第4章ルベーグ測度と非可測集合

ようやく「長さ」が完成する

前章のカラテオドリの機械に、ルベーグ外測度 $\mu^*$ （区間で覆う最小コスト）を入れました。出てきたのは、可測集合のσ-加法族 $\mathcal{M}$ と、その上の完備な測度 $\mu=\mu^*|_{\mathcal{M}}$ です。これを $\mathbb{R}^n$ 上のルベーグ測度、 $\mathcal{M}$ の元をルベーグ可測集合と呼びます。

まず確かめたいのは「本当に区間の長さを再現するか」。前章の外測度の性質 (4) で $\mu^*([a,b])=b-a$ でした。区間はカラテオドリ条件をみたす（可測）ことも確かめられるので、 $\mu([a,b])=b-a$ 。私たちが最初に望んだ性質が、ようやく厳密な測度として実現しました。しかもボレル集合は全部ルベーグ可測です（開区間が可測で、 $\mathcal{M}$ が σ-加法族だから、 $\mathcal{B}=\sigma(\text{開区間})\subseteq\mathcal{M}$ ）。

ルベーグ測度＝カラテオドリ機械の出力。区間の長さを正しく再現し、ボレル集合をすべて含む完備な測度。

基本の性質：平行移動不変・可算集合は零

定理ルベーグ測度の基本性質

（平行移動不変） $\mu(A+t)=\mu(A)$ 。（外測度が区間の覆いで定義され、区間の長さが平行移動で不変だから。）
（一点・可算集合は零） $\mu(\{p\})=0$ 。よって可算集合 $C=\{c_1,c_2,\dots\}$ は $\mu(C)=0$ 。
（線形変換） $\mu(cA)=|c|^n\mu(A)$ （ $\mathbb{R}^n$ 、 $c$ 倍の拡大）。

証明

(2) 一点 $\{p\}$ は長さ $\varepsilon$ の区間 $(p-\varepsilon/2,p+\varepsilon/2)$ で覆えるから $\mu^*(\{p\})\le\varepsilon$ 。 $\varepsilon\downarrow0$ で $\mu(\{p\})=0$ 。可算集合は一点の可算和ゆえ、可算加法性（または劣加法性）で $\mu(C)\le\sum\mu(\{c_k\})=0$ 。∎

(2) は前章までの伏線の回収です。ディリクレ関数の積分が $0$ だったのは、値が $1$ になる有理数全体が可算集合で測度 $0$ だから。「有理数は（実数の中では）測度の意味で無視できるほど少ない」が厳密になりました。

注意測度 0 なのに“でかい”集合：カントール集合

$[0,1]$ から真ん中 $1/3$ を除き続けて残るカントール集合は、 $\mu=1-\sum\frac{2^{n-1}}{3^n}=0$ で測度 $0$ 。なのに要素数は非可算（連続体濃度、集合と位相第1章）。「測度 $0$ ＝可算」ではない。測度と濃度は別の“大きさ”。長さゼロでも点はぎっしり——測度のイメージを豊かにする好例。

正則性：内と外から挟める

ルベーグ測度は「開集合で外から」「コンパクト集合で内から」いくらでも近似できます。これを正則性といい、測度の扱いを非常に軽くします（後の稠密性・ルジンの定理の土台）。

定理ルベーグ測度の正則性

$A$ をルベーグ可測とすると、

\mu(A)=\inf\{\mu(U): U\ \text{開},\ A\subseteq U\}=\sup\{\mu(K): K\ \text{コンパクト},\ K\subseteq A\}.

同値な言い換え：任意の $\varepsilon>0$ に対し、開集合 $U\supseteq A$ と閉集合 $F\subseteq A$ を $\mu(U\setminus A)<\varepsilon,\ \mu(A\setminus F)<\varepsilon$ となるように取れる。

外測度が「開区間で覆う下限」だったので、外側からの開集合近似はほぼ定義そのもの。内側からのコンパクト近似は補集合に外側近似を使って導けます。「可測集合は、開集合と閉集合で $\varepsilon$ の隙間まで挟める」——測度論の実務では、証明をまず開集合や区間で済ませ、正則性で一般の可測集合へ広げる、という運びを多用します。

衝撃：測れない集合が存在する（ヴィタリ）

ここまで来ると「 $\mathbb{R}$ のどんな集合も、頑張れば測れるのでは？」と思えてきます。ところが測れない集合が存在します。第2章で予告した落とし穴です。作り方は短いですが、選択公理を使うのが急所です。

定理ヴィタリの非可測集合

$[0,1]$ の中に、ルベーグ可測でない集合が存在する。

証明

$[0,1]$ 上で「差が有理数」という関係 $x\sim y\iff x-y\in\mathbb{Q}$ を考える。これは同値関係で、 $[0,1]$ を互いに素な同値類に分ける。各同値類から代表元を一つずつ選んで集めた集合を $V$ とする（ここで選択公理を使う——非可算個の類から同時に代表を選ぶ）。

有理数を $q_1,q_2,\dots$ （ $[-1,1]$ 内のもの）と並べ、平行移動 $V_k=V+q_k$ を作る。主張：

$V_k$ たちは互いに素。もし $V+q_i$ と $V+q_j$ が共通点をもてば、 $V$ の二元の差が有理数となり同値、だが代表は各類一つだけなので同一元。よって $q_i=q_j$ 。
$[0,1]\subseteq\bigcup_k V_k\subseteq[-1,2]$ 。任意の $x\in[0,1]$ は、自分の類の代表 $v$ と有理数差 $x-v=q_k$ をもつので $x\in V_k$ 。また $V\subseteq[0,1],\ |q_k|\le1$ より $V_k\subseteq[-1,2]$ 。

さて $V$ が可測と仮定して矛盾を出す。平行移動不変性より全 $\mu(V_k)=\mu(V)=:c$ 。可算加法性と上の包含から

1=\mu([0,1])\le\sum_{k=1}^\infty c\le\mu([-1,2])=3.

もし $c=0$ なら $\sum c=0<1$ で左が破綻。もし $c>0$ なら $\sum c=\infty>3$ で右が破綻。どちらも矛盾。よって $V$ は可測でない。∎

矛盾の芯はこうです。「平行移動不変」「可算加法性」「区間の長さは正しい」——この三つを全部の集合で同時に成り立たせることは不可能。 $\sum_{k}c$ は $c=0$ なら $0$ 、 $c>0$ なら $\infty$ にしかならず、 $1$ と $3$ の間に着地できない。だからどこかを諦めるしかなく、私たちは「全集合で測るのを諦め、可測集合だけ測る」を選んだ—— 第2章でσ-加法族を導入した本当の理由が、ここでようやく腑に落ちます。

注意選択公理という代償

ヴィタリ集合の構成は選択公理を本質的に使う。実際「すべての集合がルベーグ可測」という主張は、選択公理を弱めた公理系（ソロヴェイ・モデル）では無矛盾に成り立つ。つまり非可測集合は選択公理の“副作用”。具体的に「これ」と指させる非可測集合は作れない——存在はするが手で触れない、不思議な住人。選択公理の重みを実感する場面。

つまずきポイント

注意よくある誤解

測度 $0$ と「点が少ない（可算）」は別。 カントール集合は非可算なのに測度 $0$ 。測度と濃度は独立した“大きさ”。
非可測集合は「変な形」ではなく「選び方が非構成的」。 図に描けるようなギザギザではなく、選択公理で代表を選んで初めて存在する。可視化できないのが本質。
ボレル集合 $\subsetneq$ ルベーグ可測集合。 ルベーグ可測はボレルより真に多い（完備化のぶん、測度 $0$ 集合の部分集合を全部含む）。どちらもヴィタリ集合は含まない。
平行移動不変は“当たり前”ではなく、測度の設計に組み込んだ性質。 これがヴィタリの矛盾を生む主役でもある。

この章のまとめ

ルベーグ測度が完成：区間の長さ $b-a$ を再現し、平行移動不変、一点・可算集合は測度 $0$ 、ボレル集合を全部含む完備な測度。
正則性：可測集合は外から開集合・内からコンパクト集合で $\varepsilon$ まで挟める。証明を区間・開集合で済ませて一般化する道具。
ヴィタリの非可測集合：選択公理で代表を選ぶと、平行移動不変・可算加法性・区間の長さを全集合で両立できない。だから「可測集合だけ測る」——σ-加法族を導入した根本理由の回収。
測度の構成編（第1〜4章）はここで完結。次章から関数の側へ移り、まず「どんな関数なら値域を刻んで積分できるか」＝可測関数を定義します。

次章では、積分できる関数のクラス——可測関数——を定め、どんな関数も単関数の極限で近づける「単関数近似定理」を作ります。

第4章 ルベーグ測度と非可測集合