第5章正規直交系とフーリエ展開

無限次元の「座標軸」

有限次元では、正規直交基底 $\{e_1,\dots,e_n\}$ を使ってベクトルを $x=\sum\langle x,e_k\rangle e_k$ と展開しました。係数 $\langle x,e_k\rangle$ が「各軸方向の成分」。この座標の考え方を、無限次元へ持ち込みます。無限個の互いに直交する単位ベクトルを軸に選び、関数をその成分に分解する——それがフーリエ展開の正体です。

定義正規直交系

ヒルベルト空間 $H$ のベクトル族 $\{e_k\}$ が

\langle e_j,e_k\rangle=\delta_{jk}\quad(j=k\text{ で }1,\ j\ne k\text{ で }0)

をみたすとき正規直交系（ONS）という。 $\langle x,e_k\rangle$ を $x$ のフーリエ係数という。

代表例が、 $L^2[-\pi,\pi]$ の三角関数系 $\{\frac1{\sqrt{2\pi}},\ \frac{\cos nx}{\sqrt\pi},\ \frac{\sin nx}{\sqrt\pi}\}$ 。これらは互いに直交し（ $\int\sin nx\cos mx=0$ など）、この系での成分がまさに古典的なフーリエ級数の係数です。

フーリエ展開＝無限個の直交軸（正規直交系）への分解。係数 $\langle x,e_k\rangle$ が各軸方向の成分。

部分和は直交射影＝最良近似

前章の射影定理が、ここで威力を発揮します。最初の $N$ 個の軸 $\{e_1,\dots,e_N\}$ が張る部分空間への直交射影は、フーリエ係数を使った有限和で書け、それがその部分空間での最良近似になります。

定理部分和＝射影

正規直交系 $\{e_k\}$ の最初の $N$ 個が張る部分空間 $M_N$ への直交射影は

P_{M_N}x=\sum_{k=1}^N\langle x,e_k\rangle\,e_k.

これは $M_N$ の中で $x$ に最も近い点（最良近似）で、誤差 $x-P_{M_N}x$ は各 $e_k$ に直交する。

証明

$s=\sum_{k=1}^N\langle x,e_k\rangle e_k$ とおくと、各 $j\le N$ で $\langle x-s,e_j\rangle=\langle x,e_j\rangle-\sum_k\langle x,e_k\rangle\langle e_k,e_j\rangle=\langle x,e_j\rangle-\langle x,e_j\rangle=0$ 。よって $x-s\perp M_N$ 。前章の射影定理の特徴づけ（誤差が直交）より $s=P_{M_N}x$ が最良近似。∎

つまり「フーリエ係数で作った部分和が、その項数で表せる最良の近似」。これを体感しましょう。

関数項数 N ＝ 3

項数 $N$ を増やすと、部分和 $S_N$ （朱）がターゲット関数（灰）に迫ります。 $S_N$ は「最初の $N$ 次元部分空間への射影＝最良近似」。エネルギー捕捉率（下の $\%$ ）は、 $N$ 項でどれだけ関数の“エネルギー” $\|x\|^2$ を拾えたか ——これが次のベッセル・パーセバルの主役です。不連続な波（矩形・のこぎり）では、飛びの近くで振動が消えない ギブス現象も見えます（項を増やしても $9\%$ ほど行き過ぎ、幅が狭まるだけ）。

ベッセルの不等式とパーセバルの等式

射影は誤差を生むので、係数の二乗和は $\|x\|^2$ を超えられない——これがベッセルの不等式。等号が成り立つ（誤差が消える）とき、正規直交系は空間全体を張り切っている（完全）といいます。

定理ベッセルの不等式

正規直交系 $\{e_k\}$ と任意の $x\in H$ に対し

\sum_{k}|\langle x,e_k\rangle|^2\le\|x\|^2.

とくにフーリエ係数の二乗和は収束する（係数は $0$ に近づく）。

証明

$s_N=\sum_{k=1}^N\langle x,e_k\rangle e_k$ は射影。ピタゴラス $\|x\|^2=\|s_N\|^2+\|x-s_N\|^2\ge\|s_N\|^2$ 。正規直交性より $\|s_N\|^2=\sum_{k=1}^N|\langle x,e_k\rangle|^2$ 。 $N\to\infty$ で結論。∎

前章の射影デモで見た $\|v\|^2=\|p\|^2+\|e\|^2$ （ピタゴラス）が、そのまま働いています。等号が全ての $x$ で成り立つときが特別です。

定義完全正規直交系（基底）とパーセバル

正規直交系 $\{e_k\}$ が完全（ $\{e_k\}$ に直交するのは $0$ のみ）であるとき、これを正規直交基底という。このとき任意の $x$ で

x=\sum_k\langle x,e_k\rangle e_k\quad(\text{収束は }\|\cdot\|),\qquad \|x\|^2=\sum_k|\langle x,e_k\rangle|^2\ (\text{<Term>パーセバルの等式</Term>}).

定理完全性の同値条件

正規直交系 $\{e_k\}$ について次は同値：(1) 完全（基底）、(2) 展開 $x=\sum\langle x,e_k\rangle e_k$ が全 $x$ で成立、 (3) パーセバルの等式が全 $x$ で成立、(4) $\{e_k\}$ の張る空間が $H$ で稠密。

パーセバルの等式は「エネルギー保存」——関数の大きさ $\|x\|^2$ が、各成分のエネルギー $|\langle x,e_k\rangle|^2$ の総和に等しい。フーリエ変換が信号のエネルギーを保つ、という物理的にも重要な事実です。デモの「捕捉率 $\to100\%$ 」は、三角関数系が $L^2$ の完全な正規直交基底であることの現れ。関数を波に分解して、余さず再構成できる。

注意収束は L² の意味——各点収束とは限らない

基底展開 $x=\sum\langle x,e_k\rangle e_k$ の収束は**ノルム（ $L^2$ ）**の意味。各点で $S_N(x_0)\to x(x_0)$ とは限らない（ギブス現象がその現れ：不連続点で各点収束が乱れる）。「 $L^2$ で収束」と「各点で収束」は別物（測度論の収束の諸相の回収）。関数解析が扱うのは主に前者。

つまずきポイント

注意よくある誤解

フーリエ級数は射影＝最良近似。 「なぜあの係数なのか」＝誤差を直交させる（部分空間への射影）から。天下りの公式ではなく、幾何の必然。
正規直交系 ≠ 基底。 直交・単位なだけでは足りない。完全（張る空間が稠密）で初めて基底＝全関数を展開できる。ベッセルは不等式、パーセバルは（完全なら）等式。
収束は $L^2$ の意味。 各点収束・一様収束とは違う。ギブス現象は各点収束の乱れで、 $L^2$ 収束とは両立する。
ヒルベルト空間の基底は「線形代数の基底」と違う。 有限線形結合でなく無限級数で表す（位相的な基底）。ハメル基底（代数的基底）とは別概念。

この章のまとめ

正規直交系は無限次元の「直交座標軸」、フーリエ係数 $\langle x,e_k\rangle$ が成分。三角関数系が $L^2$ の代表。
部分和 $\sum_{k\le N}\langle x,e_k\rangle e_k$ は $N$ 次元部分空間への直交射影＝最良近似（前章の応用）。
ベッセルの不等式 $\sum|\langle x,e_k\rangle|^2\le\|x\|^2$ （ピタゴラスから）。完全な系（正規直交基底）では等号＝パーセバルの等式（エネルギー保存）が成り立ち、 $x=\sum\langle x,e_k\rangle e_k$ と展開できる。収束は $L^2$ の意味。
次章では、直交射影のもう一つの果実——ヒルベルト空間の双対を完全に決めるリースの表現定理と、随伴作用素を扱います。

次章では、直交射影を使って「有界線形汎関数はすべて内積で書ける」（リースの表現定理）を証明し、随伴作用素・自己共役作用素を導入します。

第5章 正規直交系とフーリエ展開