第8章双対空間・反射性・弱位相

双対の双対へ

前章のハーン–バナッハで、双対空間 $X^*$ （有界線形汎関数の全体）が豊かだと分かりました。 $X^*$ 自身もバナッハ空間なので、そのまた双対 $X^{**}=(X^*)^*$ が考えられます。ここで自然な写像が現れます——元の空間 $X$ の点 $x$ を、「 $x$ を代入する」という $X^*$ 上の汎関数とみなすのです。

定義標準埋め込みと反射性

$x\in X$ に対し、 $\hat x:X^*\to\mathbb R,\ \hat x(F)=F(x)$ は $X^{**}$ の元。写像 $J:X\to X^{**},\ x\mapsto\hat x$ を標準埋め込みという。ハーン–バナッハより $J$ は等長（ $\|\hat x\|=\|x\|$ ）。 $J$ が全射（ $X^{**}=J(X)$ ）のとき、 $X$ は反射的という。

$J$ が等長なのは前章の帰結 $\|x\|=\sup_{\|F\|\le1}|F(x)|$ そのもの。つまり $X$ は $X^{**}$ の中に、そっくりそのまま（部分空間として）住んでいます。問題は「 $X$ が $X^{**}$ を埋め尽くすか」。埋め尽くすのが反射的空間で、とても良い性質をもちます。

例反射的かどうか

ヒルベルト空間は反射的（ $H^*\cong H$ より $H^{**}\cong H$ ）。
$L^p,\ \ell^p\ (1<p<\infty)$ は反射的（ $(L^p)^*=L^q$ 、 $\frac1p+\frac1q=1$ 、測度論）。
$L^1,\ L^\infty,\ C[a,b]$ は反射的でない（ $(L^1)^*=L^\infty$ だが $(L^\infty)^*\supsetneq L^1$ ）。 $c_0,\ \ell^1$ も非反射的。

反射的空間： $X$ が二重双対 $X^{**}$ を埋め尽くす。ヒルベルトや $1<p<\infty$ の $L^p$ が反射的。 $L^1,L^\infty$ は非反射的。

弱位相——収束の意味を弱める

第1章の宿題に戻ります。無限次元では有界列から収束部分列が取れない（単位球が非コンパクト）。この困難を、 収束の定義を弱めることで乗り越えます。「すべての汎関数の値が収束すれば、弱く収束したとみなす」。ノルムでぴったり近づく必要をなくすのです。

定義弱収束・弱*収束

$X$ の点列が弱収束 $x_n\rightharpoonup x$ とは、すべての $F\in X^*$ で $F(x_n)\to F(x)$ 。「あらゆる汎関数（＝あらゆる観測）で見て近づく」。
$X^*$ の点列が弱*収束 $F_n\overset{*}\rightharpoonup F$ とは、すべての $x\in X$ で $F_n(x)\to F(x)$ （各点収束）。

ノルム収束（強収束） $\|x_n-x\|\to0$ は弱収束を導きますが、逆は無限次元では成り立ちません。第1章の $e_n$ （正規直交系）がまさにそれ——

例弱収束するが強収束しない

$\ell^2$ で $e_n$ （第 $n$ 成分だけ $1$ ）は、任意の $y\in\ell^2$ に対し $\langle e_n,y\rangle=y_n\to0$ （ $\sum|y_n|^2<\infty$ のしっぽ）。よって $e_n\rightharpoonup0$ （弱収束）。だが $\|e_n\|=1\not\to0$ で強収束はしない。「弱く $0$ に近づくが、長さは $1$ のまま」。弱と強の差が、第1章で見た非コンパクト性の裏返し。

バナッハ–アラオグル：弱*コンパクト性

弱い収束を導入した御利益がこれ。ノルムでは非コンパクトだった単位球が、弱*位相ではコンパクトになる。失われたコンパクト性が、弱い形で復活します。

定理バナッハ–アラオグルの定理

ノルム空間 $X$ の双対 $X^*$ の閉単位球 $\{F\in X^*:\|F\|\le1\}$ は、弱*位相でコンパクトである。

証明

各 $x\in X$ に対し $F(x)$ は $|F(x)|\le\|x\|$ より閉区間 $K_x=[-\|x\|,\|x\|]$ に入る。 $F\mapsto(F(x))_{x\in X}$ は単位球を積空間 $\prod_x K_x$ へ埋め込む。チコノフの定理（集合と位相：コンパクト空間の積はコンパクト）より $\prod_x K_x$ はコンパクト。単位球の像は、線形性・有界性で定まる閉集合なので、コンパクト集合の閉部分集合としてコンパクト。弱*位相はこの積位相の制限だから、単位球は弱*コンパクト。∎

定理反射的空間での帰結

$X$ が反射的なら、 $X$ の閉単位球は弱コンパクト。ゆえに有界列は弱収束する部分列をもつ。

これが第1章で予告した「弱位相でコンパクト性を取り戻す」の完成形。反射的空間（ヒルベルトや $1<p<\infty$ の $L^p$ ）では、有界列から弱収束部分列が取れる。有限次元の黄金パターン「有界列→収束部分列」が、弱い形で蘇る。これは変分法・偏微分方程式で解の存在を示す標準手段（最小化列→弱収束部分列→極限が解）になります。変分法の直接法の理論的核心がここです。

注意弱収束の“弱さ”の代償

弱収束は便利だが、ノルムは下半連続にしか振る舞わない： $x_n\rightharpoonup x$ なら $\|x\|\le\liminf\|x_n\|$ （等号でない、 $e_n$ が例： $\|e_n\|=1$ だが弱極限 $0$ の長さは $0$ ）。だから「弱収束部分列を取る」戦略では、極限で汎関数値がジャンプしないよう凸性・下半連続性を別途使う。弱位相は“ゆるい”ぶん、扱いに繊細さが要る。

つまずきポイント

注意よくある誤解

反射性は $X\cong X^{**}$ ではなく「標準埋め込み $J$ が全射」。 たまたま同型なだけでは足りず、 $J$ そのものが全射である必要がある（ジェームズ空間という反例あり）。
強収束 ⇒ 弱収束、逆は偽（無限次元）。 $e_n\rightharpoonup0$ だが $\|e_n\|=1$ 。弱は「全汎関数で近い」、強は「ノルムで近い」。
バナッハ–アラオグルは弱*（双対上）。 元の空間の単位球が弱コンパクトになるには反射性が要る。弱*コンパクトはつねに成り立つが、弱コンパクトは反射的空間だけ。
ノルムは弱収束で下半連続。 弱極限で長さは増えない方向にしか保証されない。等号を期待しない。

この章のまとめ

標準埋め込み $J:X\to X^{**}$ （ $\hat x(F)=F(x)$ ）は等長。 $J$ が全射なら反射的。ヒルベルト・ $L^p(1<p<\infty)$ は反射的、 $L^1,L^\infty,C[a,b]$ は非反射的。
弱収束 $x_n\rightharpoonup x$ （全汎関数で $F(x_n)\to F(x)$ ）は強収束より弱い（ $e_n\rightharpoonup0$ だが $\|e_n\|=1$ ）。収束の意味を弱めてコンパクト性を取り戻す。
バナッハ–アラオグル：双対の単位球は弱*コンパクト（チコノフの定理）。反射的空間なら単位球が弱コンパクト＝有界列は弱収束部分列をもつ。変分法・PDE の解の存在の核心。
Part III の双対理論はここまで。次章から三大定理へ。まず完備性の“魔法”ベールのカテゴリー定理と、そこから出る一様有界性原理を扱います。

次章では、ベールのカテゴリー定理と、そこから導かれる一様有界性原理（バナッハ–シュタインハウス）を証明します。

第8章 双対空間・反射性・弱位相