⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第1章 フーリエ級数 — 波への分解

複雑な波を、純粋な音に分ける

オーケストラの音を録音すると、複雑にうねる一本の波形になります。でも私たちの耳は、そこからバイオリンや フルートの音を聞き分けられる。つまり、複雑な波はいくつもの純粋な音（単一振動数のサイン波）の重ね合わせ だったのです。逆に問えば——どんな周期関数も、振動数の違うサイン波・コサイン波の和に分解できるのでは？

この直感を数学にしたのがフーリエ級数です。分解できると何が嬉しいか。後の章で見るように、微分方程式が 劇的に簡単になります（微分が「振動数を掛ける」ただの掛け算に化ける）。まずは「関数を波に分ける」その仕組みを、 関数解析で得た射影の言葉も借りながら、丁寧に組み立てましょう。

フーリエ級数：周期関数を、振動数の違う純粋な波 cos⁡nx,sin⁡nx\cos nx,\sin nx の重ね合わせに分解する。

フーリエ級数のかたち

周期 2π2\pi の関数 ff を、次の形に書きたい。nn 番目の波は「11 周に nn 回振動する」成分です。

定義 フーリエ級数

周期 2π2\pi の関数 ff のフーリエ級数を

f(x)∼a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\big(a_n\cos nx+b_n\sin nx\big)

とし、係数（フーリエ係数）を

an=1π∫−ππf(x)cos⁡nx dx,bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nx dxa_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\qquad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx

で定める。（複素形では f(x)∼∑n=−∞∞cneinxf(x)\sim\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}、cn=12π∫−ππf(x)e−inxdxc_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}dx。） 記号 ∼\sim は「これがフーリエ級数」の意味で、収束は第2〜4章で議論する。

問題は「なぜ係数がこの積分なのか」。天下りに見えますが、実は必然です。鍵は、波たちが互いに直交して いることにあります。

直交性——係数が積分で取り出せる理由

cos⁡nx,sin⁡nx\cos nx,\sin nx たちを、関数解析で見た「無限次元空間の直交する軸」とみなします。 内積を ⟨f,g⟩=∫−ππf(x)g(x) dx\langle f,g\rangle=\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\,dx と定めると、次が成り立ちます。

定理 三角関数系の直交性

m,n≥1m,n\ge1 に対し

∫−ππcos⁡mxcos⁡nx dx=πδmn,∫−ππsin⁡mxsin⁡nx dx=πδmn,∫−ππcos⁡mxsin⁡nx dx=0.\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nx\,dx=\pi\delta_{mn},\quad \int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\,dx=\pi\delta_{mn},\quad \int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\sin nx\,dx=0.

すなわち {1,cos⁡x,sin⁡x,cos⁡2x,sin⁡2x,… }\{1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,\dots\} は互いに直交する。

証明

積和の公式 cos⁡mxcos⁡nx=12[cos⁡(m−n)x+cos⁡(m+n)x]\cos mx\cos nx=\tfrac12[\cos(m-n)x+\cos(m+n)x] を使う。m≠nm\ne n なら cos⁡(m±n)x\cos(m\pm n)x の [−π,π][-\pi,\pi] 上の積分は 00（整数回振動して打ち消す）。m=nm=n なら第一項が cos⁡0=1\cos0=1 で積分 π\pi。 sin⁡\sin も同様、cos⁡×sin⁡\cos\times\sin は奇関数で 00。∎

直交性さえ分かれば、係数の公式は必然です。f=a02+∑(akcos⁡kx+bksin⁡kx)f=\frac{a_0}2+\sum(a_k\cos kx+b_k\sin kx) の両辺に cos⁡nx\cos nx を 掛けて積分すると、直交性より右辺は ana_n の項だけが生き残る（他は 00）：

∫−ππfcos⁡nx dx=an∫−ππcos⁡2nx dx=anπ.\int_{-\pi}^\pi f\cos nx\,dx=a_n\int_{-\pi}^\pi\cos^2 nx\,dx=a_n\pi.

だから an=1π∫fcos⁡nx dxa_n=\frac1\pi\int f\cos nx\,dx。「nn 番目の軸との内積を取れば、nn 番目の成分が取り出せる」—— まさに関数解析のフーリエ係数 ⟨x,ek⟩\langle x,e_k\rangle そのもの。フーリエ級数は、 三角関数という正規直交系への**成分分解（射影）**だったのです。

注意 正規化すると正規直交基底

12π, cos⁡nxπ, sin⁡nxπ\frac1{\sqrt{2\pi}},\ \frac{\cos nx}{\sqrt\pi},\ \frac{\sin nx}{\sqrt\pi} とノルムを 11 に揃えると、これらは L2[−π,π]L^2[-\pi,\pi] の正規直交基底（関数解析第5章）。フーリエ級数論は、この基底での 展開の収束・近似を精密に調べる分野、と位置づけられる。抽象論（関数解析）を具体的な三角関数系で肉付けするのが フーリエ解析。

対称性で計算を減らす

実際の計算では、関数の偶奇を使うと係数の半分が消えて楽になります。

定理 偶関数・奇関数のフーリエ級数

  • ff が偶関数（f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)）なら bn=0b_n=0：コサインだけの級数。
  • ff が奇関数（f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)）なら an=0a_n=0：サインだけの級数。

例 矩形波（奇関数）の分解

f(x)={1(0<x<π)−1(−π<x<0)f(x)=\begin{cases}1&(0<x<\pi)\\-1&(-\pi<x<0)\end{cases}（奇関数）。an=0a_n=0、 bn=1π∫−ππfsin⁡nx dx=2π∫0πsin⁡nx dx=2π⋅1−cos⁡nπnb_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f\sin nx\,dx=\frac2\pi\int_0^\pi\sin nx\,dx=\frac2\pi\cdot\frac{1-\cos n\pi}{n}。 nn 偶で 00、nn 奇で 4nπ\frac4{n\pi}。よって

f(x)∼4π(sin⁡x+sin⁡3x3+sin⁡5x5+⋯).f(x)\sim\frac4\pi\Big(\sin x+\frac{\sin3x}3+\frac{\sin5x}5+\cdots\Big).

奇数次のサイン波だけで角ばった矩形波ができる。係数が 1/n1/n でゆっくり減る（角があるから）——この減り方の 遅さが、次章以降の収束の難しさ・ギブス現象につながる。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 係数の公式は天下りでない。 直交性から「nn 番目の軸との内積＝nn 番目の成分」として必然的に出る。丸暗記 ではなく射影として理解する。
  • ∼\sim は「＝」ではない（まだ）。 フーリエ級数を作っただけで、それが ff に収束するかは別問題（第2〜4章）。 記号 ∼\sim はその慎重さの表れ。
  • 係数の減り方が関数の滑らかさを映す。 角のある関数（矩形波）は 1/n1/n、折れのある関数は 1/n21/n^2、滑らかな 関数はもっと速く減る。「滑らかさ ⟷ 高振動数成分の小ささ」は本分野の通奏低音。
  • 周期は 2π2\pi とは限らない。 周期 2L2L なら cos⁡nπxL\cos\frac{n\pi x}L 等に置き換える。本質は同じ（スケール変更）。

この章のまとめ

  • フーリエ級数：周期関数を cos⁡nx,sin⁡nx\cos nx,\sin nx の重ね合わせに分解。係数 an,bna_n,b_n は積分で与えられる。
  • 公式の根拠は三角関数系の直交性。「nn 番目の軸との内積で nn 番目の成分を取り出す」＝関数解析の正規直交系への射影。正規化すれば L2L^2 の正規直交基底。
  • 偶奇でコサイン/サインだけになる。矩形波は奇数次サインの和で、係数 1/n1/n の遅い減衰（角のせい）。
  • 級数を作れたが、それが ff に収束するかは別問題。次章で各点収束（ディリクレの定理）と、その微妙さを調べます。

次章では、フーリエ部分和が各点で ff に収束するかを、ディリクレ核を通して精密に調べます。