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第7章 ハーン–バナッハの定理

双対空間は空っぽかもしれない、という不安

前章のヒルベルト空間では、リースの表現定理のおかげで汎関数がたくさんありました（H∗≅HH^*\cong H）。では、 内積のない一般のバナッハ空間 XX ではどうでしょう。有界線形汎関数（X∗X^* の元）は本当に十分に存在するのか。 極端な話、X∗={0}X^*=\{0\}（汎関数がゼロしかない）だったら、双対を使う議論が全部無意味になります。

この不安を払拭するのがハーン–バナッハの定理です。「小さな部分空間で定義された汎関数を、ノルムを増やさずに 全空間へ拡張できる」——これを土台に、「汎関数が豊富にある」ことが保証されます。関数解析の三本柱の一つ（残りは 第9・10章の三大定理）で、双対理論すべての出発点です。

ハーン–バナッハ：部分空間の汎関数を、ノルムを保ったまま全空間へ拡張できる。ゆえに双対空間は豊か。

拡張定理

まず核心の拡張定理。実数版を述べます（複素版・ノルム版はここから従う）。

定理 ハーン–バナッハの定理（拡張・ノルム版）

XX をノルム空間、M⊆XM\subseteq X を部分空間、f:M→Rf:M\to\mathbb R を有界線形汎関数とする。すると ff を全空間 XX へ 拡張した有界線形汎関数 F:X→RF:X\to\mathbb R で

F∣M=f,∥F∥X∗=∥f∥M∗F|_M=f,\qquad \|F\|_{X^*}=\|f\|_{M^*}

となるものが存在する（ノルムを増やさずに拡張できる）。

証明

一次元ずつ拡張するのが要。MM に含まれない x0x_0 を選び、M′=M+Rx0M'=M+\mathbb R x_0 へ拡張する。F(m+tx0)=f(m)+tαF(m+tx_0)=f(m)+t\alpha と置くとき、∥F∥≤∥f∥\|F\|\le\|f\| を保つように定数 α\alpha を選べるかが問題。∥F∥≤∥f∥\|F\|\le\|f\| は任意の m,m′∈Mm,m'\in M で

f(m)−∥f∥ ∥m+x0∥ ≤ α ≤ −f(m′)+∥f∥ ∥m′+x0∥f(m)-\|f\|\,\|m+x_0\|\ \le\ \alpha\ \le\ -f(m')+\|f\|\,\|m'+x_0\|

（劣加法性 f(m)+f(m′)=f(m+m′)≤∥f∥∥m+m′∥≤∥f∥(∥m+x0∥+∥m′+x0∥)f(m)+f(m')=f(m+m')\le\|f\|\|m+m'\|\le\|f\|(\|m+x_0\|+\|m'+x_0\|) から、左辺の sup⁡\sup ≤ 右辺の inf⁡\inf） と同値。だから α\alpha を両者の間に取れる。この一次元拡張を、ツォルンの補題（選択公理）で 全空間まで極大に押し進める。∎

証明の骨は「一次元ずつ、ノルムを壊さない値 α\alpha の余地が必ずある」こと。それをツォルンの補題で全体へ 広げます。選択公理を使うので、拡張は具体的に書き下せない（存在のみ）——非構成的な定理です。

汎関数は豊富にある——重要な帰結

拡張定理から、双対空間が豊かであることが次々と出ます。これらが「汎関数を使って点を区別・測定する」議論を 可能にします。

定理 ハーン–バナッハの帰結

XX をノルム空間とする。

  1. 各 x0≠0x_0\ne0 に対し、∥F∥=1, F(x0)=∥x0∥\|F\|=1,\ F(x_0)=\|x_0\| なる F∈X∗F\in X^* が存在する（汎関数で点の長さが測れる）。
  2. ゆえに x≠yx\ne y なら F(x)≠F(y)F(x)\ne F(y) なる F∈X∗F\in X^* がある（汎関数が点を区別する）。
  3. ∥x∥=sup⁡∥F∥≤1∣F(x)∣\|x\|=\sup_{\|F\|\le1}|F(x)|（ノルムが双対から復元できる）。

証明

(1) 一次元部分空間 M=Rx0M=\mathbb R x_0 上で f(tx0)=t∥x0∥f(tx_0)=t\|x_0\| と定めると ∥f∥=1\|f\|=1。ハーン–バナッハで XX へ ノルム 11 のまま拡張したものが FF。(2) x0=x−yx_0=x-y に (1) を適用。(3) (1) が下限、∣F(x)∣≤∥F∥∥x∥|F(x)|\le\|F\|\|x\| が 上限。∎

(1) の意味は大きい。「どんなベクトルも、それをちょうど長さぶん検出する汎関数がある」。これで、点を汎関数で “座標づけ”して調べられる。第8章の弱位相（汎関数の値で収束を測る）や、双対の双対 X∗∗X^{**} への埋め込みが、 すべてここから立ち上がります。

幾何版：凸集合を超平面で分離する

ハーン–バナッハには幾何的な顔もあります。「交わらない二つの凸集合は、超平面（汎関数の等高面）で分離できる」。 最適化・経済学（分離超平面定理）でおなじみの主張が、同じ定理から出ます。

定理 分離定理（ハーン–バナッハの幾何版）

XX を実ノルム空間、A,BA,B を交わらない空でない凸集合とする。AA が開なら、ある F∈X∗F\in X^* と c∈Rc\in\mathbb R で

F(a)<c≤F(b)(∀a∈A, b∈B).F(a)<c\le F(b)\quad(\forall a\in A,\ b\in B).

すなわち超平面 {F=c}\{F=c\} が AA と BB を分ける。

線形汎関数 FF の等高面 {F=c}\{F=c\} が「超平面」。凸で交わらない二集合の間には、必ずこの平らな仕切りを差し込める。 「拡張定理」（解析的）と「分離定理」（幾何的）は、劣線形汎関数を介して同値な二つの顔です。凸解析の 基礎（変分法・最適化）がここに立脚します。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • ハーン–バナッハは存在定理（非構成的）。 ツォルンの補題（選択公理）を使い、拡張を具体的に作れない。 「ある」ことだけ保証。
  • 拡張の一意性はない。 ノルムを保つ拡張は複数ありうる（ヒルベルトでは直交分解で一意だが、一般には違う）。
  • 双対が豊かなのは“定理”。 「汎関数がたくさんある」は当たり前でなく、ハーン–バナッハが保証している。これが ないと双対理論が空回りする。
  • 分離には凸性と（片方の）開性が要る。 凸でない集合や閉集合だけだと分離できない例がある。前提を落とさない。

この章のまとめ

  • ハーン–バナッハの定理：部分空間の有界線形汎関数を、ノルムを増やさず全空間へ拡張できる。証明は一次元ずつ＋ツォルンの補題（非構成的）。
  • 帰結：各 x0x_0 を長さぶん検出する FF（∥F∥=1,F(x0)=∥x0∥\|F\|=1,F(x_0)=\|x_0\|）があり、汎関数が点を区別、∥x∥=sup⁡∥F∥≤1∣F(x)∣\|x\|=\sup_{\|F\|\le1}|F(x)|。一般バナッハ空間でも双対は豊か。
  • 幾何版は凸集合の分離定理（超平面で二つの凸集合を仕切る）。解析版と同値で、凸解析・最適化の基礎。
  • 次章では、この豊かな双対を使い、双対空間・反射性・そして無限次元でコンパクト性を取り戻す弱位相を扱います。

次章では、双対空間 X∗X^*・二重双対 X∗∗X^{**}・反射性、そして弱位相・弱*位相とバナッハ–アラオグルの定理を見ます。