⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第10章 開写像定理と閉グラフ定理

逆作用素は自動的に連続か

方程式 Tx=yTx=y を解いて x=T−1yx=T^{-1}y とするとき、逆作用素 T−1T^{-1} が**連続（有界）**であってほしい——連続なら 「yy を少し変えても解 xx が少ししか変わらない」（解の安定性）が保証されます。TT が有界な全単射のとき、 T−1T^{-1} も自動的に有界なのか。有限次元では当たり前ですが、無限次元では自明ではありません。

答えは「バナッハ空間なら Yes」。これを保証するのが開写像定理と、その系の逆写像定理です。前章と同じく ベールのカテゴリー定理から出る、三大定理の残り二つです。

定義 開写像

写像 T:X→YT:X\to Y が開写像とは、開集合の像が開集合であること。とくに 00 の近傍が 00 の近傍に 写れば（線形なら）開写像。

開写像定理：バナッハ空間の間の全射有界作用素は開写像。ゆえに全単射なら逆も連続（解が安定）。

開写像定理

定理 開写像定理

X,YX,Y をバナッハ空間、T∈B(X,Y)T\in B(X,Y) を全射とする。すると TT は開写像である。とくに TT が全単射なら T−1T^{-1} は有界（逆写像定理）。

証明

核心は「T(BX)T(B_X)（単位球の像）が 00 の近傍を含む」こと。Y=⋃nT(nBX)‾=⋃nnT(BX)‾Y=\bigcup_n \overline{T(nB_X)}=\bigcup_n n\overline{T(B_X)} （TT 全射）。ベールのカテゴリー定理（YY 完備）より、ある nT(BX)‾n\overline{T(B_X)} が内点をもち、対称性・凸性から T(BX)‾\overline{T(B_X)} が 00 の近傍 BY(0,δ)B_Y(0,\delta) を含む。次に完備性で閉包を外す：y∈BY(0,δ)y\in B_Y(0,\delta) を、 T(BX)T(B_X) の元で誤差を半分ずつ詰める逐次近似（各段で ∥y−Txk∥\|y-Tx_k\| を半減）で表し、∑xk\sum x_k が XX で収束 （絶対収束⇒収束、XX 完備）して y=T(∑xk)y=T(\sum x_k)、∑xk∈\sum x_k\in （半径 22 の球）。よって T(2BX)⊇BY(0,δ)T(2B_X)\supseteq B_Y(0,\delta)、 TT は開写像。全単射なら、開写像であること＝T−1T^{-1} が連続。∎

証明は二段構え：ベールで「像がある球を稠密に含む」を出し、完備性の逐次近似で「稠密」を「実際に含む」へ 格上げする。両方が要ります。逆写像定理の帰結として、次の便利な系が出ます。

定理 ノルムの同値（全単射作用素）

バナッハ空間 XX に二つのノルム ∥⋅∥1,∥⋅∥2\|\cdot\|_1,\|\cdot\|_2 が入り、両方で完備、かつ一方が他方以下 （∥x∥2≤C∥x∥1\|x\|_2\le C\|x\|_1）なら、二つは同値（逆向きの評価も成り立つ）。

「片側の評価だけで、自動的に両側になる」。恒等写像 (X,∥⋅∥1)→(X,∥⋅∥2)(X,\|\cdot\|_1)\to(X,\|\cdot\|_2) が有界全単射なので、逆も 有界——逆写像定理の直接の応用です。

閉グラフ定理

三大定理の三つ目。「作用素の連続性」を、より確かめやすい「グラフが閉じている」条件に置き換えます。連続性の 証明で、xn→xx_n\to x と Txn→yTx_n\to y を別々に仮定してよい、という実用上とても便利な定理です。

定義 閉作用素

線形作用素 T:X→YT:X\to Y のグラフを Γ(T)={(x,Tx):x∈X}⊆X×Y\Gamma(T)=\{(x,Tx):x\in X\}\subseteq X\times Y とする。 Γ(T)\Gamma(T) が X×YX\times Y で閉集合（xn→xx_n\to x かつ Txn→yTx_n\to y なら y=Txy=Tx）のとき、TT を閉作用素という。

定理 閉グラフ定理

X,YX,Y をバナッハ空間、T:X→YT:X\to Y を全空間で定義された線形作用素とする。TT が閉作用素なら、TT は有界 （連続）である。

証明

X×YX\times Y はバナッハ空間、Γ(T)\Gamma(T) は閉部分空間ゆえバナッハ。射影 π1:Γ(T)→X, (x,Tx)↦x\pi_1:\Gamma(T)\to X,\ (x,Tx)\mapsto x は 有界な全単射。逆写像定理より π1−1:x↦(x,Tx)\pi_1^{-1}:x\mapsto(x,Tx) は有界。π2:(x,Tx)↦Tx\pi_2:(x,Tx)\mapsto Tx も有界なので、 合成 T=π2∘π1−1T=\pi_2\circ\pi_1^{-1} は有界。∎

連続性の直接証明では「xn→xx_n\to x ならば Txn→TxTx_n\to Tx」を示す必要があり、TxnTx_n が収束することから確かめねば なりません。閉グラフ定理を使えば「xn→xx_n\to x かつ Txn→yTx_n\to y」と両方の収束を仮定して y=Txy=Tx を示せば よい——仮定が増えるぶん証明が楽になります。作用素の連続性を示す際の定番の抜け道です。

注意 全空間で定義、が効いている

閉グラフ定理は「TT が XX 全体で定義され、かつ閉」なら連続、と言う。逆に、微分作用素のような非有界作用素は 閉だが全空間では定義できない（第3章）——定義域が真部分集合。だから「閉だが非有界」は 矛盾しない。全空間定義という前提がないと結論は出ない。非有界作用素論では「閉」性が連続性の代役を務める。

三大定理の全体像

三つの定理が、すべてベールのカテゴリー定理（＝完備性）から出ました。関数解析の“背骨”を一望します。

注意 三大定理まとめ

  • 一様有界性原理（第9章）：各点有界 ⇒ 一様有界。
  • 開写像定理：全射有界作用素は開写像 ⇒ 全単射なら逆も連続（解の安定性）。
  • 閉グラフ定理：全空間定義の閉作用素は連続（連続性証明の抜け道）。

いずれも「完備性 → ベール → 局所から大域へ」の同じパターン。ハーン–バナッハ（第7章、選択公理由来）と 合わせて、これらが一般バナッハ空間論の四つの支柱。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 開写像定理は TT が全射でないと使えない。 全射でない有界作用素は開写像とは限らない。全単射で初めて逆の 連続性が出る。
  • 閉グラフ定理は「全空間で定義」が前提。 非有界作用素は閉でも定義域が真部分集合なので、この定理と矛盾しない。 前提を落とすと誤用になる。
  • 閉作用素 ≠ 有界作用素。 全空間定義なら一致（閉グラフ定理）だが、部分定義域なら別。微分作用素は閉だが 非有界。
  • 三大定理はすべて完備性が必須。 バナッハでない空間では成り立たない。ベールが効かなくなる。

この章のまとめ

  • 開写像定理：バナッハ空間の間の全射有界作用素は開写像。証明はベール＋完備性の逐次近似。系の逆写像定理で、有界全単射の逆は自動的に有界（解の安定性）。片側評価からノルムの同値も出る。
  • 閉グラフ定理：全空間定義の閉作用素（グラフが閉）は連続。連続性証明で「xn→xx_n\to x かつ Txn→yTx_n\to y」と両方仮定できる実用的な抜け道。
  • 三大定理（一様有界性・開写像・閉グラフ）はすべてベールのカテゴリー定理＝完備性から。ハーン–バナッハと並ぶ関数解析の支柱。
  • Part III はここまで。次章から作用素論の核心へ。有限次元に最も近い作用素——コンパクト作用素とフレドホルム理論を扱います。

次章では、無限次元でも有限次元的にふるまうコンパクト作用素と、方程式 (I−K)x=y(I-K)x=y を統べるフレドホルムの択一定理を見ます。