第9章 応用 — 微分が掛け算・熱方程式を解く

両辺をフーリエ変換。$\widehat{u''}=(i\xi)^2\hat u=-\xi^2\hat u$（第5章）なので

微分方程式が、$\hat u$ についてのただの割り算になった。あとは逆変換。$\frac1{1+\xi^2}$ は $\frac12 e^{-|x|}$ のフーリエ変換（第5章の例）なので、畳み込み定理（第6章）より

掛け算 $\frac1{1+\xi^2}$（振動数領域）が、畳み込み（時間領域）に翻訳された。$\frac12 e^{-|x-y|}$ が この方程式の基本解（第12章）——入力 $f$ に対する応答の“重み”。

$\hat u(\xi,t)=\hat f(\xi)e^{-\xi^2 t}$ は「各振動数成分が $e^{-\xi^2 t}$ の速さで減衰する」。高振動数（大きい $\xi$） ほど速く消える——だから熱は凸凹（細かい振動＝高振動数）を真っ先にならし、なめらかにしていく。時間が経つと 高周波が死に、分布は鈍って広がる。熱核 $K_t$ は第6章のガウス近似単位元そのもので、$t\to0$ で $f$ に戻り （初期条件）、$t$ が増えると幅 $\sqrt t$ で広がる。「なましと熱拡散は同じ畳み込み」の伏線が、ここで回収される。

• 波動方程式 $\partial_{tt}u=c^2\partial_{xx}u$：変換すると $\partial_{tt}\hat u=-c^2\xi^2\hat u$、解は $\hat u=\hat f\cos(c\xi t)+\cdots$。振動数成分は減衰せず振動（波は形を保って伝わる）。逆変換すると ダランベールの公式 $u=\frac12[f(x-ct)+f(x+ct)]$（微分方程式）。
• ラプラス方程式（半平面）$\partial_{xx}u+\partial_{yy}u=0$：$\hat u(\xi,y)=\hat f(\xi)e^{-|\xi|y}$。境界値 $f$ が 内部へ指数減衰しながら伝わる。逆変換はポアソン核との畳み込み。

• どの変数で変換するか。 熱・波動では空間 $x$ で変換し、時間 $t$ はパラメータに残す。すると $t$ の常微分 方程式になる。変換する変数の選択が要。
• 微分が掛け算になるのが全て。 $\partial_x\to i\xi$、$\partial_{xx}\to-\xi^2$。これで微分方程式が代数方程式に。 この一点がフーリエ解析を道具にする。
• 解＝基本解（核）との畳み込み。 振動数領域の割り算・掛け算が、時間領域では畳み込み。核（熱核・ポアソン核）が 方程式の“指紋”。
• 高振動数の運命が方程式を特徴づける。 熱は高周波を殺し（平滑化）、波は保つ（伝播）。応答 $e^{-\xi^2t}$ 対 $\cos(c\xi t)$ の違い。