⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第6章 畳み込みと近似単位元

フーリエ変換の相棒——畳み込み

フーリエ変換の演算規則で、いちばん美しく応用が広いのが畳み込み定理です。畳み込みという一見ややこしい 演算が、フーリエの世界ではただの掛け算に化ける。信号処理・確率・微分方程式のすべてで使われる、変換の 真骨頂です。まず畳み込みそのものを直感から導入します。

畳み込みは「ずらしながら重ねて足す」操作。gg を「ぼかしフィルター」だと思うと、f∗gf*g は ff を gg の形で **ぼかした（平均した）**もの。カメラのボケ、残響、拡散——現実の「なまし」はたいてい畳み込みです。

定義 畳み込み

f,g∈L1(R)f,g\in L^1(\mathbb R) の畳み込みを

(f∗g)(x)=∫−∞∞f(x−t) g(t) dt(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x-t)\,g(t)\,dt

で定める。f∗g=g∗ff*g=g*f（可換）、f∗g∈L1f*g\in L^1 で ∥f∗g∥1≤∥f∥1∥g∥1\|f*g\|_1\le\|f\|_1\|g\|_1。

第2・3章で見た「核との畳み込み」SNf=f∗DNS_Nf=f*D_N、σNf=f∗FN\sigma_Nf=f*F_N は、まさにこの畳み込みでした。核でぼかす＝ 畳み込む。畳み込みは既に主役だったのです。

畳み込み f∗gf*g＝「ずらして重ねて足す」なまし操作。核でぼかすのは畳み込み。フーリエ変換はこれを積に変える。

畳み込み定理

定理 畳み込み定理

f,g∈L1f,g\in L^1 に対し

f∗g^(ξ)=f^(ξ) g^(ξ).\widehat{f*g}(\xi)=\hat f(\xi)\,\hat g(\xi).

畳み込みが積に化ける。（逆に、積のフーリエ変換は畳み込み fg^=12πf^∗g^\widehat{fg}=\frac1{2\pi}\hat f*\hat g。）

証明

定義に代入しフビニの定理（測度論、L1L^1 なので積分順序交換可）：

f∗g^(ξ)=∫ ⁣ ⁣∫f(x−t)g(t) dt e−iξxdx=∫g(t)e−iξt(∫f(x−t)e−iξ(x−t)dx)dt=g^(ξ)f^(ξ).\widehat{f*g}(\xi)=\int\!\!\int f(x-t)g(t)\,dt\,e^{-i\xi x}dx=\int g(t)e^{-i\xi t}\Big(\int f(x-t)e^{-i\xi(x-t)}dx\Big)dt=\hat g(\xi)\hat f(\xi).

（y=x−ty=x-t の置換で内側が f^(ξ)\hat f(\xi)。）∎

この定理の威力は絶大です。畳み込み（積分計算）を、フーリエ変換して掛け算にし、逆変換で戻す——という 迂回路で、難しい畳み込みが易しくなる。フィルタ設計、微分方程式の基本解（第12章）、確率変数の和の分布 （確率論）——応用は無数にあります。

近似単位元——「なまさない極限」

畳み込みには「単位元」がありません。f∗e=ff*e=f となる関数 ee（つまり掛けても変えない核）は、実は普通の関数では 存在しない（それは第10章のデルタ関数になる）。でも、単位元に限りなく近づく核の列は作れます。それが 近似単位元。第3章のフェイエール核が周期版の例でした。ここでは実直線上の版を作ります。

定義 近似単位元

L1L^1 関数の族 {φε}ε>0\{\varphi_\varepsilon\}_{\varepsilon>0} が次をみたすとき近似単位元という。

  1. ∫φε=1\displaystyle\int\varphi_\varepsilon=1（総質量 11）。
  2. ∫∣φε∣≤C\displaystyle\int|\varphi_\varepsilon|\le C（L¹ ノルム一様有界。非負なら =1=1）。
  3. 各 δ>0\delta>0 で ∫∣x∣≥δ∣φε∣→0\displaystyle\int_{|x|\ge\delta}|\varphi_\varepsilon|\to0（ε→0\varepsilon\to0、原点外の質量が消える）。

典型は、一つの核 φ\varphi（∫φ=1\int\varphi=1）を縮めて背を高くした φε(x)=1εφ(xε)\varphi_\varepsilon(x)=\frac1\varepsilon\varphi(\frac x\varepsilon)。 ε→0\varepsilon\to0 で原点に集中する尖った山になります。これで畳み込むと、なまし幅が 00 に縮み、元の関数が 戻ってきます。

定理 近似単位元の収束

{φε}\{\varphi_\varepsilon\} を近似単位元とする。ff が連続で有界なら (f∗φε)(x)→f(x)(f*\varphi_\varepsilon)(x)\to f(x)（各点、連続点で）。 f∈Lp (1≤p<∞)f\in L^p\ (1\le p<\infty) なら ∥f∗φε−f∥p→0\|f*\varphi_\varepsilon-f\|_p\to0（LpL^p で収束）。

証明

∫φε=1\int\varphi_\varepsilon=1 より (f∗φε)(x)−f(x)=∫[f(x−t)−f(x)]φε(t)dt(f*\varphi_\varepsilon)(x)-f(x)=\int[f(x-t)-f(x)]\varphi_\varepsilon(t)dt。連続性で ∣t∣<δ|t|<\delta の寄与は小、条件 3 で ∣t∣≥δ|t|\ge\delta の寄与も小。第3章フェイエールの定理とまったく同じ論法。∎

例 ガウス近似単位元（熱核）

ガウス核 φε(x)=12πεe−x2/(2ε2)\varphi_\varepsilon(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\varepsilon}e^{-x^2/(2\varepsilon^2)} は近似単位元。f∗φεf*\varphi_\varepsilon は ff をガウスでぼかしたもので、ε→0\varepsilon\to0 で ff に戻る。これは実は熱方程式の解——時刻 t=ε2/2t=\varepsilon^2/2 で 初期分布 ff がどう拡散したか（第9章）。「なまし」と「熱の拡散」が同じ畳み込みなのは、深いつながりの現れ。 φε\varphi_\varepsilon を使えば、どんな LpL^p 関数も滑らかな関数で近似できる（軟化子）。

反転公式への布石

近似単位元は、反転公式（f^\hat f から ff を復元する f=f^ˇf=\check{\hat f}）を証明する道具になります。f^∉L1\hat f\notin L^1 （第5章）で逆変換積分が素直に収束しないとき、ガウスで軽く抑えて（正則化して）から極限をとる——という手が 使えるのです。

定理 ガウス正則化による反転（次章への橋）

f∈L1f\in L^1 かつ f^∈L1\hat f\in L^1 なら、反転公式 f(x)=12π∫f^(ξ)eiξxdξf(x)=\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)e^{i\xi x}d\xi が成り立つ。一般には、 逆変換積分にガウス因子 e−εξ2e^{-\varepsilon\xi^2} を挿入して ε→0\varepsilon\to0 とすると（アーベル総和の連続版）、近似単位元 との畳み込みに帰着して ff が復元できる。

「悪い積分をガウスで抑えて、極限で外す」——第3章の総和法（発散を平均で飼いならす）と同じ精神が、ここでも 働きます。次章では、この道具立てで L2L^2 理論（プランシュレル）を完成させます。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 畳み込みは「ずらして重ねて足す」。 単なる積ではない。f∗gf*g は ff を gg でぼかしたもの。フーリエ変換で 積になる（f∗g^=f^g^\widehat{f*g}=\hat f\hat g）。
  • 畳み込みの単位元は普通の関数でない。 f∗e=ff*e=f の ee は存在せず、近似単位元で“近づく”しかない。極限は デルタ関数（第10章）。
  • 近似単位元は「縮めて背を高く」。 総質量 11 を保ったまま原点集中。フェイエール核・ガウス核が例。非負だと L¹ ノルムが 11 で安定。
  • ガウスでぼかす＝熱で拡散。 軟化・平滑化・熱拡散はすべて同じ畳み込み。なましの幅が時間に対応。

この章のまとめ

  • 畳み込み f∗g=∫f(x−t)g(t)dtf*g=\int f(x-t)g(t)dt＝ずらして重ねるなまし。核でぼかすのは畳み込み（SNf=f∗DNS_Nf=f*D_N 等）。
  • 畳み込み定理 f∗g^=f^g^\widehat{f*g}=\hat f\hat g：畳み込みが積に化ける（証明はフビニ）。難しい畳み込みを変換で易しくする戦略の核。
  • 近似単位元（総質量 11・原点集中）との畳み込みは元の関数に収束（LpL^p で）。ガウス核＝熱核が典型で、任意の LpL^p 関数を滑らかに近似（軟化子）。
  • 近似単位元は反転公式（悪い積分をガウスで正則化）への道具。次章で L2L^2 理論プランシュレルを完成させます。

次章では、反転公式を確立し、フーリエ変換が L2L^2 上のユニタリ作用素になる——プランシュレルの定理を証明します。