⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第7章 反転公式とプランシュレルの定理

変換の「往復」を完成させる

フーリエ変換 f↦f^f\mapsto\hat f は、ff を振動数スペクトルに分解しました。当然、逆——スペクトルから元の関数を 復元したい。それが反転公式 f=f^ˇf=\check{\hat f} です。前章の近似単位元がこれを可能にします。さらに、 L2L^2（エネルギー有限）の枠で見ると、フーリエ変換はエネルギーを完璧に保つユニタリ作用素になる。これが プランシュレルの定理で、フーリエ変換が最も美しい姿を見せる場所です。

フーリエ変換は L2L^2 上でエネルギーを保つユニタリ作用素。反転で往復が閉じ、プランシュレルで変換が完成する。

反転公式

定理 フーリエ反転公式

f∈L1(R)f\in L^1(\mathbb R) かつ f^∈L1(R)\hat f\in L^1(\mathbb R) なら、ほとんどいたるところ（ff が連続な点で確実に）

f(x)=12π∫−∞∞f^(ξ) eiξx dξ.f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\xi)\,e^{i\xi x}\,d\xi.

ff を「あらゆる振動数の波 eiξxe^{i\xi x} を、重み f^(ξ)\hat f(\xi) で重ね合わせたもの」として復元する。

証明

逆変換積分にガウス因子を挿入して正則化する：Iε(x)=12π∫f^(ξ)e−εξ2eiξxdξI_\varepsilon(x)=\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)e^{-\varepsilon\xi^2}e^{i\xi x}d\xi。 f^=∫f(y)e−iξydy\hat f=\int f(y)e^{-i\xi y}dy を代入しフビニで ξ\xi 積分を先に行うと、ガウス積分により Iε(x)=∫f(y) gε(x−y) dy=(f∗gε)(x)I_\varepsilon(x)=\int f(y)\,g_\varepsilon(x-y)\,dy=(f*g_\varepsilon)(x)、ここで gεg_\varepsilon はガウス近似単位元 （前章）。ε→0\varepsilon\to0 で左辺は f^∈L1\hat f\in L^1 より逆変換積分に収束、右辺は近似単位元の性質で f(x)f(x) に収束。∎

証明の要は「逆変換積分をガウスで正則化 → 近似単位元との畳み込みに帰着 → 極限で ff を回収」。前章で仕込んだ 道具がそのまま働きます。反転公式により、ff と f^\hat f は同じ情報の二つの表現——時間領域と振動数領域——だと 分かります。どちらから見ても同じ関数。

注意 フーリエ変換の対称性

反転公式は変換と逆変換がほぼ対称（符号と 2π2\pi だけの違い）であることを示す。だから「変換を 22 回かけると （ほぼ）元に戻って反転する」：f^^(x)=2πf(−x)\hat{\hat f}(x)=2\pi f(-x)。ガウス e−x2/2e^{-x^2/2} が変換で不変（第5章）なのは、この 対称性の固定点だから。44 回かけると恒等——フーリエ変換は“90∘90^\circ 回転”のような周期 44 の作用素、という 見方もできる。

プランシュレルの定理——エネルギー保存とユニタリ性

L2L^2 の世界に移ります。ここでフーリエ変換は、パーセバル（第4章の級数版）の連続版——エネルギー保存を みたし、ヒルベルト空間 L2L^2 のユニタリ作用素（関数解析：内積を保つ回転）になります。

定理 プランシュレルの定理

フーリエ変換は L1∩L2L^1\cap L^2 上で

∫−∞∞∣f(x)∣2 dx=12π∫−∞∞∣f^(ξ)∣2 dξ\int_{-\infty}^\infty|f(x)|^2\,dx=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty|\hat f(\xi)|^2\,d\xi

をみたし（エネルギー保存）、L2(R)L^2(\mathbb R) 全体へ一意に拡張されてユニタリ作用素になる。より一般に ⟨f,g⟩=12π⟨f^,g^⟩\langle f,g\rangle=\frac1{2\pi}\langle\hat f,\hat g\rangle（パーセバル）。

証明

f,g∈L1∩L2f,g\in L^1\cap L^2 とする。反転公式と畳み込み・共役の関係から ∫fgˉ=12π∫f^g^‾\int f\bar g=\frac1{2\pi}\int\hat f\overline{\hat g} を導く（gg の代わりに反転を使い、フビニで整理）。g=fg=f で エネルギー等式。L1∩L2L^1\cap L^2 は L2L^2 で稠密（測度論）なので、等長作用素は L2L^2 全体へ 一意連続拡張でき（関数解析の完備性）、全射性（反転が逆を与える）と合わせてユニタリ。∎

プランシュレルの意味は深いです。フーリエ変換は L2L^2 の正規直交基底を取り替えるユニタリ変換——時間領域の 「位置」基底から、振動数領域の「振動数」基底への回転。関数解析のスペクトル分解の 言葉では、微分作用素 1iddx\frac1i\frac{d}{dx} を対角化する基底変換です（微分が ξ\xi 倍になる＝対角化、第5章の規則1）。 エネルギーが保たれるからこそ、信号処理で「時間で測っても振動数で測っても総エネルギーは同じ」が成り立つ。

注意 L¹ と L² の役割分担

L1L^1 変換は「各点で f^(ξ)\hat f(\xi) が積分で定義でき、連続」。だが f^∉L1\hat f\notin L^1 で反転が繊細。L2L^2 変換は 「積分が各点収束するとは限らない」（L2L^2 極限として定義）が、エネルギー保存・ユニタリ・反転が完璧。実用では 両者を行き来する——L1L^1 で具体計算し、L2L^2 で理論を回す。この二枚看板がフーリエ変換の扱いを支える。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 反転公式は f^∈L1\hat f\in L^1 が要る（素朴には）。 一般の f∈L1f\in L^1 では逆変換積分が収束せず、正則化（ガウス）や L2L^2 の枠で意味づける。
  • プランシュレルの L2L^2 変換は各点の積分でない。 L1∩L2L^1\cap L^2 で定義して L2L^2 極限で拡張する。f^(ξ)\hat f(\xi) を 「その点の積分値」と思い込まない。
  • エネルギー保存の 2π2\pi は規約依存。 規約を対称形（12π\frac1{\sqrt{2\pi}} を両側に）にすると 2π2\pi が消えて 完全な等長になる。本質は同じ。
  • ユニタリ＝内積（エネルギー）を保つ回転。 関数解析の意味。だから情報を失わず往復 できる。

この章のまとめ

  • 反転公式 f(x)=12π∫f^(ξ)eiξxdξf(x)=\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)e^{i\xi x}d\xi：スペクトルから関数を復元。証明はガウス正則化→近似単位元。ff と f^\hat f は同じ情報の二表現（時間領域と振動数領域）。
  • プランシュレルの定理：フーリエ変換は L2L^2 上でエネルギーを保存し、ユニタリ作用素（関数解析）。パーセバル ⟨f,g⟩=12π⟨f^,g^⟩\langle f,g\rangle=\frac1{2\pi}\langle\hat f,\hat g\rangle。時間↔振動数の基底回転。
  • L1L^1（各点・具体計算）と L2L^2（エネルギー・理論）の二枚看板で変換を扱う。
  • 変換の理論が完成した。次章では、変換が暴けない“原理的な限界”——時間と振動数は同時に絞れないという不確定性原理を見ます。

次章では、ガウス関数を通して、時間局在と振動数局在のトレードオフ——不確定性原理を定量的に捉えます。