⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第10章 超関数への道 — デルタ関数とシュワルツ空間

デルタ関数という困りもの

物理では「一点 x=0x=0 に集中した単位質量（電荷・撃力）」を表すのに、こんな“関数”を使います—— x=0x=0 以外では 00、x=0x=0 で無限大、しかし積分すると 11：

δ(x)=0 (x≠0),∫−∞∞δ(x) dx=1.\delta(x)=0\ (x\ne0),\qquad \int_{-\infty}^\infty\delta(x)\,dx=1.

これがディラックのデルタ関数。ところが数学的には、こんな関数は存在しません。一点以外 00 の関数は （ルベーグ積分で）積分 00 のはず（測度論：一点は測度 00）。無限大の値と積分 11 は両立 しない。便利なのに、正体不明。この矛盾をどう解消するか——それが超関数の理論です。

第6章で、近似単位元 φε\varphi_\varepsilon（縮めて背を高くした山）が ε→0\varepsilon\to0 でデルタ的にふるまうのを見ました。 デルタは「近似単位元の極限」——でも極限は普通の関数にならない。発想の転換が要ります。

デルタ関数は普通の関数でない。「値の割り当て」でなく「試験関数に作用させる汎関数」として捉え直す。

発想の転換——「作用させる」もの

鍵は、デルタを単体で見るのをやめ、他の関数に作用させた結果で捉えることです。デルタの唯一の意味ある 性質は「積分すると、掛けた関数の x=0x=0 での値を取り出す」：

∫−∞∞δ(x) φ(x) dx=φ(0).\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\,\varphi(x)\,dx=\varphi(0).

そこで発想を逆転します。「φ\varphi を入れると φ(0)\varphi(0) を返す作用（汎関数）」こそがデルタの正体だと 定義するのです。デルタは「値をもつ関数」ではなく「関数を食べて数を返す機械」。この視点なら矛盾は消えます。

同じ見方は普通の関数にも使えます。関数 ff を、「φ\varphi を入れると ∫fφ\int f\varphi を返す汎関数」とみなす。 すると普通の関数もデルタも、**同じ土俵（汎関数）**の上に乗る。これが超関数の統一的な発想です。

試験関数とシュワルツ空間

作用させる相手 φ\varphi（試験関数）を、うんと性質のよい関数に選ぶのがコツです。相手が良ければ、 乱暴な対象（デルタや微分できない関数）でも安全に作用させられる。フーリエ変換と相性のよい選択が、シュワルツ空間です。

定義 シュワルツ空間

C∞C^\infty 級で、自分も導関数もすべて多項式より速く減衰する関数

S(R)={φ∈C∞: sup⁡x∣xαφ(β)(x)∣<∞ (∀α,β≥0)}\mathcal S(\mathbb R)=\Big\{\varphi\in C^\infty:\ \sup_x|x^\alpha\varphi^{(\beta)}(x)|<\infty\ (\forall\alpha,\beta\ge0)\Big\}

をシュワルツ空間、その元を急減少関数という。ガウス e−x2e^{-x^2} が典型。

シュワルツ空間の絶妙さは、フーリエ変換で閉じていること——φ∈S\varphi\in\mathcal S なら φ^∈S\hat\varphi\in\mathcal S。 微分↔掛け算（第5章）で「滑らかさ」と「速い減衰」が入れ替わり、両方を備えたシュワルツ空間は変換で自分自身に 写る。だから、この空間を試験関数に選ぶと、超関数のフーリエ変換（次章）が自然に定義できます。

定理 シュワルツ空間はフーリエ変換で不変

φ∈S(R)⇒φ^∈S(R)\varphi\in\mathcal S(\mathbb R)\Rightarrow\hat\varphi\in\mathcal S(\mathbb R)。フーリエ変換は S\mathcal S 上の全単射。

緩増加超関数

いよいよ超関数を定義します。「シュワルツ試験関数を入れると数を返す、連続な線形汎関数」——それが超関数です。

定義 緩増加超関数

シュワルツ空間 S\mathcal S 上の連続な線形汎関数 T:S→CT:\mathcal S\to\mathbb C を緩増加超関数という。 TT が φ\varphi に作用した値を ⟨T,φ⟩\langle T,\varphi\rangle と書く。全体を S′\mathcal S' と記す。

例 超関数の例

  • 普通の関数 ff（緩やかに増える）：⟨Tf,φ⟩=∫fφ\langle T_f,\varphi\rangle=\int f\varphi。関数は超関数の特別な場合。
  • デルタ δ\delta：⟨δ,φ⟩=φ(0)\langle\delta,\varphi\rangle=\varphi(0)。点 aa なら ⟨δa,φ⟩=φ(a)\langle\delta_a,\varphi\rangle=\varphi(a)。
  • デルタの微分 δ′\delta'：⟨δ′,φ⟩=−φ′(0)\langle\delta',\varphi\rangle=-\varphi'(0)（次章で微分を定義すると出る）。
  • 主値 p.v.1x\mathrm{p.v.}\frac1x：⟨⋅,φ⟩=lim⁡ε→0∫∣x∣>εφ(x)xdx\langle\cdot,\varphi\rangle=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{|x|>\varepsilon}\frac{\varphi(x)}x dx。

普通の関数もデルタも、その微分も、みな S′\mathcal S' の住人。関数を汎関数へ格上げすることで、「関数でない もの」が正式な数学の対象になりました。しかも次章で見るように、超関数は無限回微分でき、フーリエ変換 できる——普通の関数より扱いやすいことさえあります。

注意 なぜ“緩増加”か

S\mathcal S の試験関数は急減少（速く 00 になる）なので、相手の超関数は多項式程度に緩く増えても ∫fφ\int f\varphi が 収束する。だから多項式・eixξe^{ix\xi} なども超関数になり、フーリエ変換できる（次章）。試験関数を急減少に絞った 見返りに、超関数側は“緩増加”まで許せる——この役割分担が、フーリエ変換を全域化する鍵。より小さい試験関数 空間 Cc∞C_c^\infty（コンパクト台）を使う一般の超関数論もあるが、フーリエ解析にはシュワルツ空間が最適。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • デルタは関数でない。 「x=0x=0 で無限大」の関数は存在しない。デルタは汎関数（φ↦φ(0)\varphi\mapsto\varphi(0)）。 値を問うのでなく、作用させて意味をもつ。
  • 超関数は試験関数を通してのみ意味をもつ。 単体の「値」はない。⟨T,φ⟩\langle T,\varphi\rangle という作用が全て。 だから「デルタの x=0x=0 での値」は無意味。
  • シュワルツ空間は滑らか＋急減少の両方。 片方では足りない。両方あってフーリエ変換で閉じ、超関数論の土台に なる。
  • 普通の関数も超関数。 超関数は関数の拡張。関数 ⊊\subsetneq 超関数。デルタは関数でない超関数の代表。

この章のまとめ

  • デルタ関数は普通の関数でない（一点集中は測度論と矛盾）。解決は発想の転換——「値の割り当て」でなく「試験関数 φ\varphi を入れて φ(0)\varphi(0) を返す汎関数」とみなす。
  • 試験関数はシュワルツ空間 S\mathcal S（C∞C^\infty かつ急減少）に選ぶ。フーリエ変換で閉じる絶妙な空間。
  • 緩増加超関数 S′\mathcal S'＝S\mathcal S 上の連続線形汎関数。普通の関数・デルタ・その微分・主値がすべて住人。関数を汎関数へ格上げして、「関数でないもの」を正式な対象にした。
  • 次章では、超関数を微分し・フーリエ変換する演算を定義し、デルタの変換など、普通の関数では不可能なことを可能にします。

次章では、超関数の微分とフーリエ変換を「試験関数へ操作を移す」ことで定義し、デルタや定数のフーリエ変換を計算します。