第5章フーリエ変換 — 非周期への飛躍

周期を無限大に飛ばす

フーリエ級数は周期関数を扱いました。でも世の中の信号——一発のパルス、減衰する振動、孤立した波束——は周期的でありません。非周期関数をどう波に分解するか。アイデアはシンプルです。周期 $2L$ をどんどん大きくして、 $L\to\infty$ の極限をとる。

周期 $2L$ のフーリエ級数では、振動数は $\frac{n\pi}L$ （ $n$ は整数）ととびとびでした。 $L$ を大きくすると、この振動数の間隔 $\frac\pi L$ が $0$ に近づき、とびとびの振動数が連続的につながる。和 $\sum_n$ は積分 $\int d\xi$ に、係数 $c_n$ は振動数 $\xi$ の連続関数 $\hat f(\xi)$ に化けます。離散スペクトルが連続スペクトルになるのです。

周期 $\to\infty$ の極限で、フーリエ級数（とびとびの振動数の和）はフーリエ変換（連続な振動数の積分）になる。

フーリエ変換の定義

定義フーリエ変換

$f\in L^1(\mathbb R)$ （ $\int|f|<\infty$ ）に対し、そのフーリエ変換を

\hat f(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\xi x}\,dx

で定める。 $\hat f(\xi)$ は「 $f$ に振動数 $\xi$ の成分がどれだけ含まれるか」を表す（スペクトル）。逆向きのフーリエ逆変換は $\check g(x)=\frac1{2\pi}\int g(\xi)e^{i\xi x}d\xi$ 。

$e^{-i\xi x}$ を掛けて積分する操作は、「 $f$ と振動数 $\xi$ の波との内積をとる」——級数のフーリエ係数 $c_n=\frac1{2\pi}\int f e^{-inx}$ の連続版です。 $\hat f(\xi)$ が大きい $\xi$ ほど、 $f$ にその振動数が強く含まれる。（規約は流儀によって $2\pi$ の置き方が違いますが、本質は同じ。ここでは上の規約を使います。）

例基本的な変換

矩形パルス $f=\mathbf 1_{[-1,1]}$ ： $\hat f(\xi)=\int_{-1}^1 e^{-i\xi x}dx=\frac{2\sin\xi}\xi$ （sinc 関数）。鋭い箱が、なだらかに広がる sinc に。
ガウス関数 $f=e^{-x^2/2}$ ： $\hat f(\xi)=\sqrt{2\pi}\,e^{-\xi^2/2}$ 。ガウスはガウスに写る（自己相似、第8章で主役）。
両側指数 $f=e^{-|x|}$ ： $\hat f(\xi)=\frac2{1+\xi^2}$ （ローレンツ型）。

L¹理論とリーマン–ルベーグの補題

$f\in L^1$ なら変換 $\hat f$ は必ず定義でき、良い性質をもちます。とくに重要なのが「 $\hat f$ は無限遠で消える」 ——第2章の各点収束証明でも使った、フーリエ解析の背骨です。

定理 L¹フーリエ変換の基本性質

$f\in L^1(\mathbb R)$ なら、

$\hat f$ は有界連続： $|\hat f(\xi)|\le\|f\|_1$ 、 $\hat f$ は連続。
（リーマン–ルベーグの補題） $\displaystyle\lim_{|\xi|\to\infty}\hat f(\xi)=0$ 。

証明

(1) $|\hat f(\xi)|\le\int|f(x)||e^{-i\xi x}|dx=\|f\|_1$ 。連続性は優収束定理（測度論）。 (2) まず $f=\mathbf 1_{[a,b]}$ なら $\hat f(\xi)=\frac{e^{-i\xi a}-e^{-i\xi b}}{i\xi}\to0$ （ $|\xi|\to\infty$ ）。階段関数（区間の有限和）でも同様。一般の $f\in L^1$ は階段関数で $L^1$ 近似でき（測度論の稠密性）、(1) の評価 $\|\hat f-\hat g\|_\infty\le\|f-g\|_1$ で近似が保たれるので、 $\hat f(\xi)\to0$ 。∎

リーマン–ルベーグの意味は「速く振動する波は、可積分関数から見ると平均されて消える」。高振動数（大きい $\xi$ ）の成分は、なめらかに広がった $f$ に対しては打ち消し合う。第2章の各点収束も、この補題が支えていました。フーリエ解析のいたるところで顔を出す、静かな主役です。

変換がもたらす“辞書”——微分と掛け算の交換

フーリエ変換の威力は、難しい操作を易しい操作に翻訳することにあります。とくに微分が掛け算に化ける。これが第9章で微分方程式を解く鍵になります。

定理フーリエ変換の演算規則

微分 ↔ 掛け算： $\widehat{f'}(\xi)=i\xi\,\hat f(\xi)$ 。一般に $\widehat{f^{(k)}}(\xi)=(i\xi)^k\hat f(\xi)$ 。
掛け算 ↔ 微分： $\widehat{xf(x)}(\xi)=i\dfrac{d}{d\xi}\hat f(\xi)$ 。
平行移動 ↔ 位相： $\widehat{f(x-a)}(\xi)=e^{-ia\xi}\hat f(\xi)$ 。
拡大縮小： $\widehat{f(ax)}(\xi)=\frac1{|a|}\hat f(\xi/a)$ 。

証明

(1) 部分積分： $\widehat{f'}(\xi)=\int f'(x)e^{-i\xi x}dx=[f e^{-i\xi x}]_{-\infty}^\infty+i\xi\int f e^{-i\xi x}dx=i\xi\hat f(\xi)$ （ $f\in L^1$ で境界項が消える）。(3) $y=x-a$ の置換。(4) $y=ax$ の置換。∎

規則 1「微分は $i\xi$ 倍」——微分という難しい操作が、振動数を掛けるだけの代数演算になる。規則 4 は第8章の不確定性原理の芽（時間で縮めると振動数で広がる）。これらの「辞書」を使って、フーリエの世界で問題を解き、逆変換で戻す——これがフーリエ解析の戦略です。

注意 L¹理論の限界と次への布石

$f\in L^1$ でも $\hat f$ が $L^1$ とは限らない（矩形パルスの変換 sinc は $L^1$ でない： $\int\frac{|\sin\xi|}\xi=\infty$ ）。だから逆変換の積分が素直に収束せず、反転公式（次章）には工夫が要る。また、応用で本当に使いたい $L^2$ （エネルギー有限）は $L^1$ と別のクラス。 $L^2$ 理論（第7章プランシュレル）が、変換を最も美しく完成させる。

つまずきポイント

注意よくある誤解

フーリエ級数（周期・離散スペクトル）とフーリエ変換（非周期・連続スペクトル）。 前者は係数 $c_n$ 、後者は関数 $\hat f(\xi)$ 。周期 $\to\infty$ でつながる。
$f\in L^1$ でも $\hat f\in L^1$ とは限らない。 だから反転公式は単純でない（次章）。可積分性は入力と出力で別。
規約の $2\pi$ は流儀次第。 $e^{-i\xi x}$ の前や逆変換に $2\pi$ をどう置くかは本による。結論は同じ。自分の規約を一貫させることが大事。
リーマン–ルベーグは「無限遠で消える」だけ。 減衰の速さは $f$ の滑らかさで決まる（滑らかなら速く減衰＝規則 1 の帰結）。消えることと速さは別。

この章のまとめ

フーリエ変換 $\hat f(\xi)=\int f(x)e^{-i\xi x}dx$ ：非周期関数を連続的な振動数スペクトルに分解。周期 $\to\infty$ で級数から生まれる。
L¹理論： $\hat f$ は有界連続で、リーマン–ルベーグの補題により無限遠で $0$ （速い振動は可積分関数から消える）。
演算の辞書：微分↔ $i\xi$ 倍、掛け算↔微分、平行移動↔位相、拡大↔縮小。微分が代数演算に化けるのが最大の武器。
$L^1$ 理論には限界（ $\hat f\notin L^1$ ）。次章は畳み込みと近似単位元、第7章で $L^2$ 理論（プランシュレル）へ。
次章では、フーリエ変換が積を和に変える相棒——畳み込みと、なめらかな近似を与える近似単位元を扱います。

次章では、畳み込み定理（変換が畳み込みを積に変える）と、ガウス核などの近似単位元による反転への準備をします。

第5章 フーリエ変換 — 非周期への飛躍