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第6章 リースの表現定理と随伴作用素

「関数を数にする写像」の正体

ヒルベルト空間 HH 上の有界線形汎関数——ベクトルを一つ入れるとスカラーが出る線形写像 φ:H→R\varphi:H\to\mathbb R ——を考えます。いちばん素朴な例は、あるベクトル yy を固定して φ(x)=⟨x,y⟩\varphi(x)=\langle x,y\rangle とする「yy との 内積をとる」写像。コーシー–シュワルツより ∣φ(x)∣≤∥y∥∥x∥|\varphi(x)|\le\|y\|\|x\| で有界です。

リースが示したのは、その逆——有界線形汎関数はこの形しかない。どんな φ\varphi も、ある yy との内積として 表せる。抽象的な「汎関数」が、具体的な「ベクトル yy」と一対一に対応する。これがヒルベルト空間論の要石です。

定理 リースの表現定理

HH をヒルベルト空間、φ∈H∗\varphi\in H^*（有界線形汎関数）とする。すると一意な y∈Hy\in H が存在して

φ(x)=⟨x,y⟩(∀x∈H),∥φ∥=∥y∥.\varphi(x)=\langle x,y\rangle\quad(\forall x\in H),\qquad \|\varphi\|=\|y\|.

証明

φ=0\varphi=0 なら y=0y=0。φ≠0\varphi\ne0 とし M=ker⁡φ={x:φ(x)=0}M=\ker\varphi=\{x:\varphi(x)=0\}。φ\varphi は有界（連続）なので MM は 閉部分空間。φ≠0\varphi\ne0 より M≠HM\ne H、前章の直交分解 H=M⊕M⊥H=M\oplus M^\perp で M⊥≠{0}M^\perp\ne\{0\}。単位ベクトル z∈M⊥z\in M^\perp をとる。任意の xx に対し u=φ(x)z−φ(z)xu=\varphi(x)z-\varphi(z)x は φ(u)=0\varphi(u)=0 ゆえ u∈Mu\in M、よって ⟨u,z⟩=0\langle u,z\rangle=0。展開すると φ(x)⟨z,z⟩−φ(z)⟨x,z⟩=0\varphi(x)\langle z,z\rangle-\varphi(z)\langle x,z\rangle=0、すなわち φ(x)=⟨x, φ(z)‾z⟩\varphi(x)=\langle x,\ \overline{\varphi(z)}z\rangle。 y=φ(z)‾zy=\overline{\varphi(z)}z とおけばよい。一意性：⟨x,y1⟩=⟨x,y2⟩ (∀x)\langle x,y_1\rangle=\langle x,y_2\rangle\ (\forall x) なら x=y1−y2x=y_1-y_2 を代入して y1=y2y_1=y_2。∥φ∥=∥y∥\|\varphi\|=\|y\| はコーシー–シュワルツの等号から。∎

証明の心臓は、前章の直交分解 H=M⊕M⊥H=M\oplus M^\perp。「核 MM に垂直な方向 zz が一本ある」ことが、汎関数を 表すベクトルを与えます。射影の幾何が、双対空間の構造をまるごと決めてしまう。

リースの表現定理：ヒルベルト空間の有界線形汎関数はすべて「あるベクトルとの内積」。H∗≅HH^*\cong H（双対はそれ自身）。

注意 ヒルベルト空間は自己双対

リースにより、写像 y↦⟨⋅,y⟩y\mapsto\langle\cdot,y\rangle が HH から H∗H^* への（共役線形な）等長同型を与える。 つまり H∗≅HH^*\cong H——ヒルベルト空間は自分自身が双対。一般のバナッハ空間では双対は別物で、その解析には ハーン–バナッハの定理（第7章）が要る。ヒルベルトでは内積のおかげで双対が“見える”。この差が、ヒルベルト空間を 桁違いに扱いやすくしている。

随伴作用素

リースの表現定理の最初の果実が、随伴作用素です。有限次元で行列の転置（共役転置） A∗A^* を作ったのと同じ操作を、 無限次元の作用素に対して行います。定義の根拠がリースです。

定義 随伴作用素

ヒルベルト空間上の有界作用素 TT に対し、

⟨Tx, y⟩=⟨x, T∗y⟩(∀x,y)\langle Tx,\ y\rangle=\langle x,\ T^*y\rangle\quad(\forall x,y)

をみたす有界作用素 T∗T^* が一意に存在する。これを TT の随伴作用素という。

証明

yy を固定すると x↦⟨Tx,y⟩x\mapsto\langle Tx,y\rangle は有界線形汎関数（∣⟨Tx,y⟩∣≤∥T∥∥y∥∥x∥|\langle Tx,y\rangle|\le\|T\|\|y\|\|x\|）。 リースの表現定理より、これを表すベクトル zyz_y が一意に存在：⟨Tx,y⟩=⟨x,zy⟩\langle Tx,y\rangle=\langle x,z_y\rangle。 T∗y:=zyT^*y:=z_y と定めると線形・有界（∥T∗∥=∥T∥\|T^*\|=\|T\|）で、定義式をみたす。∎

随伴の性質：(T∗)∗=T(T^*)^*=T、(ST)∗=T∗S∗(ST)^*=T^*S^*、∥T∗T∥=∥T∥2\|T^*T\|=\|T\|^2。有限次元の共役転置の規則がそのまま成り立ちます。 随伴を使って、特に重要な作用素のクラスを定義します。

定義 自己共役・ユニタリ・正規作用素

  • T∗=TT^*=T：自己共役（エルミート）。実対称行列の一般化。スペクトルが実（第12章）。
  • T∗T=TT∗=IT^*T=TT^*=I：ユニタリ。内積を保つ（⟨Tx,Ty⟩=⟨x,y⟩\langle Tx,Ty\rangle=\langle x,y\rangle）＝無限次元の回転。
  • T∗T=TT∗T^*T=TT^*：正規作用素。自己共役・ユニタリを含む。スペクトル分解が効くクラス。

これらは線形代数の対称行列・直交行列・正規行列の無限次元版。自己共役作用素は量子力学の 観測量（オブザーバブル）に対応し、その固有値が観測される物理量になります。第12章のスペクトル理論で、これらの 作用素を「無限次元の対角化」する話へつながります。

例 随伴の計算例

  • 掛け算作用素 (Mgf)(x)=g(x)f(x)(M_g f)(x)=g(x)f(x)（L2L^2 上）：⟨Mgf,h⟩=∫gfhˉ=∫fgˉh‾\langle M_gf,h\rangle=\int gf\bar h=\int f\overline{\bar g h} より Mg∗=MgˉM_g^*=M_{\bar g}。gg が実なら自己共役。
  • 右シフト S(x1,x2,… )=(0,x1,x2,… )S(x_1,x_2,\dots)=(0,x_1,x_2,\dots)（ℓ2\ell^2）：随伴は左シフト S∗(x1,x2,… )=(x2,x3,… )S^*(x_1,x_2,\dots)=(x_2,x_3,\dots)。 S∗S=IS^*S=I だが SS∗≠ISS^*\ne I——ユニタリでない（無限次元ならではの現象、第12章で効く）。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • リースはヒルベルト空間だけ。 「汎関数＝内積」は内積があってこそ。一般バナッハ空間の双対はもっと複雑で、 ハーン–バナッハ（第7章）が要る。
  • H∗≅HH^*\cong H は共役線形同型。 複素の場合、y↦⟨⋅,y⟩y\mapsto\langle\cdot,y\rangle は共役線形（α\alpha が αˉ\bar\alpha に）。 実なら普通の線形同型。
  • 随伴の存在はリースに依存する。 定義式をみたす T∗T^* が“ある”のは、リースが表現ベクトルを保証するから。 無条件ではない。
  • 右シフトの随伴は左シフト、逆ではない。 S∗S=IS^*S=I（等長）だが SS∗≠ISS^*\ne I。有限次元では等長なら全単射だが、 無限次元では片側だけ——後のフレドホルム・スペクトルで本質的。

この章のまとめ

  • リースの表現定理：ヒルベルト空間の有界線形汎関数はすべて「あるベクトル yy との内積」φ=⟨⋅,y⟩\varphi=\langle\cdot,y\rangle。証明は直交分解 H=M⊕M⊥H=M\oplus M^\perp。ゆえに H∗≅HH^*\cong H（自己双対）。
  • リースから随伴作用素 T∗T^*（⟨Tx,y⟩=⟨x,T∗y⟩\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle）が一意に定まる。共役転置の無限次元版。
  • T∗=TT^*=T 自己共役（実固有値・量子力学の観測量）、T∗T=TT∗=IT^*T=TT^*=I ユニタリ（回転）、T∗T=TT∗T^*T=TT^* 正規。右シフトの随伴は左シフト（S∗S=I≠SS∗S^*S=I\ne SS^*）。
  • Part II（ヒルベルト空間）はここまで。次章から一般のバナッハ空間へ戻り、ヒルベルトでは自明だった双対の存在を保証する——ハーン–バナッハの定理へ。

次章では、一般のバナッハ空間で「有界線形汎関数が十分にある」ことを保証するハーン–バナッハの定理を証明します。