⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第2章 各点収束とディリクレ核

級数は本当に元に戻るのか

前章で、周期関数 ff からフーリエ級数を作りました。でも記号は ∼\sim のまま——「ff の級数」を書いただけで、 それを足し合わせたら本当に ff に戻るのかは、まだ確かめていません。有限項の部分和

SNf(x)=a02+∑n=1N(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)S_N f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^N\big(a_n\cos nx+b_n\sin nx\big)

は N→∞N\to\infty で f(x)f(x) に収束するのか。実はこれ、フーリエ解析の歴史を揺るがした難問でした。答えは 「良い条件下では収束するが、意外なほど脆い」。まずは部分和を扱いやすい形——ある核との畳み込み——に 書き直すのが突破口です。

部分和 SNfS_Nf は ff とディリクレ核 DND_N の畳み込み。収束の問題が核の性質の問題に翻訳される。

部分和 ＝ ディリクレ核との畳み込み

フーリエ係数の積分を部分和に代入し、和を先に計算します。すると ff に一つの核を掛けて積分した形になります。

定理 ディリクレ核による表示

SNf(x)=12π∫−ππf(x−t) DN(t) dt,DN(t)=∑n=−NNeint=sin⁡((N+12)t)sin⁡(t/2).S_N f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)\,D_N(t)\,dt,\qquad D_N(t)=\sum_{n=-N}^{N}e^{int}=\frac{\sin\big((N+\tfrac12)t\big)}{\sin(t/2)}.

DND_N をディリクレ核という。12π∫−ππDN=1\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi D_N=1。

証明

複素形 cn=12π∫f(s)e−insdsc_n=\frac1{2\pi}\int f(s)e^{-ins}ds を SNf(x)=∑n=−NNcneinxS_Nf(x)=\sum_{n=-N}^N c_n e^{inx} に代入し、和と積分を交換： SNf(x)=12π∫f(s)∑n=−NNein(x−s)dsS_Nf(x)=\frac1{2\pi}\int f(s)\sum_{n=-N}^N e^{in(x-s)}ds。t=x−st=x-s と置換すると核 ∑eint=DN(t)\sum e^{int}=D_N(t)。 等比級数の和 ∑n=−NNeint=sin⁡((N+12)t)sin⁡(t/2)\sum_{n=-N}^N e^{int}=\frac{\sin((N+\frac12)t)}{\sin(t/2)}。定数関数 f=1f=1 で SN=1S_N=1 より 12π∫DN=1\frac1{2\pi}\int D_N=1。∎

これで収束問題が核 DND_N の性質の問題になりました。DND_N は t=0t=0 に鋭いピーク（高さ 2N+12N+1）をもち、 12π∫DN=1\frac1{2\pi}\int D_N=1。もし DND_N が「t=0t=0 に質量が集まる素直な山」なら、SNf(x)=12π∫f(x−t)DN(t)dtS_Nf(x)=\frac1{2\pi}\int f(x-t)D_N(t)dt は f(x)f(x) の近くの値の平均として f(x)f(x) に収束するはず——ところが、ここに落とし穴があります。

注意 ディリクレ核の“悪さ”（第3章の伏線）

DND_N は t=0t=0 で高いピークをもつが、正負に激しく振動し、負の値も大きく取る。そのため 12π∫∣DN∣ dt\frac1{2\pi}\int|D_N|\,dt（レベーグ定数）が 4π2log⁡N\frac4{\pi^2}\log N の速さで発散する。「山の絶対量」が無限に 膨らむので、平均化がうまく効かない。この悪さが、収束を微妙にし、ギブス現象（第4章）を生む。DND_N を 「素直な山」に直す方法が次章のフェイエール核。今はこの脆さを覚えておく。

ディリクレの収束定理

核の悪さにもかかわらず、ff が十分よければ各点収束します。局所的な滑らかさ（片側微分など）があれば OK、 というのがディリクレ–ジョルダンの定理です。

定理 ディリクレの各点収束定理

ff が周期 2π2\pi で区分的に C1C^1（区分的に滑らか）とする。すると各点 xx で

SNf(x) →N→∞ f(x+)+f(x−)2S_N f(x)\ \xrightarrow{N\to\infty}\ \frac{f(x^+)+f(x^-)}2

（左右極限の平均）。とくに ff が xx で連続なら SNf(x)→f(x)S_Nf(x)\to f(x)。跳びのある点では跳びの中点に収束する。

証明

核表示と 12π∫DN=1\frac1{2\pi}\int D_N=1 から、SNf(x)−f(x+)+f(x−)2S_Nf(x)-\frac{f(x^+)+f(x^-)}2 を核との積分で書くと、

SNf(x)−f(x+)+f(x−)2=12π∫−ππ[f(x−t)−（左右の値）]sin⁡((N+12)t)sin⁡(t/2)dt.S_Nf(x)-\tfrac{f(x^+)+f(x^-)}2=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\big[f(x-t)-\text{（左右の値）}\big]\frac{\sin((N+\frac12)t)}{\sin(t/2)}dt.

被積分関数のうち f(x−t)−f(x∓)sin⁡(t/2)\frac{f(x-t)-f(x^\mp)}{\sin(t/2)} は、ff の片側 C1C^1 性より t→0t\to0 で有界（可積分）。よって これは可積分関数に sin⁡((N+12)t)\sin((N+\frac12)t) を掛けた積分で、リーマン–ルベーグの補題（次章・第5章： 可積分関数に高振動数の sin⁡\sin を掛けて積分すると 00 に収束）より N→∞N\to\infty で 00。∎

証明の心臓はリーマン–ルベーグの補題——「速く振動する波を可積分関数に掛けて積分すると打ち消し合って 00」。 高振動数成分は、滑らかな相手には効かない。この補題はフーリエ解析全体の要で、第5章で改めて主役になります。

収束の“脆さ”——予告

「区分的に滑らか」でさえあれば各点収束する、と聞くと安心ですが、条件をぎりぎりまで緩めると事情は一変します。

注意 連続でも発散しうる（デュ・ボア＝レーモン）

連続なだけの関数では、フーリエ級数が一点で発散することがある（デュ・ボア＝レーモンの例）。原因は ディリクレ核のレベーグ定数 ∼log⁡N\sim\log N の発散——関数解析の一様有界性原理の“共鳴”として、 発散する連続関数の存在が証明できる。「連続なら級数が戻る」は偽。フーリエ級数の各点収束は、想像以上に繊細。 （なお L2L^2 関数のフーリエ級数はほとんど至る所収束する——カールソンの深い定理。各点収束の話は一筋縄でいかない。）

だからこそ、各点収束にこだわらず収束の意味を変える戦略が要ります。次章の「平均をとる（総和法）」と、 第4章の「L2L^2 で測る」。どちらも、ディリクレ核の悪さを回避する道です。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 部分和は「局所」でなく「大域」の情報を使う。 SNf(x)S_Nf(x) は ff 全体の積分（核との畳み込み）で決まる。一点の 値が関数全体に依存するのがフーリエの特徴。
  • 跳びの点では中点に収束。 不連続点で SNfS_Nf は f(x±)f(x^\pm) の平均へ。どちらか一方の値には収束しない。
  • 連続だけでは各点収束は保証されない。 「区分的に C1C^1」など局所的な滑らかさが要る。連続のみでは発散例あり。
  • ディリクレ核は負に潜り、L¹ノルムが発散する。 これが収束の脆さとギブス現象の根源。次章で核を“直す”。

この章のまとめ

  • 部分和はディリクレ核との畳み込み SNf=12π∫f(x−t)DN(t)dtS_Nf=\frac1{2\pi}\int f(x-t)D_N(t)dt。収束問題が核の性質の問題になる。
  • ディリクレの定理：区分的に C1C^1 なら各点で SNf(x)→f(x+)+f(x−)2S_Nf(x)\to\frac{f(x^+)+f(x^-)}2（跳びは中点）。証明の核心はリーマン–ルベーグの補題。
  • だが DND_N は負に潜りL¹ノルムが log⁡N\log N で発散するため収束は脆く、連続だけでは発散しうる。
  • この脆さを回避する二つの道：総和法（次章、核を直す）と L2L^2 収束（第4章）。次章はフェイエールの定理へ。

次章では、部分和の平均（チェザロ総和）をとると、非負のフェイエール核が現れて収束が救われることを見ます。