第7章反転公式とプランシュレルの定理

変換の「往復」を完成させる

フーリエ変換 $f\mapsto\hat f$ は、 $f$ を振動数スペクトルに分解しました。当然、逆——スペクトルから元の関数を復元したい。それが反転公式 $f=\check{\hat f}$ です。前章の近似単位元がこれを可能にします。さらに、 $L^2$ （エネルギー有限）の枠で見ると、フーリエ変換はエネルギーを完璧に保つユニタリ作用素になる。これがプランシュレルの定理で、フーリエ変換が最も美しい姿を見せる場所です。

フーリエ変換は $L^2$ 上でエネルギーを保つユニタリ作用素。反転で往復が閉じ、プランシュレルで変換が完成する。

反転公式

定理フーリエ反転公式

$f\in L^1(\mathbb R)$ かつ $\hat f\in L^1(\mathbb R)$ なら、ほとんどいたるところ（ $f$ が連続な点で確実に）

f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\xi)\,e^{i\xi x}\,d\xi.

$f$ を「あらゆる振動数の波 $e^{i\xi x}$ を、重み $\hat f(\xi)$ で重ね合わせたもの」として復元する。

証明

逆変換積分にガウス因子を挿入して正則化する： $I_\varepsilon(x)=\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)e^{-\varepsilon\xi^2}e^{i\xi x}d\xi$ 。 $\hat f=\int f(y)e^{-i\xi y}dy$ を代入しフビニで $\xi$ 積分を先に行うと、ガウス積分により $I_\varepsilon(x)=\int f(y)\,g_\varepsilon(x-y)\,dy=(f*g_\varepsilon)(x)$ 、ここで $g_\varepsilon$ はガウス近似単位元 （前章）。 $\varepsilon\to0$ で左辺は $\hat f\in L^1$ より逆変換積分に収束、右辺は近似単位元の性質で $f(x)$ に収束。∎

証明の要は「逆変換積分をガウスで正則化 → 近似単位元との畳み込みに帰着 → 極限で $f$ を回収」。前章で仕込んだ道具がそのまま働きます。反転公式により、 $f$ と $\hat f$ は同じ情報の二つの表現——時間領域と振動数領域——だと分かります。どちらから見ても同じ関数。

注意フーリエ変換の対称性

反転公式は変換と逆変換がほぼ対称（符号と $2\pi$ だけの違い）であることを示す。だから「変換を $2$ 回かけると（ほぼ）元に戻って反転する」： $\hat{\hat f}(x)=2\pi f(-x)$ 。ガウス $e^{-x^2/2}$ が変換で不変（第5章）なのは、この対称性の固定点だから。 $4$ 回かけると恒等——フーリエ変換は“ $90^\circ$ 回転”のような周期 $4$ の作用素、という見方もできる。

プランシュレルの定理——エネルギー保存とユニタリ性

$L^2$ の世界に移ります。ここでフーリエ変換は、パーセバル（第4章の級数版）の連続版——エネルギー保存をみたし、ヒルベルト空間 $L^2$ のユニタリ作用素（関数解析：内積を保つ回転）になります。

定理プランシュレルの定理

フーリエ変換は $L^1\cap L^2$ 上で

\int_{-\infty}^\infty|f(x)|^2\,dx=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty|\hat f(\xi)|^2\,d\xi

をみたし（エネルギー保存）、 $L^2(\mathbb R)$ 全体へ一意に拡張されてユニタリ作用素になる。より一般に $\langle f,g\rangle=\frac1{2\pi}\langle\hat f,\hat g\rangle$ （パーセバル）。

証明

$f,g\in L^1\cap L^2$ とする。反転公式と畳み込み・共役の関係から $\int f\bar g=\frac1{2\pi}\int\hat f\overline{\hat g}$ を導く（ $g$ の代わりに反転を使い、フビニで整理）。 $g=f$ でエネルギー等式。 $L^1\cap L^2$ は $L^2$ で稠密（測度論）なので、等長作用素は $L^2$ 全体へ一意連続拡張でき（関数解析の完備性）、全射性（反転が逆を与える）と合わせてユニタリ。∎

プランシュレルの意味は深いです。フーリエ変換は $L^2$ の正規直交基底を取り替えるユニタリ変換——時間領域の「位置」基底から、振動数領域の「振動数」基底への回転。関数解析のスペクトル分解の言葉では、微分作用素 $\frac1i\frac{d}{dx}$ を対角化する基底変換です（微分が $\xi$ 倍になる＝対角化、第5章の規則1）。エネルギーが保たれるからこそ、信号処理で「時間で測っても振動数で測っても総エネルギーは同じ」が成り立つ。

注意 L¹ と L² の役割分担

$L^1$ 変換は「各点で $\hat f(\xi)$ が積分で定義でき、連続」。だが $\hat f\notin L^1$ で反転が繊細。 $L^2$ 変換は「積分が各点収束するとは限らない」（ $L^2$ 極限として定義）が、エネルギー保存・ユニタリ・反転が完璧。実用では両者を行き来する—— $L^1$ で具体計算し、 $L^2$ で理論を回す。この二枚看板がフーリエ変換の扱いを支える。

つまずきポイント

注意よくある誤解

反転公式は $\hat f\in L^1$ が要る（素朴には）。 一般の $f\in L^1$ では逆変換積分が収束せず、正則化（ガウス）や $L^2$ の枠で意味づける。
プランシュレルの $L^2$ 変換は各点の積分でない。 $L^1\cap L^2$ で定義して $L^2$ 極限で拡張する。 $\hat f(\xi)$ を「その点の積分値」と思い込まない。
エネルギー保存の $2\pi$ は規約依存。 規約を対称形（ $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ を両側に）にすると $2\pi$ が消えて完全な等長になる。本質は同じ。
ユニタリ＝内積（エネルギー）を保つ回転。 関数解析の意味。だから情報を失わず往復できる。

この章のまとめ

反転公式 $f(x)=\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)e^{i\xi x}d\xi$ ：スペクトルから関数を復元。証明はガウス正則化→近似単位元。 $f$ と $\hat f$ は同じ情報の二表現（時間領域と振動数領域）。
プランシュレルの定理：フーリエ変換は $L^2$ 上でエネルギーを保存し、ユニタリ作用素（関数解析）。パーセバル $\langle f,g\rangle=\frac1{2\pi}\langle\hat f,\hat g\rangle$ 。時間↔振動数の基底回転。
$L^1$ （各点・具体計算）と $L^2$ （エネルギー・理論）の二枚看板で変換を扱う。
変換の理論が完成した。次章では、変換が暴けない“原理的な限界”——時間と振動数は同時に絞れないという不確定性原理を見ます。

次章では、ガウス関数を通して、時間局在と振動数局在のトレードオフ——不確定性原理を定量的に捉えます。

第7章 反転公式とプランシュレルの定理