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第12章 スペクトル理論

「対角化」を無限次元でやり直す

線形代数の総仕上げは、行列の対角化——固有値と固有ベクトルで空間を分解することでした。 対称行列は正規直交な固有ベクトルで完全に対角化できた。関数解析の総仕上げも同じです。無限次元の作用素を 「対角化」して、その構造を丸裸にする。これがスペクトル理論で、量子力学の数学的基礎そのものです。

ところが無限次元では、固有値だけでは足りません。可逆性が崩れる原因が、固有値以外にもあるのです。まず 「スペクトル」を、固有値より広い概念として定義し直します。

定義 レゾルベントとスペクトル

バナッハ空間上の有界作用素 TT に対し、T−λIT-\lambda I が可逆（有界逆をもつ）となる λ∈C\lambda\in\mathbb C の全体を レゾルベント集合、その補集合をスペクトル σ(T)\sigma(T) という。σ(T)\sigma(T) は次に分かれる：

  • 点スペクトル：T−λIT-\lambda I が単射でない（λ\lambda は固有値、固有ベクトルあり）。
  • 連続・剰余スペクトル：単射だが全射でない等——固有ベクトルなしにスペクトルに入る。

有限次元では「T−λIT-\lambda I 非可逆   ⟺  \iff λ\lambda が固有値」でした（単射⇔全射だから）。無限次元ではこの同値が 崩れます。固有値でないのにスペクトルに属する λ\lambda がある——これが無限次元の新しさです。

例 固有値をもたないスペクトル

L2[0,1]L^2[0,1] 上の掛け算作用素 (Mf)(x)=xf(x)(Mf)(x)=xf(x)。M−λIM-\lambda I は (x−λ)f(x)(x-\lambda)f(x) で、λ∈[0,1]\lambda\in[0,1] なら 単射（xf=λfxf=\lambda f a.e. なら f=0f=0）だが 1x−λ\frac1{x-\lambda} が非有界で逆が有界にならない。ゆえに σ(M)=[0,1]\sigma(M)=[0,1] だが固有値は一つもない（連続スペクトル）。「対角成分が連続的に詰まっている」イメージ。 有限次元にはない現象。

スペクトルは固有値より広い。無限次元では固有ベクトルなしにスペクトルへ入る λ\lambda がある。スペクトル＝一般化された固有値。

スペクトルの基本性質

スペクトルは、ノイマン級数（第3章）のおかげで良い性質をもちます。

定理 スペクトルの性質

有界作用素 TT に対し、σ(T)\sigma(T) は空でないコンパクト集合で、{λ:∣λ∣≤∥T∥}\{\lambda:|\lambda|\le\|T\|\} に含まれる。 TT が自己共役なら σ(T)⊆R\sigma(T)\subseteq\mathbb R（スペクトルは実）。

証明

∣λ∣>∥T∥|\lambda|>\|T\| なら T−λI=−λ(I−Tλ)T-\lambda I=-\lambda(I-\tfrac{T}\lambda) で ∥Tλ∥<1\|\tfrac{T}\lambda\|<1、ノイマン級数 （第3章）より可逆。ゆえに σ(T)⊆{∣λ∣≤∥T∥}\sigma(T)\subseteq\{|\lambda|\le\|T\|\}（有界）。 レゾルベント集合が開（可逆作用素の全体が開）なので σ(T)\sigma(T) は閉、よってコンパクト。自己共役の実性は、 λ=a+bi\lambda=a+bi（b≠0b\ne0）で ∥(T−λI)x∥2=∥(T−aI)x∥2+b2∥x∥2≥b2∥x∥2\|(T-\lambda I)x\|^2=\|(T-aI)x\|^2+b^2\|x\|^2\ge b^2\|x\|^2 より下から評価でき、 T−λIT-\lambda I が可逆になることから。∎

「自己共役 ⇒ スペクトルが実」は、線形代数の「実対称行列の固有値は実」の無限次元版。 量子力学で観測量を自己共役作用素で表すのは、観測値（＝スペクトル）が実数であってほしいからです。

コンパクト自己共役作用素のスペクトル分解

いよいよ総仕上げ。コンパクトかつ自己共役な作用素は、有限次元の対称行列とそっくりに対角化できます。 前章のコンパクト性（有限次元性の注入）と、自己共役性（実固有値・直交固有ベクトル）が合わさった、最も美しい 定理です。

定理 スペクトル分解定理（コンパクト自己共役）

KK をヒルベルト空間 HH 上のコンパクト自己共役作用素とする。すると

  1. KK の固有値 {λn}\{\lambda_n\} はすべて実で、00 にのみ集積する（00 以外の固有値は有限重複度・可算個）。
  2. 対応する固有ベクトルからなる正規直交系 {en}\{e_n\} がとれ、任意の xx で
Kx=∑nλn⟨x,en⟩ en.Kx=\sum_n \lambda_n\langle x,e_n\rangle\,e_n.
  1. {en}\{e_n\} は ran⁡K‾\overline{\operatorname{ran}K} の正規直交基底（(ker⁡K)⊥(\ker K)^\perp を張る）。

証明

要点のみ：自己共役性から ∥K∥\|K\| または −∥K∥-\|K\| が固有値になる（∥K∥=sup⁡∥x∥=1∣⟨Kx,x⟩∣\|K\|=\sup_{\|x\|=1}|\langle Kx,x\rangle| が 達成され、その最大化ベクトルが固有ベクトル——コンパクト性で最大化列から収束部分列がとれるのが鍵）。その固有 ベクトルの直交補空間へ KK を制限し、同じ操作を繰り返す（各段で最大の固有値を取り出す）。得られる固有値は 単調減少で、コンパクト性より 00 へ収束。固有ベクトルは（異なる固有値なら自動的に、同じ固有値なら選んで） 正規直交。残りが ker⁡K\ker K。∎

これは有限次元のスペクトル定理（実対称行列 == 直交行列で対角化）の、完璧な無限次元版です。KK の作用は 「各固有方向 ene_n に固有値 λn\lambda_n を掛ける」だけ——無限次元の対角行列。第5章のフーリエ展開 （正規直交基底への分解）が、ここで作用素の対角化として結実します。積分作用素のスペクトル分解は、 偏微分方程式（熱・波動方程式の固有関数展開、微分方程式）そのものです。

注意 量子力学への橋

量子力学では、状態は L2L^2 の単位ベクトル、観測量は自己共役作用素。観測で得られる値はそのスペクトル（実数）、 観測後の状態は対応する固有ベクトルへ“射影”される（第4章の直交射影）。エネルギー準位が離散的なのは、 ハミルトニアン（の一部）がコンパクト作用素的にふるまい、スペクトルが離散点になるから。関数解析は 量子力学の言語であり、この章の定理群がその文法。抽象的に積み上げた理論が、物理の根幹を記述する。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • スペクトル ≠ 固有値の集合（無限次元）。 固有ベクトルなしにスペクトルに入る λ\lambda がある（連続スペクトル、 掛け算作用素）。「T−λIT-\lambda I が可逆でない」が定義。
  • スペクトル分解の綺麗な形はコンパクト自己共役に限る。 一般の自己共役（非コンパクト）では、和でなく 積分（スペクトル測度）による分解になる（掛け算作用素の連続スペクトル）。
  • 固有値は 00 に集積する。 コンパクト作用素の非零固有値は可算で 00 にしか溜まれない。00 自身はスペクトルに 入る（無限次元で KK は可逆でない）が固有値とは限らない。
  • 自己共役性がスペクトルを実にする。 量子力学で観測量が自己共役なのは観測値が実数だから。数学的必然。

この章のまとめ

  • スペクトル σ(T)\sigma(T)＝T−λIT-\lambda I が可逆でない λ\lambda。無限次元では固有値より広く、固有ベクトルなしのスペクトル（連続スペクトル、掛け算作用素の [0,1][0,1]）がある。σ(T)\sigma(T) は空でないコンパクト集合、自己共役なら実。
  • スペクトル分解定理：コンパクト自己共役作用素は Kx=∑λn⟨x,en⟩enKx=\sum\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n と対角化でき、固有ベクトルが正規直交基底をなす。有限次元の対称行列の対角化の完璧な無限次元版。フーリエ展開・PDE の固有関数展開の源。
  • 量子力学の言語：状態＝単位ベクトル、観測量＝自己共役作用素、観測値＝スペクトル、観測＝直交射影。
  • 関数解析（全12章）はこれで完結。無限次元の線形代数として、ノルム・完備性・内積・双対・三大定理・作用素論を積み上げ、スペクトル分解で総仕上げしました。
  • 次は 測度論（土台）・フーリエ解析（正規直交基底の応用）・偏微分方程式（発展）（作用素論の応用）へ進むと、この理論が実際に働く姿が見えます。

お疲れさまでした。関数を「点」とみなす旅は、無限次元の対角化と量子力学の扉まで辿り着きました。