガロア理論の議論を単拡大で済ませられます。標数 00 ならいつでも使えるので、実用上ほぼ常に 「有限拡大＝単拡大」と思ってよい——強力な定理です。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 標数 0・有限体では分離性は自動。 非分離は標数 pp の非完全体（Fp(t)\mathbb F_p(t)）でのみ。多くの場面で分離性は気にしなくてよい。
  • 重根判定は gcd⁡(f,f′)\gcd(f,f')。 既約なら f′≠0  ⟺  f'\ne0\iff 分離的。f′=0f'=0（非分離）は標数 pp でのみ起こる。
  • 分離次数 [L:K]s[L:K]_s＝埋め込みの個数。 ≤[L:K]\le[L:K] で、等号   ⟺  \iff 分離的。ガロア群の大きさを決める。
  • 原始元定理は分離性が必要。 分離拡大は単拡大。標数 00 なら常に成立。非分離だと単拡大にならないことがある。

この章のまとめ

  • 分離的 ＝ 最小多項式が重根をもたない（gcd⁡(f,f′)=1\gcd(f,f')=1）。標数 00 と有限体では既約 ⇒ 分離（自動）。非分離は非完全体（Fp(t)\mathbb F_p(t)）でのみ。
  • 完全体（既約は必ず分離）は標数 00・有限体を含む。埋め込みの個数 [L:K]s≤[L:K][L:K]_s\le[L:K]、等号   ⟺  \iff 分離的——ガロア群の大きさを支配。
  • 原始元定理：有限分離拡大は単拡大 K(γ)K(\gamma)。分離拡大の研究を単拡大に帰着できる。標数 00 なら常に成立。

正規性と分離性が揃いました。次章は、両者を満たす拡大——ガロア拡大とガロア群を定義します。